九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊專題突破講練相似中的“射影定理”試題(新版)青島版

1、相似中的“射影定理”重點(diǎn)難點(diǎn)品錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)帶漁】1.射影定理直角三角形射影定理(又叫歐幾里德( Euclid )定理)：直角三角形中，斜邊上的高是 兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。如圖,(1)RtAABC, / BAC 90° , AD是斜邊BC上的高，則有射影定理如下:AD2 BD DC(2) AB2 BD BC(3) AC2 CD BC AB6 AABtD ADAC注意：(1)在RtAABC, AD為斜邊BC上的高，圖中共有 6條線段：AC BC CD AD DB AB已知任意兩條，便可求出其余四條；(2)射影定理的每個(gè)乘積式中

2、含三條線段，若已知兩條線段，可求第三條；(3)平方項(xiàng)2.定理推論在 ABO43,定是兩相似三角形的公共邊。D是BC邊上的一點(diǎn)，且滿足BAD C ,則有ab2BD BC。 AB ACBA同國 工真雀戲瞿名?？吹洹坷}1 已知CD是 ABC勺高，DEL CA DFL CB求證： CEM CBA解析：根據(jù) CD呼ACAD和 CD中4CFD得CD2 CE£A和CD2 CF CB利用等量代換和變形，即可證明 CE田 CBA答案：證明：在RtAADO,由射影定律得， CD2 CE CA,在 RtBC計(jì),CD 2 CF CBCE CA CF CBCE CFCB CAECF BCACED CBA做題

3、時(shí)要善于發(fā)現(xiàn)相似,點(diǎn)撥：本題主要考察了相似三角形的基本模型射影定理的應(yīng)用。 找出等量關(guān)系，進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?。例題2 已知：如圖，AB為。的直徑，AC為弦，CDL AB于D。若AE= AC BE交。O 于點(diǎn)F,連接CE DE求證：（1） AE2解析：（1）根據(jù)AE= AC可以把結(jié)論車t化為證明 AC2 AD ?AB ,只需連接 BC證 明AACHABCW可。（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論，即可證明三角形 ADE相似于三角形 AEB 得到/ AED= / B,再根據(jù)同弧所對的圓周角相等即可證明。C答案：（1）連接BC.AB為。的直徑，ACB= 90. CDL AB. / ACS AABC.AC ABAD

4、AC. AC= AE2AE2 AD ?AB(2)AE2 AD ?AB , / EAD= / BAE.-.ADEo AAEB.Z AED= / B/AC已 /B, ./ACF /AED注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用點(diǎn)撥：本題主要考查了對相似三角形的判定和性質(zhì)的掌握和應(yīng)用, 是解決本題的關(guān)鍵。園紛 工拓展總結(jié)+提升薪分必讀】【要點(diǎn)總結(jié)】射影定理是相似三角形中的特殊形式，經(jīng)常結(jié)合圓、矩形、平面直角坐標(biāo)系和函數(shù)考查,因此要善于在復(fù)雜的圖形中發(fā)現(xiàn)滿足射影定理的模型, 代換，從而達(dá)到解題目的。并對其進(jìn)行代數(shù)式的變形，以及等量例題如圖，在>a),若 tan DCERtABC中，CD CE分別是斜邊 AB上的高和中

5、線， BC= a, AC= b （b1a田一，求一的值。3b解析：在RD ABC中，利用射影定理得到 BC2 BD?BA,進(jìn)而得到BD的表達(dá)式，由 面積法可求出 CD的長，根據(jù)CE為中線，建立關(guān)系式 DE= BE- BD,再根據(jù)正切函數(shù)的定義， 建立關(guān)于a、b的關(guān)系式。答案：在 RtABC中， Z ACB= 90 , CDLAB . BC2 BD ?BA,即：BD BA,a2 b21。由等面積法知：一ab2又因?yàn)镃E是中線,則DEBEBDb21 a122ab21-AB CD , 22aa2 b2CD_b2_2 . a2aba2 b22a_ ob2在 RtACDE, tan DCE2. a2 b

6、2解得a 1后b ,于是有aab1a10 1 . a或一得：3a22ab 3b2 0 ，字（舍負(fù)值）。點(diǎn)撥：本題考查了射影定理、勾股定理、解直角三角形，綜合性較強(qiáng)，要認(rèn)真對待。即字即測機(jī)固提升】（答題時(shí)間：30分鐘）、選擇題1.在 RtAABC, / C= 90° , CDLAR 垂足為點(diǎn) D,若 AD BD= 9: 4,則 AC BC的值B. 3:2C. 4:9*2.在 RtABC中，/ BA住 90 ,ACADL BC于點(diǎn)D,若一ABA. 43*3.已知:B. 34在 ABC3, / BAC= 90C.”9,ADL BC于 DD.3 ,則49BDCD16M為BC中點(diǎn)。下列關(guān)系式中

7、正確的是（）A. ACC. ACABAB*4.若正實(shí)數(shù)x,2DM BC2DM AC y, z滿足D.2yB. ACBC_2z ,BC*AB z2DM2AD-2rACACr2。則下列關(guān)系式中正確的是（r ）A. xy zrB. xy zrC. xy zrD.無法確定二、填空題*5.如圖，4ABC 中 AB AC，點(diǎn)AC與OO相切，則AB的長為*6.如圖，矩形ABC加，BC8為直徑作。O,恰過A點(diǎn)，若D在BC上，以BDFC3 -CD , FGL AE于 G,5都可以適當(dāng)剪開，拼成一個(gè)較大的正方形,*7.兩個(gè)任意大小的正方形,別為a, b的正方形拼成一個(gè)大正方形。圖中RtABC勺斜邊AB的長等于b的

8、代數(shù)式表示）。如用兩個(gè)邊長分 （用 a,a、Il'C-c*8. RtAABO, / BAC= 90 , A比斜邊 BC上的高，則 AB2, AC2, AD2三者之間的等*10.（沈陽模擬）已知 RtABC中，/ BAC= 90° , ADL BC垂足為 D, DF，AC垂足為 F, DEEL AB 垂足為 E。求證：（I） AB?AC AD ?BC（n） AD 3 BC?BE?CF量關(guān)系式為 三、解答題*9.如圖，AB為。的直徑，C為。上一點(diǎn)，CDLAB于點(diǎn)D,交AE于點(diǎn)G,弦CE交AB 于點(diǎn)F,求證：AC2 AG?AE。*11.已知：如圖，BD CE是ABC勺高，DG_ B

9、C與CE交于F, GD的延長線與 BA的延 長線交于點(diǎn)H。求證：GD2 GF ?GH 。1,在 RtABC 中，/ ABC= 90 , BDL AC 于點(diǎn) D。求證:*12. （莆田）（1）如圖AB2 AD ?AC ；(2)如圖 2,在 RtAABC, / ABC= 90° ,點(diǎn) D為 BC邊上的點(diǎn)，BE!AD點(diǎn) E,延1 L AB BD / AF 士長BE父AC于點(diǎn)F。 1 求的值；BC DCFC(3)在RtAABO, /ABC= 90° ,點(diǎn)D為直線BC上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn) D不與R C重合)，直線BE! AD于點(diǎn)E,交直線AC于點(diǎn)F。若圓旦 型 n ,請?zhí)骄坎⒅苯訉懗?金巳的

10、所有BC DCFC可能的值(用含 n的式子表示)，不必證明。圖1圖21.B 解析：由射影定理得 CD2 AD BD ,又 AD : BD 9:4, . AD:BD:CD 9: 4:6 , . AC: BC AD : CD 3: 2 ,故選 區(qū)2.C 解析：由勾股定理得：AC:AB:BC 3:4:5ADXBC ,2AB2 BDAB2BD bC2CD AC2記3.A 解析：由/可得：AB6DBAADACBC，AB2AC7AC24232BAC= 90 ,CD BC16本八9，選 C。ADL BC AB DB/V DAC可得 AC2 CD BC , AB2 BDBC。又 M為BC中點(diǎn)，可得AM BM八

11、1八CM BC,_2_2 AC AB BC CD BD2BC CMDM BM DM2BC DM。4. B 解析：如圖，由條件 x22z可構(gòu)造由條件z . x2-r2r2聯(lián)想到射影定理，作斜邊RtA ABCz上的高r,由三角形的面積可得:-xy - zr , 22即 xy zr。5. 4百解析：連接由射影定理得：AB2 BHBD ,故 BHAB2BD設(shè) AB AC x, 由CAIS AOBA 得：x2 y y 8又知H為rBC中點(diǎn)，故BC由、解得：x 4質(zhì)。6.4 ： 1解析：矩形ABCDKAB 5BCFC3-CD , FGL AE于 G, . DF 562CD 5點(diǎn)F在CC±,且EC

12、7.又. / ECF= /FDA /CEM ADF/ / AFDb / CFE= / FEO / CFE= 90°AD c ,2 ,CFAD DFCF CE./ AFE= 90°DFCEc AD2 , CF1BC , 6DFCE，又. FGL AE, AF&AAGF AAFCG FEGAF AG FGAF FG 2 ,則AG= 2FG=2, EF FG EGEF EG .AO4EG AG GE= 4： 1。22a 解析：RHABC勺邊BC斜邊AB上的射影為a,由bC= a?AB可得AB8.a111 2 2_2AD AB AC解析：由射影定理可得:1AD2AD2 BD

13、 DC，111BD CD ' AB2化簡可得1AD21AB2,2BD BC AC212 °AC29.證明：延長CGAB2 BD1CD交。O于點(diǎn) M ABL CM ACBC，AC2 CD BC ；a2,2a b又./CA© /EAC .CAGo AEAC .殷 里 AC2 AG ?AEAE ACD10 .證明：（I）因?yàn)?RtAABO, / BAC= 90° , ADL BC 顯然匕 ABDh CBAAB BCAD AC，即 AB?AC AD?BC(H)由射影定理知又由三角形相似可知2AD2 AE ?ABDF BE AB ED一 一,一 一，且 DF= AE

14、CF ED BC ADAE?AB?AD BC ?CF ?BE ,結(jié)合射影定理，AD3 BC ?BE ?CF11 .證明：BD± AC DGL BC，/ DGC= Z DGB= 90 , / CDB= 90 , 由射影定理得： CGS ADGB DG2 BG ?CG ,CEL AR / ECBF / CB號(hào) 90 ,又/ H+ / GBH= 90 ,ECB= / H, / FGC= / HGB= 90 , CG產(chǎn) HGBGF GCGB GHGF ?GH BG?GC , GD2 GF ?GH12. （1）證明：如圖，. BDL AC Z ABC= 90 , ./ ADB= Z ABC又“

15、< / A= /A, .AD阱 AABCABACAD , AB2 AD ?AC。AB(2)解：方法如圖，過點(diǎn) C作CGL AD交AD的延長線于點(diǎn) G BE! AD/ CGD= Z BED= 90° ,CG/ BF。ABBCBDDC1, AB= BC= 2BD= 2DC BD= DC _ -1 -又. / BDE= / CDG . BDEE CDG . . ED GD EG2由（1）可得：ab2 ae2.AE AB2 2BDDE BD2 BD2. CG/ BF,方法二：AF AEFC EGAD， BD2 DE?AD，AE4, .AE= 4DE -EG2。4DE2DE2。如圖，過點(diǎn) D作DG/ BF,交AC于點(diǎn)G,.ABBCBDDC1 .1 , . BD DC -BC , AB= BC2FG BD 1. DG/ BF, . 一，F(xiàn)C= 2FGFC DC 2由（1）可得：ab2 AE?AD， BD222. AE AB2 2BDr - 4，DE BD BDDE?AD，. DG/ BF,AF AE 4 . AFFG DE ' FC圖:邕(3)解：點(diǎn)D為直線BC上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn) D不與B C重合)，有三種情況:(I)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，如圖所示:過點(diǎn)D作DG/ BF交AC邊于點(diǎn) GAB BD