九年級數(shù)學(xué)下冊小專題(八)圓中常見輔助線的作法練習(xí)(新版)湘教版

1、小專題（八）圓中常見輔助線的作法圓中常見輔助線的添加口訣及技巧 半徑與弦長計(jì)算，弦心距來中間站.圓上若有一切線，切點(diǎn)圓心半徑連. 要想證明是切線，半徑垂線仔細(xì)辨. 是直徑，成半圓，想成直角徑連弦. 弧有中點(diǎn)圓心連，垂徑定理要記全.圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點(diǎn)連. 還要作個內(nèi)切圓，內(nèi)角平分線夢圓. 三角形與扇形聯(lián)姻，巧妙陰影部分算.一、連半徑一一構(gòu)造等腰三角形1.如圖，在。中，AB為。的弦，C, D是直線AB上的兩點(diǎn)，且 AC= BD.求證： OC比等腰三角形.證明：連接OA OB.1 . OA OB是。的半徑，OA= OB.OAB= / OBA.OAC= / OBD.在AOC BOD 中，OA

2、= OB/ OAC= / OBDAC= BD,2 .AO(C BOD(SAS)OC= OD即4 OCD等腰三角形.二、半徑與弦長計(jì)算，弦心距來中間站OOO©在圓中，求弦長、半徑或圓心到弦的距離時，常過圓心作弦的垂線段，再連接半徑構(gòu) 成直角三角形，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算.在弦長、弦心距、半徑三個量中，已知任意兩個可求另一 個.2.如圖，水平放置的圓柱形排水管道的截面直徑是1 m其中水面的寬 AB為0.8 m,求排水管內(nèi)水的深度.解：過點(diǎn)。作OCX AB,垂足為C,交O。于點(diǎn)D, E,連接OA.OA= 0.5 m , AB= 0.8 m. OCL AB,AO BO 0.4 m.在 RtAO

3、C中，oA=ac+oc,.OC= 0.3 m ,則 CE= 0.3+0.5 =0.8(m).答：排水管內(nèi)水的深度為0.8m.（或直徑）三、見到直徑一一構(gòu)造直徑所對的圓周角構(gòu)造直徑所對的圓周角，這是圓中常用的輔助線作法，可充分利用“半圓所對的圓周角是直角”這一性質(zhì).3.如圖，AB為。的直徑，弦 CD與AB相交于點(diǎn) E./ACD= 60° , / ADC= 50° ,求/ CEB的度數(shù).解：連接BD.AB為。O的直徑,，/ADB= 90° .又. / ADG= 50° , ./ CDB= / ADB- / ADC= 40° .b BC= BC ./

4、 CDB= / CAB= 40° .，/CEB= / CAB Z ACD= 40° +60° =100°四、有圓的切線時，常常連接圓心和切點(diǎn)得切線垂直于半徑©O0O已知圓的切線時，常把切點(diǎn)與圓心連接起來，得半徑與切線垂直，構(gòu)造直角三角形，再利用直角三角形的有關(guān)性質(zhì)解題.4.如圖，AB是。的直徑，弦 CDLAB于點(diǎn)H,過CD延長線上一點(diǎn) E作。的切線交AB的延長線于 點(diǎn)F,切點(diǎn)為 G,連接AG交CD于點(diǎn)K.求證：KE= GE.證明：連接OG. FE切。O于點(diǎn)G,，/OGE= 90° . ./ OGAF Z AGE= 90° .

5、 CDL AB, / OA仆 Z AKH= 90° .又. / AKH= / GKE / OA仆 / GKE= 90° . . OG= OAOGA= / OAG. ./ KGE= / GKE.KE= GE.五、“連半徑證垂直”與“作垂直證半徑”判定直線與圓相切證明-條直線是圓的切線，當(dāng)直線與圓有公共點(diǎn)時,只需“連半徑、證垂直”即可;當(dāng)已知條件中沒有指出圓與直線有公共點(diǎn)時，常運(yùn)用“d=r”進(jìn)行判斷，輔助線的作法是過圓心作已知直線的垂線，證明垂線段的長等于半徑.5.如圖，點(diǎn) A, B, C分別是。O上的點(diǎn)，/ B=60° , AC= 3,CD是。的直徑，P是CD延長線

6、上的一點(diǎn)，且 AP= AC.求證：AP是。的切線.證明：連接 OA.B= 60° , ，/AOC= 2/B= 120° .又 OA= OC ./ ACP= / CAO= 30° ./AOR= 60° .又 AC= AP, ./P=/ACR= 30° .，/OAP= 90° . OA!AP.又 OA為。O的半徑, . AP是。O的切線.6.如圖， ABC為等腰三角形,AB= AC, O是底邊BC的中點(diǎn)，O O與月AB相切于點(diǎn) D,求證：AC與。O相切.證明：連接 OD過點(diǎn)O作O已AC于點(diǎn)E,則/ OEC= 90.AB切。O于點(diǎn)D, OD

7、L AB.，/ODB= 90° . ./ ODB= / OEC.又 O是BC的中點(diǎn)，OB= OC. AB= AC, ./ B=Z C. .OB陰OCE(AAS).OE= OD即OE是。的半徑. AC與。O相切.六、內(nèi)切圓，連接內(nèi)角平分線把夢圓利用內(nèi)心與頂點(diǎn)的連線平分這個內(nèi)角以及三角形的外角，同弧所對的圓周角相等進(jìn)行角的轉(zhuǎn)換.7.如圖，在 ABC中，E是內(nèi)心，AE的延長線交 ABC的外接圓于點(diǎn) D.求證：DE= DB.證明：連接BE.E為乙ABC勺內(nèi)心，/ABE= / CBE / BAD= / DAC. / DEB= / ABE+ / BAD/ DBE= / CB曰 / DBC而 / DBC= / DAC= / BAD ./ DEB= / DBE.DE= DB.七、構(gòu)造扇形與三角形，化不規(guī)則圖形的面積為規(guī)則圖形的面積通過等積替換化不規(guī)則圖形為規(guī)則圖形，在等積轉(zhuǎn)化中，可以根據(jù)平移、旋轉(zhuǎn)或 軸對稱等圖形變換；（2）可根據(jù)同底（等底）同高（等高）的三角形面積相等進(jìn)行轉(zhuǎn)化.8.如圖，A是半徑為2的。外一點(diǎn)，O上4, AB是。的切線，B為切點(diǎn)，弦 BC/ OA連接AC, 求陰影部分的面積.解：連接OB OC. BC/ OA OBC ABC 同底等高.S>A ABC= S>a obcS陰影=S扇形OBC AB是。O的切線，O