助力中考“一線三等角”模型中考考試題歸類賞析及啟示

1、助力中考：“一線三等角”模型中考考試題歸類賞析及啟示XX: 指導：日期：01、模型呈現(xiàn)如圖1和圖2 ,在aABC和aCDE中，點C是直線BD上的點.若 z ACE=z ABD=z EDF，則 ABO CDE .特另U地，當 AC=CE 時, ABC空 CDE .圖1男融念老師中學羽健化上述兩個圖呈現(xiàn)的是兩種最典型的“一線三等角”模型，即同側(cè)型和異側(cè)型，兩者所求證的結(jié) 論均可通過導角證明.該模型最本質(zhì)的特點為：有3個等角的頂點在同一條直線 上，且這個角可以是銳角、直角或鈍角.而隨著角頂點位置的適當改變或角繞頂 點旋轉(zhuǎn)一定角度，常會產(chǎn)生許多和諧美觀的圖形，且結(jié)論仍然成立.正因如此， 近年來各地命題

2、專家們命制了許多可用“一線三等角”模型求解的中考試題，這些 試題大都突出對學生能力與思維的考查，重視數(shù)學經(jīng)驗與思想方法的獲得，常常 具有較高的區(qū)分度.02、試題賞析類型1 :三角齊見，模型自現(xiàn)例1 ：如圖3 ,將一X矩形紙片ABCD的邊BC斜看向AD邊對折，使點B落在 AD上,記為B折痕為CE;再將CD邊斜向下對折，使點D落在BX上,記為 D折痕為CG ,若BD=2 , BE=1/3BC ,貝U矩形紙片ABCD的面積為.AB G DF 8一.一G 圖 3分析：因為/ A=z EB,C=z D=90。，且點A , B D在同一直線上，由“一線三等角”模型，得aAEBs DBX f則AB，_ AE

3、 _B，E 1 成一兩一市一萬一 T若設(shè)他=%,則CD =CIT = 3h,由此可得C8 = CB =八。=34+2,從而B，D = Z32.易得/正二區(qū)產(chǎn)，于是 BE 二進而 CR = 3BEE-2 =3”+ 2,解得 =I，故矩形紙片43CD取解旗息類型三角齊見，模型自現(xiàn)例2 :將形狀、大小完全相同的兩個等腰三角形如圖4所示放置，點D在AB邊 上， DEF繞點D旋轉(zhuǎn)，腰DF和底邊DE分別交 CAB的兩腰CA , CB于點M , N .若 CA=5 , AB=6 , AD : AB=1 : 3 ,則 MD+12/MA-DN 的最小值為.分析：由于n A=z MDN=z B ,且點A , D

4、, B在同一直線上，因此根據(jù)“一線三等 角”模型可得 MAD- DBN ,則zj.MA MD麗二麗MA DX = DR 7/0=4:1，故時+福=時急力正當且僅當皿=聞寸，等號成立,皿十日的最小值為入反 以上兩例都是典型的“一線三等角”試題，由于模型的框架已搭建，因此降低了試 題的起點.兩道題雖涉及不同的圖形變換，但解法本質(zhì)一致，均為利用模型構(gòu)建 比例式解決問題.兩道題都著重考查學生在圖形變換過程中的觀察理解、直觀感 知、推理轉(zhuǎn)化等數(shù)學能力和思想.類型2 :隱藏局部，小修小補例3 ：如圖5 ,在正方形ABCD中，M為BC上一點,MEAM , ME交AD延長線分析：如圖6 ,由于N B=z AM

5、E=90 ,因此延長BC ,過點E作BC延長線的垂 線,兩者交于點N .根據(jù)“一線三等角”模型，可得 ABM- MNE ,則 AB BME 而 AB=EN=12 , BM=5 ,貝!J MN=144/5 ,故 DE=MN - MC=MN - (BC-BM)=109/5 .類型2 :隱藏局部，小修小補例4 :如圖7 ,在平面直角坐標系xOy中，直線y= - x+m分別交x軸、y軸于點A, B,已知點C(2,0).1)當直線AB經(jīng)過點C時，點。到直線AB的距離是；2)設(shè)點P為線段0B的中點聯(lián)結(jié)PA ,PC若N CPA=z ABO則m的值是.分析：1)/2;2)如圖8因為N ABO=z APC=45

6、 ,在y軸的負半軸上找一點D使得N CDO=45 , 則aABP與aPDC構(gòu)成“一線三等角”模型，所以aABPs PDC ,從而 AB/PD=BP/DC,易知 m0 , AB=/2m , BP=m/2 , PD=m/2+2 , CD=2Z2 ,于是inm 2處一屈2解得m=12.Zj.評注上述兩道題雖分別以四邊形和一次函數(shù)為命題背景，但圖形的共性較明顯:均將 原有“一線三等角”模型中的一角進行了隱藏，而這就要求學生理性地從圖形的角 度進行思考與聯(lián)想，發(fā)現(xiàn)其中最本質(zhì)的特征，挖掘蘊含在圖中的幾何模型.兩道 題均較好地體現(xiàn)了對“四基”的綜合考查，提升了學生思維的層次性和靈活性.類型3 :一角獨處，兩

7、側(cè)添補例5 :如圖9 ,一塊30。，60。，90。的直角三角板，直角頂點。位于坐標原點， 斜邊AB垂直于x軸，頂點A在函數(shù)y1=k1 /x（其I例6 :如圖11，在四邊形ABCD 中，ADll BC , N BCD=90 z AB=BC+AD , z DAC=45 , E 為 CD 上一點,且z BAE=45 .若 CD=4 ,ABE 的面積為分析：如圖12 ,由于N BAE=45 ,因此過點A作AD的垂線，在該垂線上分別找 點M , N（其中點N在點A下方），使得N BMA=n ENA=45 .過點E作MN的垂線, 垂足為點F,延長CB交MN于點G .M易知四邊形ADCG為正方形，貝IJ A

8、G=CG=CD=4 ；而AB=BC+AD ,不難推知AB=5 z BG=3 , BC=1 .由于N BAE=nM=n N=45 ,根據(jù)“一線三等角”模型可得 ABM- EAN ,則而二俞即3L二工P4_丁板解得DE吟,于是CE =等故或= 幅形m - 的瑞嬲豆戮 評注上述兩道題雖呈現(xiàn)的背景不同，但都蘊知識技能、思想方法、數(shù)學模型于圖形之 中.題中的“特殊角”是解題的關(guān)鍵，也是搭建模型框架的基礎(chǔ)，更是學生解題思 路的與“腳手架”.兩道題實質(zhì)上是考查學生利用模型進行數(shù)學思考的能力，同時 也有效地檢測了學生對數(shù)學本質(zhì)屬性的把握情況.類型4 ：線角齊藏,經(jīng)驗來幫例7 :如圖13 ,已知點A(2 , 3

9、)和點B(0 , 2),點A在反比例函數(shù)y=k/x的圖像 zj.上.作射線AB ,再將射線AB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45。，交反比例函數(shù)圖像 于點C,則點C的坐標為.分析：如圖14 ,過點C作AC的垂線，交射線AB于點D ,過點C作x軸的平行 線,在該平行線上分別找點E, F,使得N DEC=z AFC= 90 .由“一線三等角”模型及N DAC=45，得 DE8 CFA ,又點A , B坐標分別為(2 z3) , (0 , 2) ; 從而 k=6 ,于是Zj.若設(shè)點則CF = DE = -a + 2, AF = CE =-9+ 3, a從而點。的坐標為（a + ?3, + +2）,是 -a

10、+ + 2 =+立-3）+ 2, a 2 a J解得 = -1,% = 2（舍去），故點C的坐標為（一 1，一6）,會/好颯聯(lián)類型力：線角齊藏，經(jīng)驗來幫例8 :如圖15 ,有一個邊長不定的正方形ABCD ,它的兩個相對的頂點A , C分 別在邊長為1的正六邊形一組平行的對邊上，另外兩個頂點B , D在正六邊形內(nèi) 部（包括邊界）,則正方形邊長a取值X圍是.分析：由于點A , C分別在正六邊形一組平行的對邊上，從而ACmin=/3 ,于是 正方形ABCD的邊長amin=Z6/2 .根據(jù)正方形和正六邊形的中心對稱性，要使正 方形邊長a最長,則正方形的對稱中心和正六邊形的對稱中心0互相重合.如圖16，

11、聯(lián)結(jié)OA , OB ,過點A , B作GH的垂線，垂足分別為點E , F ,直線 BF分別交GP , GQ于點M , N .易知N BFO=z AOB=z AEO=90 ,根據(jù)“一線三等 角”模型及OA=OB ,可得 AOE OBF ,從而AE=OF=Z3/2 ,說明點B在定直 線MN上運動，當點B運動到點M或N時，正方形ABCD的邊長a最長.如圖17 ,當點B與點M重合時，由GF=1 - /3/2 ,知 BF = GF - tan 600 = -y,此時 a =息（=V2BF1 +2OF2 =3即故和.2買錯as右加中字數(shù)理他 評主上述兩道題實質(zhì)上都以圖形的旋轉(zhuǎn)為問題的切入點,能較好地激發(fā)學

12、生探索的意 愿，促使學生在模擬圖形運動的同時，自發(fā)地利用題中所蘊含的特殊角,展開適 當?shù)穆?lián)想，尋找圖形間的聯(lián)系，利用數(shù)學解題經(jīng)驗,搭建模型框架.兩道題都意 在尋求突破，體現(xiàn)分層考查，有看較好的考試信度與效度.通過上述的例3例8 ,不難發(fā)現(xiàn):對于有些中考試題，“一線三等角”并非直觀、 完整地呈現(xiàn)，而是在原圖中隱藏了局部或全部結(jié)構(gòu)，因此思維層次隨之提升.若 我們能充分利用題中所給的已知角或挖掘圖中隱藏的特殊角，通過“找角，定線, 搭框架”，讓模型“現(xiàn)出原形”，則解題思路便會油然而生,豁然開朗.03、教學啟示 在近幾年的各地中考試卷中，逐漸涌現(xiàn)出由同一類基本模型延伸而來的試題，這 些試題雖呈現(xiàn)的背景不盡相同，但解決問題的方法和思想相通，這就要求教師在 平時的解題教學中，充分挖掘習題的內(nèi)在價值，鼓勵學生對問題進行深入研究， 引導并總結(jié)出一般化的方法，同時要讓學生嘗試利用在解題過程中所積累的經(jīng) 驗，對試題中所蘊藏的基本模型進行挖掘與提煉.只有讓學生學會自主地反思、 推進、提煉，才能做到