理論的力學(xué)謝傳鋒第九章習(xí)地的題目解答

1、MiJM2g1 a2第九章部分習(xí)題解答9-2解：取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，不考慮摩擦，該系統(tǒng)具 有理想約束。作用在系統(tǒng)上的主動(dòng)力為重力Mig, M2g。如圖（a）所示，假設(shè)重物 M2的加速度的方向豎直向下，則重物M1的加速度a1豎直向上，兩個(gè)重物慣性力FI1 , F|2為FiiMiaiFI2 M2a2（ a）該系統(tǒng)有一個(gè)自由度，假設(shè)重物M2有一向下的虛位移x2，則重物Mi的虛位移 x1豎直向上。由動(dòng)力學(xué)普遍方程有W M1gx,M2gx2FI1x,FI2x20（ b）根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系可知11XiX2aia?（ c）22將（a）式、（c）式代入（b）式可得，對(duì)于任意x2 0有a24M24M22M12.8

2、 m/s2(b)方向豎直向下。取重物M 2為研究對(duì)象，受力如圖（b）所示，由牛頓第二定律有M 2g T M 2a2解得繩子的拉力T 56.1 N。本題也可以用動(dòng)能定理，動(dòng)靜法，拉格朗日方程求解。9-4為廣義坐標(biāo)。系統(tǒng)的動(dòng)能為解：如圖所示該系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，有一個(gè)自由度，取1 2 T尹（1R ）取圓柱軸線0所在的水平面為零勢面，圖示瞬時(shí)系統(tǒng)的勢能為V mgRsin (l R )cos 拉格朗日函數(shù)L T V ,代入拉格朗日方程整理得擺的運(yùn)動(dòng)微分方程為(l R ) R 2 gsin0。9-6解：如圖所示，該系統(tǒng)為保守系統(tǒng)， 有一個(gè)自 由度，取弧坐標(biāo)s為廣義坐標(biāo)。系統(tǒng)的動(dòng)能為T 1mS22取軌線最低點(diǎn)

3、O所在的水平面為零勢面， 圖示 瞬時(shí)系統(tǒng)的勢能為V mgh由題可知dssins，因此有h4bS dso4b2s。則拉格朗日函數(shù)8bLT V 1ms2plI代入拉格朗日方程和）0 ,整理得擺的運(yùn)動(dòng)微分方程為s g s 0。解得質(zhì)點(diǎn)4b的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為s Asin（2, bt0），其中A, 0為積分常數(shù)。9- 13解：1.求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程圓環(huán)（質(zhì)量不計(jì)）以勻角速度繞鉛垂軸AB轉(zhuǎn)動(dòng)，該系統(tǒng)有一個(gè)自由度，取角度 為廣義坐標(biāo)。系統(tǒng)的動(dòng)能為T 1m(r )21 m( rsin )22 2如圖所示，取0為零勢位，圖示瞬時(shí)系統(tǒng)的勢能為V mgr(1 cos )則拉格朗日函數(shù)LTV -mr2( 222 - 2s

4、in)mgr(1 cos )d ll代入拉格朗日方程 一()0，整理得質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)dt微分方程為2cos )sin2.求維持圓環(huán)作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的力偶M如果求力偶 M，必須考慮圓環(huán)繞鉛垂軸AB的一般轉(zhuǎn)動(dòng)。因此解除“圓環(huán)繞鉛垂軸AB勻速 轉(zhuǎn)動(dòng)”這一約束，將力偶 M視為主動(dòng)力。此時(shí)系統(tǒng)有兩個(gè)自由度，取角度和圓環(huán)繞軸AB的轉(zhuǎn)角 為廣義坐標(biāo)，系統(tǒng)的勢能不變，動(dòng)能表達(dá)式中以代替 ，則拉格朗日函數(shù)為LTV -mr2( 222 . 2sin)mgr(1 cos )力偶M為非有勢力，它對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo)和的廣義力計(jì)算如下：取0, 0，在這組虛位移下力偶 M所做的虛功為W0，因此力偶M對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo)的廣義力Qm0 ；取 0

5、,0，在這組虛位移下力偶 M所做的虛功為W M因此力偶M對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo)的廣義力QM込plI代入拉格朗日方程補(bǔ)一)Qm0,整理可得gsin 0rplII代入拉格朗日方程£()- qm m，整理可得mr2 sin2mr2sin2M圓環(huán)繞鉛垂軸 AB以勻速 轉(zhuǎn)動(dòng)，即0，代入上式可得 Mmr2sin29- 14解：以剛體為研究對(duì)象，有一個(gè)自由度。如圖（a）所示，取03G和OC的夾角 為廣義坐標(biāo)。若以框架OQ2OC為動(dòng)系，則剛體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)是以角速度繞軸OiO2的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，牽連運(yùn)動(dòng)是以角速度 繞OC軸的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，絕對(duì)角速度a是 和 的矢量和。以為X軸，o3g為y軸，建立一個(gè)固連在剛體上的坐標(biāo)系，

6、該剛體的角速度a可表示成Bicos jsin za(b)(a)由于坐標(biāo)系O3xyz的三個(gè)坐標(biāo)軸為過 03點(diǎn)的三個(gè)慣量主軸，則系統(tǒng)的動(dòng)能為T】Ji 2 J2（ cos ）2 J3（ sin ）2取0為零勢位，圖示瞬時(shí)系統(tǒng)的勢能為V mgl（1 cos ），則拉格朗日函數(shù)L TV1J12 J2(2 2cos ) J3( sin ) mgl(1 cos )代入拉格朗日方程g（L)0,整理可得物體的運(yùn)動(dòng)微分方程為dtJ12aJ3)sin cosmgl sin9- 15解：框架（質(zhì)量不計(jì)）以勻角速度繞鉛垂邊轉(zhuǎn)動(dòng)，系統(tǒng)有一個(gè)自由度，取AB桿與鉛垂邊的夾角為廣義坐標(biāo)。若以框架為動(dòng)系，AB桿上任意一點(diǎn)的速度是

7、該點(diǎn)相對(duì)于框架的相對(duì)速度和隨框架運(yùn)動(dòng)的牽連速度的矢量和，且相對(duì)速度和牽連速度相互垂直，因此桿AB的動(dòng)能可表示為相對(duì)于框架運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能和隨框架轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能之和。如圖所示，AB桿相對(duì)于框架作平面運(yùn)動(dòng)，“速度瞬心”為0點(diǎn)，設(shè)AB桿的質(zhì)心為C,由幾何關(guān)系可知AC OC BC l，則質(zhì)心為C的速度大小為vCI 。桿AB相對(duì)于框架運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能1譏21存(2i)22m|2桿AB隨框架轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能1 21 m dx( xsin2 0 21)22 .2 2.2ml sin3系統(tǒng)的動(dòng)能T T, T2。假設(shè)90°時(shí)桿勢能為零，則任意位置系統(tǒng)的勢能為V mglcos。則拉格朗日函數(shù)L TV 2ml2( 22sin2

8、 ) mglcospl1代入拉格朗日方程一（）dtL 0，整理得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程24I 4I sin cos 3g sin 0由于角描述的是桿AB相對(duì)于框架的位置變化，因此上式也就是桿的相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程。9- 17解：取楔塊A, B構(gòu)成的系統(tǒng)為研究對(duì)象， 該系統(tǒng)有二個(gè)自由度，取楔塊A水平滑動(dòng)的位移x , 以及楔塊B相對(duì)于A滑動(dòng)的位移s為廣義坐標(biāo)。若以楔塊A為動(dòng)系，則楔塊 A的速度vA , 楔塊B的速度Vb，以及B相對(duì)于A的相對(duì)速度滿足如下的矢量關(guān)系（方向如圖所示）VB VA VBr系統(tǒng)的動(dòng)能為t 舟山2舟譏2 2x2 "222g2 2(x scos )(ssin )2gL丿八( P

9、2)x21P2cos2ggxs取過x軸的水平為零勢面，某瞬時(shí)系統(tǒng)的勢能為F2ssin 。則拉格朗日函數(shù)LTV 丄(R P>)x2 丄P2cos xs Rs2 Rssin2gg2g水平力F對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo) x和s的廣義力計(jì)算如下：取x 0, s 0，在這組虛位移下力F所做的虛功為W x Fx 0, s 0，在這組虛位移下力x，因此力F對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo)x的廣義力Q： F ；取廣義坐標(biāo)s的廣義力QJF cos代入拉格朗日方程Q：F，整理可得代入拉格朗日方程dt由方程（a）、（b）解得(PP2)XQsFF2cosP2 cos s FgF cos ，整理可得x F2s (F cosPzSin )g(a

10、)(b)楔塊A的加速度:aAF sinF2 cos,Rpsin2 gsin ，方向水平向。楔塊B的相對(duì)加速度:aBrFR cosF2（P詹幣嘗g，方向沿斜面向上。F所做的虛功為W s F cos s，因此力F對(duì)應(yīng)于9- 18解：取楔塊ABC和圓柱構(gòu)成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，該系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，有二個(gè)自由度，取楔塊水平滑動(dòng)的位移x，以及圓柱的轉(zhuǎn)角（A點(diǎn)=0）為廣義坐標(biāo)。若以楔塊為動(dòng)系，則楔塊的速度Va，圓柱軸心O的速度V。，以及軸心O相對(duì)A的相對(duì)速度滿足如下的矢量關(guān)系（方向如圖所示）Vo Va Vor圓柱在斜面上作純滾動(dòng)有：vOrr。系統(tǒng)的動(dòng)能為1 2如v。2 2（2葉2）21 2 mx21 mh(xr

11、 cos22 2)(rsin )1 2 2 m1r41 ( (mmQx2 mr cos x32 2gr(m m1)x mr cos0(a)代入拉格朗日方程 Q（L） o,整理可得dt3r 2xcos2gs in(b)求解方程（a ）、（ b ）得楔塊的加速度:mi sin 223(m mJ 2 ml cosg，方向水平向左。圓柱的角加速度:2(m m1)sin23(m mi) 2m-j cos rg，順時(shí)針方向。取過楔塊上A點(diǎn)的水平面為零勢面，圖示瞬時(shí)系統(tǒng)的勢能為Vgg r sin則拉格朗日函數(shù)LTV1(m mh)x2m1 rcos x3 2 2.mirmg rsin4代入拉格朗日方程2(丄)

12、dt xx0,整理可得（如圖所9-21解：以三個(gè)重物和滑輪構(gòu)成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，該系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，有二個(gè)自由度示）。設(shè)重物 Mr的坐標(biāo)為X1，重物M2相對(duì)于滑輪B的輪心的位置為X2。系統(tǒng)的動(dòng)能為12m- X22 m2 (Xi X2)2 m3 (XiX2)2X2m2m3)Xi2 2(m2 m3)X2 (m3m2)XiX2X10時(shí)系統(tǒng)的勢能為零，則任意位置系統(tǒng)的勢能為X2migXi m2g(X2 Xi) m3g(Xi x?)m-im2 m3) gXi(m2 mh)gx2拉格朗日函數(shù)LTVm2m3 )x- (m2 m3)x； (m32m2)XiX2代入拉格朗日方程(m-代入拉格朗日方程(m2由方程（

13、a）、（b）(m-m2務(wù)丄)dtxrm2m3)Xr務(wù)丄)dtX2m3)X2解得重物m3) gXi (m2 m3) gX2L 0,整理可得Xi(m2 m3)X2 (m- m2 m3)g 0L 0,整理可得X2(m2 m3)Xi (m2 m3)g 0M -的加速度(a)(b)mi(m2 m3) 4m2m3ai x- - - g，4m2m3。m2 m3mi(m2 m3) 4m2m3初始時(shí)刻系統(tǒng)靜止，若使 Mr下降則a 0，即：m-9-22X，以及物體M相解：取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，該系統(tǒng)有二個(gè)自由度，取平臺(tái)的水平坐標(biāo) 對(duì)于平臺(tái)的坐標(biāo)S （彈簧原長為坐標(biāo)原點(diǎn)）為廣義坐標(biāo)。系統(tǒng)的動(dòng)能為T 旦x2 空(x

14、s)22g 2g$(R P2X2 -Pxs2gg設(shè)初始時(shí)刻勢能為零，則任意時(shí)刻系 統(tǒng)的勢能為】ks22則拉格朗日函數(shù)LTVP2)x2-P2xsg12gP2S2水平力F對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo)x和s的廣義力計(jì)算如下：取 x0,s 0，在這組虛位移下力F所做的虛功為W Xx，因此力F對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo)x的廣義力Qx F ；取x 0, s 0，在這組虛位移下力F所做的虛功為W s 0，因此力F對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo)s的廣義力Q：plI代入拉格朗日方程？（上）dt xqf5 XF，整理可得(RF2)x P2S Fg(a)plI代入拉格朗日方程2（上）sdt由方程（a）可得:代入方程（b)得:解微分方程(d)得:導(dǎo)得：sQs

15、F0,整理可得P2x F2s kgs 0(b)P2P1P2s (RP2)kgsP,Fg(c)(d)P2Fcos ptk(PP2)P2F其中k（R P2），其，(R P2)kgP1P2。求也cos pt，代入方程（c）可得R平臺(tái)的加速度：FPa1 xg(12 cos pt)，方向水平向右;P P2R物體M的加速度：a2x s一 g(1 cos pt)，方向水平向右。R1 P29-27解：取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象， 該系統(tǒng)有二個(gè)自由度， 取滑 塊的水平坐標(biāo)x，以及桿AB與鉛垂方向的夾角 為廣義 坐標(biāo)。如圖所示，系統(tǒng)的動(dòng)能為1 2mix2(x2 2l cos )( l sin )2(mi m2)x ml

16、cos x-m2l22設(shè)0時(shí)勢能為零，圖示瞬時(shí)系統(tǒng)的勢能為Vm2gl(1 cos )。拉格朗日函數(shù)2LTV (m m0x mJ cos x-m2l2 22m2gl(1 cos )拉格朗日函數(shù)中不顯含廣義坐標(biāo)x和時(shí)間t，存在循環(huán)積分和廣義能量積分，即m2)x m2l cos常數(shù)g m2)x2m2l cos x%12 22m2gl(1 cos )常數(shù)9-28解：取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，該系統(tǒng)有二個(gè)自由度，取滑塊B沿斜面的坐標(biāo)s，以及桿 OD與鉛垂方向的夾角為廣義坐標(biāo)。如圖所示，桿 OD乍平面運(yùn)動(dòng)，有VC VB VCB則系統(tǒng)的動(dòng)能為mi2) 21 2m2vB21 22 噸ssin()scos(22 -4 mil2 2 屛222421(m1 m2)s21mJ2 2scos(m2 269-29解：以圓柱和圓筒構(gòu)成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，該系統(tǒng)有二個(gè)自由度，取為廣義坐標(biāo)。系統(tǒng)的動(dòng)能為2 2 1 2 1 1 2 2T 2賦 2 2mvO1 2(2m2) 2其中：vO1(R r)。圓柱相對(duì)于圓筒作純滾動(dòng),由圓柱軸心。1以及圓柱上與圓筒相接觸的點(diǎn)的速度1關(guān)系，