用向量方法解立體幾何的的題目

1、(2)求線(xiàn)面角設(shè)丨是斜線(xiàn)丨的方向向量，n是平面的法向量,則斜線(xiàn)丨與平面所成的角=arcsin|1丨11 nJ用向量方法求空間角和距離前言：在高考的立體幾何試題中，求角與距離是?？疾榈膯?wèn)題，其傳統(tǒng)的“三步曲”解法：“作圖、 證明、解三角形”，作輔助線(xiàn)多、技巧性強(qiáng)，是教學(xué)和學(xué)習(xí)的難點(diǎn)向量進(jìn)入高中教材，為立體 幾何增添了活力，新思想、新方法與時(shí)俱進(jìn)，本專(zhuān)題將運(yùn)用向量方法簡(jiǎn)捷地解決這些問(wèn)題.1. 求空間角問(wèn)題空間的角主要有：異面直線(xiàn)所成的角； 直線(xiàn)和平面所成的角；(平面和平面所成的角)二面 角.(1)求異面直線(xiàn)所成的角亦設(shè)a、b分別為異面直線(xiàn)a、b的方向向量,則兩異面直線(xiàn)所成的角:-=arccos|

2、|a|b|(3)求二面角方法一：在:內(nèi)a 丨，在內(nèi)b- l，其方向如圖，則二方法二：設(shè)厲川2,是二面角面角-1 - 平面角=arcco|a|b|-丨- 1的兩個(gè)半平面的法向量，其方向一個(gè)指向內(nèi)側(cè)，另一個(gè)指向外側(cè)，則二面角:=arcco 11比 |a|cos)| =d =|1 (此方法|n|移植于點(diǎn)面距離的求法)方法二：在a上取一點(diǎn)A,在b上取一點(diǎn)B,設(shè)a、b分別為異面直nib)，則異面直線(xiàn)a、b的距離例1.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體 ABCD-ABQiU中，E、F分別是棱ASAB的中點(diǎn).(I)求異面直線(xiàn)DE與FC,所成的角；(II，求BG和面EFBD所成的角;2. 求空間距離問(wèn)題構(gòu)成空間的點(diǎn)、線(xiàn)

3、、面之間有七種距離，這里著重介紹點(diǎn)面距離的求法，像異面直線(xiàn)間的 距離、線(xiàn)面距離、面面距離都可化為點(diǎn)面距離來(lái)求.(1)求點(diǎn)面距離方法一：設(shè)n是平面的法向量，在:-內(nèi)取一點(diǎn)b,則a到的距離 d =| AB | cost|n|方法二：設(shè)A0 _ :于O,利用AO _和點(diǎn)0在內(nèi) 的向量表示，可確定點(diǎn) 0的位置，從而求出|a0|.方法一：找平面0使bu B且aL 0，則異面直線(xiàn)a、b的距離就'LdeLfg(III，求R到面EFBD勺距離|DE|L|FCi | I' L記異面直線(xiàn)DE與 FCi所成的角為丄則:等于向量DE與FCi的夾角或其補(bǔ)角，COS：珂 I阿1解：(I)-(DDi + D

4、1E)LCFB1 + BiCi)I DE j FCi |精彩文檔- 222=arccos轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)a到平面：的距離，又轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A到平面：的距離.(II )如圖建立空間坐標(biāo)系D xyz ,忒(1,0,2),DB 二(2,2,0)設(shè)面EFBD的法向量為J =(x, y,1)DBo O- -T-n-fn*得 (-2,2,1)又BG=(-2,0,2)記BG和面EFBD所成的角為二則 sin ： =|cosBCl,n |=| BCI J | -|BG| n|2-BG和面EFBD所成的角為4(III )點(diǎn)B到面EFBD的距離d等于向量BB,在面EFBD的法向量上的投影的絕對(duì)值，d二卸丨n| 3點(diǎn)評(píng)：1.

5、作為本專(zhuān)題的例1,首先選擇以一個(gè)容易建立空間直角坐標(biāo)系的多面體一正方體為載體， 來(lái)說(shuō)明空間角和距離的向量求法易于學(xué)生理解.2. 解決(1)后，可讓學(xué)生進(jìn)一步求這兩條異面直線(xiàn)的距離，并讓學(xué)生體會(huì)一下：如果用傳統(tǒng)方 法恐怕很難(不必多講，高考對(duì)公垂線(xiàn)的作法不作要求)3. 完成這3道小題后，總結(jié)：對(duì)于易建立空間直角坐標(biāo)系的立幾題，無(wú)論求角、距離還是證 明平行、垂直(是前者的特殊情況)，都可用向量方法來(lái)解決，向量方法可以人人學(xué)會(huì)，它程 序化，不需技巧.例2.如圖，三棱柱中，已知 A BCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，四邊形AA B B是矩形，平面AA B B 平面ABCD。(I)若AA丄1，求直線(xiàn)AB到面DA

6、C的距離.(II )試問(wèn)：當(dāng)AA的長(zhǎng)度為多少時(shí)，二面角D - AC - A的大小為60 ?解：(I)如圖建立空間坐標(biāo)系 A xyz ,DA =(-1,0,a)DC =(0,1,0)設(shè)面daC的法向量為m =(x, y,1)'茁 DA 0=0 則1j DC n = 0得 口 = (a,0,1)直線(xiàn)AB到面DAC的距離d就等于點(diǎn)A到面 DAC的距離,也等于向量AD在面DAC的法向量上的投影的絕對(duì)值,(II )易得面aaC的法向量屯=(-1,1,0)向量口也的夾角為60”-a TT T_由 cos ni, n2"n2-_- = 得 a = 1| ni |n2 | Ja +12當(dāng)AA

7、 =1時(shí)，二面角D-AC-A的大小為60 .點(diǎn)評(píng)：1 通過(guò)(I),復(fù)習(xí)線(xiàn)面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離再轉(zhuǎn)化為一向量在一向量(法向量)投 影的絕對(duì)值的解題思路與方法.2 通過(guò)(II ),復(fù)習(xí)面面角轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角或其補(bǔ)角的方法，也可借此機(jī)會(huì)說(shuō)明為什么 這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，就沒(méi)有其他情況.例3.正三棱柱ABC-ABG的所有棱長(zhǎng)均為2,P是側(cè)棱AA上任意一點(diǎn).(I)求證： 直線(xiàn)BP不可能與平面ACGA垂直；7C>y(II )當(dāng)BG B1P時(shí)，求二面角C-RP-G的大小.證明：（I）如圖建立空間坐標(biāo)系 O 一 xyz，設(shè)AP二a則 ACRP 的坐標(biāo)分別為(0, -1,0),(0,1,0),( .3,0

8、,2)(0, -1,a) .AC =(0,2,0), B1"P=( 、.3,1,a2)ACBP-_2=0 , . B,P不垂直 AC.”直線(xiàn)BP不可能與平面ACGA垂直.(II ) BCl=(- 3l,2)，由 BCi_Bf，得 BCLbIP即 2 2(a -2) =0. a =1又 BG _ B1CBG _ 面CB1P二 BG =（-73,1,2）是面CBP的法向量"T 4B1P n =0設(shè)面GBP的法向量為n =（1,y,z），由 一j B1C1 n = 0得n= （1,船,-2妁,設(shè)二面角C - Bf - G的大小為口則 cos：-BCrhj|BG IIn|-二面角C

9、 -BF -G的大小為arccos 4點(diǎn)評(píng)：1 前面選擇的兩個(gè)題，可有現(xiàn)成的坐標(biāo)軸，但本題x、z軸需要自己添加（也可不 這樣建立）.2 第（1）小題是證明題，同樣可用向量方法解答，是特殊情況；本小題也可證明這條直 線(xiàn)與這個(gè)面的法向量不平行.例4 （安徽卷） 如圖，在四棱錐 O-ABCD中，底面 ABCD四邊長(zhǎng)為 1的菱形， ABC ,4OA 底面ABCD, OA=2,M為OA的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)（I）證明：直線(xiàn) MN |平面OCD ;（n）求異面直線(xiàn) AB與MD所成角的大小;（川）求點(diǎn)B到平面OCD的距離。解：作AP _CD于點(diǎn)P如圖,分別以AB,AP,AO所在直線(xiàn)為x, y,z軸建立坐標(biāo)系

10、4°,(i)mN=(1221),o?=(0,22),od 十遼，遼44222設(shè)平面OCD的法向量為n = (x, y,z),則)=0、2y_2z =0即2 -_-x y _2z = 02 2取 z 二、2,解得 n =(0,4, J2)OMDn c P yA=(12,遼，-1)_(0,4, 2) =044.MN | 平面 OCD(2)設(shè)AB與MD所成的角為.,益(1,0,0),MD十邁遼-1)2 2AbLABmd|COST =1.=丄, AB與MD所成角的大小為233設(shè)點(diǎn)B到平面OCD的距離為d ,則d為OB在向量n二(0,4八2)上的投影的絕對(duì)值，TOBnn由 OB =(1,0,

11、2),得 d =二2 所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為-33例5 (福建？理？ 18題)如圖，正三棱柱 ABC A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2, D為CC1中點(diǎn)。(I)求證：AB1丄面A1BD ；(n)求二面角 A AQ B的大??；(川)求點(diǎn)C到平面A1BD的距離；解：(I)取BC中點(diǎn)O，連結(jié)AO . ； ABC為正三角形，.AO丄BC .在正三棱柱 ABC-ABQ!中，平面ABC丄平面BCGB , - AD丄平面BCGB!.取BG中點(diǎn)01，以O(shè)為原點(diǎn)，OB , OQ , OA的方向?yàn)閤,則 B(1,0,0) , D(-1,1,0) , A(0,2, 3), A(0,0八 3), R(1,2,0),

12、A(0,0,0), B(1,0,0),P(0, j,0), D( j, j,0),0(0,0,2), M(0,0,1),N(1 j 2Ab1 =(!, .3),BD =(-21,靈=(-1,2, 3)-2 2 0 =0, 7B莎一1 4 一3 = 0 ,AB,丄BD , Ab1 丄 BA*.AR丄平面A|BD .（n）設(shè)平面AAD的法向量為n= （x, y, z）.AD -、.3), aa|= (0,2,0).n 丄 AD ,n 丄 AA ,=0,-x y -、；3z 二 0,二 0,2y = 0,令z =1得n = （-、一3,0,1）為平面RAD的一個(gè)法向量.由（I）知 ABi丄平面ABD

13、，二AB!為平面A|BD的法向量.cos ： n,忌=nLd-二面角A-AjD-B的大小為（川）由（n）,點(diǎn)C到平面A1BD的距離d =arccos.4ABj為平面 ABD 法向量，：BC =(-2,0,0,為=(1,2,-3)BC砧|一2亠2.2 2 .AB1=|a|b|cos )總結(jié)：通過(guò)上面的例子，我們看到向量方法（更確切地講，是用公式: 解決空間角和距離的作用，當(dāng)然，以上所舉例子，用傳統(tǒng)方法去做，也是可行的，甚至有的（例2）還較為簡(jiǎn)單，用向量法的好處在于克服傳統(tǒng)立幾以純幾何解決問(wèn)題帶來(lái)的高度的技 巧性和隨機(jī)性.向量法可操作性強(qiáng)運(yùn)算過(guò)程公式化、程序化，有效地突破了立體幾何教學(xué)和學(xué)習(xí)中的難

14、點(diǎn)，是解決立體幾何問(wèn)題的重要工具.充分體現(xiàn)出新教材新思想、新方法 的優(yōu)越性.這是繼解析幾何后用又一次用代數(shù)的方法研究幾何形體的一塊好內(nèi)容，數(shù)形結(jié)合,在這里得到淋漓盡致地體現(xiàn).1計(jì)算異面直線(xiàn)所成角的關(guān)鍵是平移（補(bǔ)形）轉(zhuǎn)化為兩直線(xiàn)的夾角計(jì)算2計(jì)算直線(xiàn)與平面所成的角關(guān)鍵是作面的垂線(xiàn)找射影，或向量法（直線(xiàn)上向量與平面法向量夾角的余角），二余弦公式（最小角定理，COST - COSRCOSd2），或先運(yùn)用 等積法求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，后虛擬直角三角形求解 注：一斜線(xiàn)與平面上以斜足 為頂點(diǎn)的角的兩邊所成角相等=斜線(xiàn)在平面上射影為角的平分線(xiàn).3.計(jì)算二面角的大小主要有：定義法 （先作其平面角后計(jì)算大小 ）、公式

15、法 （cos-S影）、向量法（兩平面法向量的夾角）、等價(jià)轉(zhuǎn)換法等等二面角平面角的主S原要作法有：定義法（取點(diǎn)、作垂、構(gòu)角）、三垂線(xiàn)法（兩垂一連，關(guān)鍵是第一垂（過(guò) 二面角一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)，作另一個(gè)面的垂線(xiàn)）、垂面法.4計(jì)算空間距離的主要方法有：定義法（先作垂線(xiàn)段后計(jì)算）、等積法、轉(zhuǎn)換（平行 換點(diǎn)、換面）等.5空間平行垂直關(guān)系的證明，主要依據(jù)相關(guān)定義、公理、定理和空間向量進(jìn)行， 模式是：線(xiàn)線(xiàn)關(guān)系 線(xiàn)面關(guān)系 面面關(guān)系，請(qǐng)重視線(xiàn)面平行關(guān)系、線(xiàn)面垂直關(guān)系（三 垂線(xiàn)定理及其逆定理）的橋梁作用注意：書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程需規(guī)范.特別聲明：證明計(jì)算過(guò)程中，若有“中點(diǎn)”等特殊點(diǎn)線(xiàn)，則常借助于“中 位線(xiàn)、重心”等知識(shí)轉(zhuǎn)化. 在證明計(jì)算過(guò)程中常將運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將具體問(wèn)題轉(zhuǎn)化（構(gòu)造）為特殊幾何體（如三棱錐、正方體、長(zhǎng)方體、三棱柱、四棱柱等 ）中問(wèn)題，并獲得去解 決. 如果根據(jù)已知條件，在幾何體中有“三條直線(xiàn)兩兩垂直”，那么往往以此為基礎(chǔ)，建立空間直角坐標(biāo)系，并運(yùn)用空間向量解決問(wèn)題.6求幾何體體積的常規(guī)方法是：公式法、割補(bǔ)法、等積（轉(zhuǎn)換）法、比例（性質(zhì)轉(zhuǎn)換）法等.練習(xí)：1 在正四面體S-ABC中，棱長(zhǎng)為a , E, F分別為SA和BC的中點(diǎn)，求異面直線(xiàn)BE和SF2所成的角.（arccos-）32.在邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD中, ABC =