經(jīng)典小學(xué)奧數(shù)題型(幾何圖形)

1、小學(xué)奧數(shù)平面幾何五種模型（等積，鳥頭，蝶形，相似，共邊）目標(biāo)：熟練掌握五大面積模型等積，鳥頭，蝶形，相似（含金字塔模型和沙 漏模型），共邊（含燕尾模型和風(fēng)箏模型），掌握五大面積模型的各種變形 知識點(diǎn)撥一、等積模型等底等高的兩個三角形面積相等；兩個三角形高相等，面積比等于它們的底之比;兩個三角形底相等，面積比等于它們的高之比；如右圖a:b夾在一組平行線之間的等積變形，如右圖& ACD S BCD；反之，如果& acd Sa BCD ,則可知直線AB平行于CD .等底等高的兩個平行四邊形面積相等 （長方形和正方形可以看作特殊的平 行四邊形）三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積

2、的一半；兩個平行四邊形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個平行四邊形底相等，面積比等于它們的高之比.二、鳥頭定理兩個三角形中有一個角相等或互補(bǔ)，這兩個三角形叫做共角三角形.共角三角形的面積比等于對應(yīng)角（相等角或互補(bǔ)角）兩夾邊的乘積之比.如圖在4ABC中，D,E分別是AB,AC上的點(diǎn)如圖 （或D在BA的延長線上，E在 AC 上）,貝USaabc：Saade （AB AC）： （AD AE）任意四邊形中的比例關(guān)系（“蝶形定理”）： S：S2 $4$或者& S3 S2 S4 AO：OC S & ： S4 s3蝶形定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途徑.通過構(gòu)造模型，一方

3、面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊 形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積 對應(yīng)的對角線的比例關(guān)系.梯形中比例關(guān)系（“梯形蝶形定理”）： a2:b2 § : S3 : S2: S4 a2: b2: ab: ab ;S的對應(yīng)份數(shù)為a b2.四、相似模型（一）金字塔模型 AD AE DE AF .AB AC BC AG 'S ADE： SAABC AF2：AG2.二）沙漏模型（只要其形狀不改變,所謂的相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角形 不論大小怎樣改變它們都相似），與相似三角形相關(guān)的常用的性質(zhì)及定理如相似三角形的一切對應(yīng)線段的長度成比例，并且這個比例等于它們的相

4、似 比；相似三角形的面積比等于它們相似比的平方；連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.三角形中位線定理：三角形的中位線長等于它所對應(yīng)的底邊長的一半.相似三角形模型，給我們提供了三角形之間的邊與面積關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的工 具.在小學(xué)奧數(shù)里，出現(xiàn)最多的情況是因?yàn)閮蓷l平行線而出現(xiàn)的相似三角形. 五、共邊定理（燕尾模型和風(fēng)箏模型）在三角形ABC中，AD , BE, CF相交于同一點(diǎn)O,那么 S ABO : S ACO BD : DC .上述定理給出了一個新的轉(zhuǎn)化面積比與線段比的手段，因 為ABO和ACO的形狀很象燕子的尾巴，所以這個定理被稱 為燕尾定理.該定理在許多幾何題目中都有著廣泛的運(yùn) 用，它的特

5、殊性在于，它可以存在于任何一個三角形之中，為三角形中的三角形面積對應(yīng)底邊之間提供互相聯(lián)系的途徑.典型例題【例1】 如圖，正方形ABCD勺邊長為6, ae 1.5, cf 2.長方形EFGH勺面【解析】連接DE DF,則長方形EFGH勺面積是三角形DEF®積的二倍.三角形DEF勺面積等于正方形的面積減去三個三角形的面積，Sa def6 6 1.5 6 2 2 6 2 4.5 4 2 16.5，所以長方形 EFGH面積為33.【鞏固】如圖所示，正方形ABCD的邊長為8厘米，長方形EBGF的長BG為10厘 米，那么長方形的寬為幾厘米？D G CD G C【解析】本題主要是讓學(xué)生會運(yùn)用等底等

6、高的兩個平行四邊形面積相等（長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形）.三角形面積等于與它等底 等高的平行四邊形面積的一半.證明：連接AG.（我們通過ABG把這兩個長方形和正方形聯(lián)系在起）. 1 -I- 、 4 t-tz11在正方形ABCD中 , S»A ABG -AB AB邊上的高，21二SAABG 2 SWABCD （三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半）1叵I 理,Sa ABG 2 Sefgb .正方形ABCD與長方形EFGB面積相等. 長方形的寬 8 8 10 6.4（厘米）.【例2】 長方形ABCD的面積為36cm2,G為各邊中點(diǎn),H為AD邊上任意一點(diǎn)，問陰影部分

7、面積是多少?BH、 HC ,【解析】解法一：尋找可利用的條件，連接如下圖:SabcdS EBFS陰影S AHB S CHB即 S EHBS CHDS BHF36BE BFS EHBAHB S CHB S CHD )S DHGS EHBS DHG1AB)(一2BC)BHF S DHGSM影12S EBF36 18 ;所以陰影部分的面積是: 解法二：特殊點(diǎn)法.我 那么圖形就可變成右圖：8S陰影36 4.5 .18 SEBF 18 4.513.5H的特殊點(diǎn)，把H點(diǎn)與D點(diǎn)重合,DEF的面積,這樣陰影部分的面積就是根據(jù)鳥頭定理，則有:SABCDS AED S BEF S CFD 3636221 136

8、- - 36 13.5.2 2【鞏固】在邊長為6厘米的正方形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)P,將正方形的一組對邊二等分，另一組對邊三等分，分別與 P點(diǎn)連接，求陰影部分面積.【解析】(法1)特殊點(diǎn)法.由于P是正方形內(nèi)部任意一點(diǎn)，可采用特殊點(diǎn)法， 假設(shè)P點(diǎn)與A點(diǎn)重合，則陰影部分變?yōu)槿缟现袌D所示，圖中的兩個陰 影三角形的面積分別占正方形面積的 1和1 ,所以陰影部分的面積為4662 (- 1) 15平方厘米. 4 6(法2)連接PA、PC .由于PAD與PBC的面積之和等于正方形 ABCD面積的一半，所以上、 下兩個陰影三角形的面積之和等于正方形ABCD面積的1 ,同理可知4左、右兩個陰影三角形的面積之和等于正

9、方形ABCD面積的1 ,所以陰6影部分的面積為62 (1 1) 15平方厘米.4 6【例3】如圖所示，長方形 ABCD內(nèi)的陰影部分的面積之和為70, AB 8,AD 15,四邊形EFGO的面積為.【解析】利用圖形中的包含關(guān)系可以先求出三角形AOE、DOG和四邊形EFGO的面積之和，以及三角形AOE和DOG的面積之和，進(jìn)而求出四邊形EFGO 的面積.由于長方形ABCD的面積為15 8 120 ,所以三角形BOC的面積為120 1 30,所以三角形AOE和DOG的面積之和為120 3 70 20 ； 44又三角形AOE、DOG和四邊形EFGO的面積之和為120 1 -30,所以2 4四邊形EFGO

10、的面積為30 20 10 .另解：從整體上來看，四邊形 EFGO的面積 三角形AFC面積 三角形 BFD面積 白色部分的面積，而三角形 AFC面積 三角形BFD面積為長 方形面積的一半，即60,白色部分的面積等于長方形面積減去陰影部分的面積，即120 70 50,所以四邊形的面積為60 50 10 .【鞏固】如圖，長方形ABCD的面積是陰影部分的面積為36,E是AD的三等分點(diǎn)，AE 2ED ,則【解析】如圖，連接OE .根據(jù)蝶形定理，ON : NDS COE : S CDE1 一2 S CAE : S CDE 1:1 ,所以S OEN - S2OM : MAS BOE ： S BAE又 S O

11、ED1 1qSg形 ABCD3 42.7 . S BDE : S BAE23 , S OEA1:4,所以2Soed 6,所以陰影部分面積為:【例4】已知ABC為等邊三角形，面積為 已知甲、乙、丙面積和為 143, HBC )400, D、E、F分別為三邊的中點(diǎn)， 求陰影五邊形的面積.(丙是三角形【解析】因?yàn)镈、E、F分別為三邊的中點(diǎn)，所以DE、DF、EF是三角形ABC的 中位線，也就與對應(yīng)的邊平行，根據(jù)面積比例模型，三角形 ABN和三 角形AMC的面積都等于三角形ABC的一半，即為200.S ABN S AMCSAMHN ,SAMHN .根據(jù)圖形的容斥關(guān)系，有Sabc Sw 即 400 s丙

12、200 200 Samhn ,所以 SW 又Sw S ADF & S乙Samhn ,所以&W& 臣S丙S adf1143 400 434【例5】 如圖，已知CD 5 , DE 7 , EF 15, FG 6,線段AB將圖形分成兩部 分，左邊部分面積是38,右邊部分面積是65,那么三角形ADG的面 積是.連接AF , BD .根據(jù)題意可知，CF 5 7 1515 c所以，S BEF 27 S CBF , S BEC27； DG 7 15 6 28 ；干旱.21s15SZE s ADGs CBF282712S 27765;一 ，28217CBF , S AEG S ADG

13、, S AED b S 2828c 12c “S ADG 27 S CBF 38 ；可得S adg 40 .故三角形adg的面積是40.【例6】 如圖在ABC中，D,E分另fj是AB,AC上的點(diǎn)，且AD: AB 2:5 , AE:AC 4:7 , Saade 16平方厘米，求ABC的面積.【解析】連接 BE,Sa ADE: Sa ABE AD： AB 2:5(24):(5 4),Sa abe : Sa abcAE:AC 4:7 (4 5):(7 5),所以 S adeSabc (2 4):(7 5), 設(shè)Saade 8份，則S abc 35份，SAade 16平方厘米，所以1份是2平方厘米，

14、35份就是70平方厘米， ABC的面積是70平方厘米.由此我們得到一 個重要的定理，共角定理：共角三角形的面積比等于對應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比.【鞏固】如圖，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角 形ADE的面積等于1 ,那么三角形ABC的面積是多少？AD EB【解析】連接BE .EC 3AE, , SvABC 3 SVABEAB 5ADDESVABE 5 SVABC 15BC 15SVADE15BE 3 . AE6, A乙部分面積是甲部分面積的幾倍?AB 連接AD . BE 3 , /. AB 3BEAE 6ABDOv-VBDEBD DC 4BC 2 SV

15、ABD ,ABC6SVBDE三角形 ABO分成了甲(陰影部分)、乙兩部分，BD DC 4如圖在 ABC中，D在BA的延長線上，E在 AC上，且 AB: AD 5: 2 AE:EC 3:2, SAade 12平方厘米，求 ABC的面積.【解析】 連接 BE, SA ade： Sa abe AD： AB 2:5 (2 3):(5 3)SAabe ：Saabc AE：AC 3： (3 2) (3 5)： (3 2) 5 ,所以 SAADE ： SA ABC (3 2)：5 (3 2) 6:25,設(shè) SA ade 6 份，則 SA abc 25 份，SAade 12平方厘米，所以1份是2平方厘米，25

16、份就是50平方厘米，4ABC的面積是50平方厘米.由此我們得到一個重要的定理，共角定理：共角三角形的面積比等于對應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比例 8 如圖，平行四邊形 ABCD, BE AB, CF 2CB , GD 3DC , HA 4AD ,平 行四邊形ABCD的面積是2,求平行四邊形ABCD與四邊形EFGH的面 積比.連接AC、BD .根據(jù)共角定理,在 ABC 和 ABFE 中， ABC 與 FBE 互補(bǔ),.Saabc AB BC 1 1 1SAFBE BE BF C 3 .又 S»A ABC1 ,所以 SA FBE3 同理可得S GCF8 ,SADHG15 ,SAAE

17、H8 15+3+2 36 .以 SEFGH SAAEH SA CFG SADHG S BEF SABCD 8 所以SBCD二.SEFGH 3618【例9】如圖所示的四邊形的面積等于多少?【解析】題目中要求的四邊形既不是正方形也不是長方形，難以運(yùn)用公式直接求面積.我們可以利用旋轉(zhuǎn)的方法對圖形實(shí)施變換：把三角形OAB繞頂點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)，使長為13的兩條邊重合，此時三 角形OAB將旋轉(zhuǎn)到三角形OCD的位置.這樣，通過旋轉(zhuǎn)后所得到的新 圖形是一個邊長為12的正方形，且這個正方形的面積就是原來四邊形 的面積.因此，原來四邊形的面積為12 12 144.（也可以用勾股定理）【例10 如圖所示，ABC中，

18、ABC 90 , AB 3 , BC 5 ,以AC為一邊向 ABC外作正方形ACDE ,中心為O,求OBC的面積.E【解析】如圖，將OAB沿著O點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90 ,到達(dá)OCF的位置.由于 ABC 90 , AOC 90 , 所以 OAB OCB 180 ,而 OCF OAB , 所以 OCF OCB 180 ,那么 B、C、F三點(diǎn)在一條直線上.由于OB OF, BOF AOC 90 ,所以BOF是等腰直角三角形，且斜邊BF為5 3 8,所以它的面積為82 - 16 .4根據(jù)面積比例模型，OBC的面積為16 5 10.8【例11如圖，以正方形的邊AB為斜邊在正方形內(nèi)作直角三角形AEB 90 ,

19、AC、BD 交于 O . 三角形OBE的面積.已知AE、BE的長分別為3cm、F2【解析】如圖，連接DE ,以A點(diǎn)為中心，將ADE順時針旋轉(zhuǎn)90至口 ABF的位置. 那么 EAF EAB BAF EAB DAE 90 , 而 AEB也是90 , 所以四邊 形AFBE是直角梯形，且 AF AE 3, 所以梯形AFBE的面積為：12 3 5 3 12( cm ). 2又因?yàn)锳BE是直角三角形，根據(jù)勾股定理，AB2 AE2 BE2 32 52 34 ,所以S ABD所以S OBE1AB2 2S ABDISS BDE17( cm2).S ABE S ADE S ABDSAFBE17 12 5( cm2

20、),2.5( cm2).【例12】如下圖，六邊形ABCDEF中，AB ED , AF CD, BC EF ,且有AB平行于ED , AF平行于CD , BC平行于 EF ,對角線FD垂直于 BD ,已知FD 24 厘米，BD 18厘米，請問六邊形ABCDEF的面積是多少平方厘米？【解析】如圖，我們將BCD平移使得CD與AF重合，將DEF平移使得ED與AB重 合，這樣EF、BC都重合到圖中的AG 了.這樣就組成了一個長方形 BGFD,它的面積與原六邊形的面積相等，顯然長方形BGFD的面積為24 18 432平方厘米，所以六邊形 ABCDEF的面積為432平方厘米.【例13】如圖，三角形 ABC的

21、面積是1,BD:DC 1:2, AD 與 BE 交于點(diǎn) F.E是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在BC上，且 則四邊形DFEC的面積等于,【解析】方法一：連接CF,根據(jù)燕尾定理，變ID 1，/譽(yù)1,SA ACFDC 2 33FES ade1SA CBFEC設(shè)Szx BDF1份，則54DCF2份 ,SA ABF3 份，S»A AEFS*A EFC3 份,如圖所標(biāo)所以Sdcef2勺-SA ABC121211萬法二：連接DE,由題目條件可得到SA ABD-SA ABC鼻，33S 1s 1 2S 1 斫以空 .abd 1S ADEoSA ADCoS SA ABCyT 以匚匚 Q. ?1111111 SA D

22、EB ' BEC ' abc,2232 3 212'而CDE 2 1 SAABC 1 .所以則四邊形DFEC的面積等于2.3 2312【鞏固】如圖，長方形ABCD的面積是2平方厘米，EC 2DE,F是DG的中點(diǎn).陰 影部分的面積是多少平方厘米？DEC【解析】設(shè)$ DEF1份，則根據(jù)燕尾定理其他面積如圖所示平方厘米.Sb影mBCD1212【例14】四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)0（如圖所示）.如果三角形ABD 的面積等于三角形BCD的面積的1,且A0 2, DO 3,那么CO的長度3【解析】在本題中，四邊形ABCD為任意四邊形，對于這種"不良四邊形”，無

23、 外乎兩種處理方法：利用已知條件，向已有模型靠攏，從而快速解 決；通過畫輔助線來改造不良四邊形.看到題目中給出條件SZABD ： Svbcd 1：3,這可以向模型一蝶形定理靠攏，于是得出一種解法.又 觀察題目中給出的已知條件是面積的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，可以得到第二種解法，但是第二種解法需要一個中介來改造這個"不良四邊形”，于是可以作AH垂直BD于H , CG垂直BD于G ,面積比轉(zhuǎn)化為高 之比.再應(yīng)用結(jié)論：三角形高相同，則面積之比等于底邊之比，得出 結(jié)果.請老師注意比較兩種解法，使學(xué)生體會到蝶形定理的優(yōu)勢，從 而主觀上愿意掌握并使用蝶形定理解決問題.解 法一： AO：OC S ab

24、d ：S Bdc 1:3 , OC 2 3 6 , 二OC:OD6:3 2:1 ,解法二： 作 AH BD于H, CG BD于 G.二 S BCD ,. AH 1CG , S aod3'3，. SABD.1AO -CO , OC 2 3 6 , OC:OD 6:3 2:1 . 3【鞏固】如圖，四邊形被兩條對角線分成 4個三角形，其中三個三角形的面 積已知，求：三角形BGC的面積；AG:GC ?【解析】根據(jù)蝶形定理 ,SVBGC12 3,那么SVBGC6 ；根據(jù)蝶形定理，AG:GC 12:36 1:3.【例15如圖，平行四邊形 ABCD的對角線交于O點(diǎn)，CEF、AOEF > AOD

25、F > BOE的面積依次是2、4、4和6.求：求OCF的面積；求4GCE 的面積.【解析】 根據(jù)題意可知， 4BCD的面積為2 4 4 6 16,那么ABCO和CDO的 面積都是16 2 8,所以4OCF的面積為8 4 4；由于ABCO的面積為8, 4BOE的面積為6,所以O(shè)CE的面積為8 6 2,根據(jù)蝶S GCE : S GCF EG: FG那么S GCE形定理，EG :FG1:2 ,1c1c2S CEF-2一.1233S COE: S COF2:4 1: 2【例16 如圖，長方形 ABCD中，BE:EC 2:3 , DF :FC 1:2,三角形DFG的面積 為2平方厘米，求長方形AB

26、CD的面積.【解析】SVDEF【例17】FE .BE:EC 2:3連接AE ,因(5 32)S長方形 ABCD歷務(wù)方形ABCD1八因?yàn)?SVAED2 s長方形 ABCD , AG ： GF厘米，所以Svafd12平方厘米.ABCD的面積是72平方厘米.DF:FC 1:210因?yàn)?:1 ,所以SvAGD5Svgdf10 平方_1 _SVAFD不 SK方形 ABCD , 所以長方形6如圖，正方形ABCD面積為3平方厘米, 陰影部分的面積.M是AD邊上的中點(diǎn).求圖中因?yàn)镸是AD邊上的中點(diǎn)，所以AM:BC 1:2,根據(jù)梯形蝶形定理可以知 道& AMG : & ABG : S*A MCG

27、 : & BCG 12 :(1 2) :(1 2) :22 1: 2:2:4 ,設(shè) S.AGM 1份，則Sa mcd 1 2 3 份，所以正方形的面積為12243 12份，晶影2 2 4份，所以“影：S正方形1:3,所以時影1平方厘米.【鞏固】在下圖的正方形ABCD中，E是BC邊的中點(diǎn)，AE與BD相交于F點(diǎn)， 三角形BEF的面積為1平方厘米，那么正方形ABCD面積是 平方厘米.AD【解析】連接DE ,根據(jù)題意可知BE: AD 1:2 ,根據(jù)蝶形定理得 2S弟形（1 2）9（平萬厘米），S ECD3（平萬厘米），那么Swabcd 12（平方厘米）.【例18】 已知ABCD是平行四邊形，B

28、C:CE米.則陰影部分的面積是3:2,三角形ODE的面積為6平方厘 平方厘米.【解析】連接AC .由于ABCD是平行四邊形，BC:CE 3:2,所以CE:AD 2:3,根據(jù)梯形蝶形定理，SVCOE:S/AOC: SVDOE:SVAOD2 : 2 3: 23: 324:6:6:9 ,所以S/AOC 6 （平方厘米），S/AOD 9 （平方厘米），又 Svabc S/ACD 6 9 15（平方厘米），陰影部分面積為6 15 21（平方厘 米）.【鞏固】右圖中ABCD是梯形，ABED是平行四邊形，已知三角形面積如圖所 示（單位：平方厘米），陰影部分的面積是 平方厘米.【分析】連接AE .由于AD與B

29、C是平行的，所以AECD也是梯形，那么S OCD S OAE 2根據(jù)蝶形7E理，S OCD S OAE S OCE S OAD 4 9 36 ,故 S OCD 36 ,所以SOCD 6（平方厘米）.【鞏固】右圖中ABCD是梯形，ABED是平行四邊形，已知三角形面積如圖所 示（單位：平方厘米），陰影部分的面積是 平方厘米.【解析】連接AE .由于AD與BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么S OCD S OAE 根據(jù)蝶形定理， S OCD S OAE S OCE S OAD 2 8 16,故 S OCD 16,所以SOCD 4（平方厘米）.另解：在平行四邊形ABED中，SADE - SYABE

30、D , 16 812（平方厘米），22所以S AOE S ADE S AOD 12 8 4（平方厘米）,根據(jù)蝶形定理，陰影部分的面積為8 2 4 4（平方厘米）.已知其中3塊的面積分別OFBC的面積為【例19如圖，長方形ABCD被CE、DF分成四塊, 為2、5、8平方厘米，那么余下的四邊形 平方厘米.【解析】連接DE、CF .四邊形EDCF為梯形，所以S EOD SvFOC ,又根據(jù)蝶形定理,S EOD S FOCS EOF S COD , 所以S EOD S FOC S EOF S COD2 8 16,所以SEOD 4（平方厘米），SECD 4 8 12（平方厘米）.那么長方形ABCD的面

31、積為12 2 24平方厘米，四邊形OFBC的面積為24 5 2 8 9 （平方厘米).【例20】如圖，ABC是等腰直角三角形，DEFG是正方形，線段AB與CD相交 于K點(diǎn).已知正方形DEFG的面積48, AK:KB 1:3,則BKD的面積是 多少？【解析】由于DEFG是正方形，所以DA與BC平行，那么四邊形ADBC是梯形.在 梯形ADBC中，BDK和ACK的面積是相等的.而AK : KB 1:3,所以ACK 的面積是ABC面積的，1,那么BDK的面積也是 ABC面積的1.1 3 44由于ABC是等腰直角三角形，如果過A作BC的垂線，M為垂足，那么 M是BC的中點(diǎn)，而且AM DE,可見 ABM和

32、ACM的面積都等于正方 形DEFG面積的一半，所以 ABC的面積與正方形DEFG的面積相等，為 48.那么BDK的面積為48 1 12 .4【例21 下圖中，四邊形ABCD都是邊長為1的正方形，E、F、G、H分別是 AB, BC, CD, DA的中點(diǎn)，如果左圖中陰影部分與右圖中陰影部分的面積之比是最簡分?jǐn)?shù)m,那么，(m n)的值等于n【解析】左、右兩個圖中的陰影部分都是不規(guī)則圖形，不方便直接求面積，觀 察發(fā)現(xiàn)兩個圖中的空白部分面積都比較好求，所以可以先求出空白部分的面積，再求陰影部分的面積.如下圖所示，在左圖中連接EG .設(shè)AG與DE的交點(diǎn)為M .左圖中AEGD為長方形，可知 AMD的面積為長

33、方形AEGD面積的1 ,所 4以三角形AMD的面積為12 1 1 L又左圖中四個空白三角形的面積是 2 4 8相等的，所以左圖中陰影部分的面積為1 1 482如上圖所示，在右圖中連接 AC、EF .設(shè)AF、EC的交點(diǎn)為N.可知EF/ AC且AC 2EF .那么三角形BEF的面積為三角形ABC面積的1 ,所以三角形BEF的面積為12 1 1 '梯形AEFC的面積為1 1 3.42 4 82 8 8在梯形AEFC中，由于EF:AC 1:2,根據(jù)梯形蝶形定理，其四部分的面積比為：12:1 2:1 2:22 1:2: 2:4 ,所以三角形EFN的面積為3 1一 那么四邊形BENF的面積為1&#

34、177;1.而右圖中四個空8 1 2 2 4248246白四邊形的面積是相等的，所以右圖中陰影部分的面積為11463那么左圖中陰影部分面積與右圖中陰影部分面積之比為I3:2 ,2 3即m 9, n 2那么m n 3 2 5.【例22如圖， 4ABC中，DE , FG , BC互相平行，AD DF FB , 貝！J & ADE : S3邊形 DEGF : S3邊形 FGCB .設(shè)&ADE 1份，根據(jù)面積比等于相似比的平方,所以s ADE:SA AFG22AD2:AF2SA ADE : S ABC22AD2 : AB2因此S AFG4份，SA ABC9份,進(jìn)而有Sg邊形DEGF3份

35、，S四邊形 FGCB5份，所以Saade:S3邊形 DEGF:S3邊形 FGCB1:3: 5【鞏固】 如圖， DE平行BC,且 AD 2, AB 5 , AE 4,求 AC的長.A【解析】 由金字塔模型得 AD:AB AE: ACDE:BC 2:5 ,所以 AC 4 2 5 10【鞏固】如圖, 相平行， ABC 中，DE , FG ,BC互AD DF FM MP PB ,貝USa ADE : S3邊形 DEGF :S四邊形 FGNM :S四邊形 MNQP:S四邊形 PQCB設(shè) Saade1 份，Saade : SaafgAD2: AF2 1:4,因此S AFG 4份，進(jìn)而有S3邊形DEGF3份

36、，同理有S3邊形 FGNM5份,S四邊形 MNQP7份， SI邊形PQCB 9份.1:3: 5:7:9所以有S*A ADE : S四邊形 DEGF : S3邊形 FGNM :S四邊形 MNQP : S四邊形 PQCB【例23如圖，已知正方形 ABCD的邊長為4, F是BC邊的中點(diǎn)，E是DC邊上 的點(diǎn)，且 DE:EC 1:3, AF與BE相交于點(diǎn) G,求S abg【解析】方法一：連接AE ,延長AF , DC兩條線交于點(diǎn)M ,構(gòu)造出兩個沙漏,所以有AB:CMBF:FC 1:1 ,因止匕CM 4,根據(jù)題意有CE 3,再根據(jù)另個 沙 漏 有 GB:GE AB: EM 4:7S ABGSA ABE&#

37、163;11(44 2)3211AE, EF分別求SA abfSa aef4441232247根據(jù)蝶SA ABF:S AEF4八432bg：ge 4:7,所以 &ABGabe 11 (4 4 2) K【例24如圖所示，已知平行四邊形ABCD的面積是1, E、F是AB、 AD的中點(diǎn)， BF交EC于M,求 BMG的面積.AD的中點(diǎn),EF /BDFD:BC FH : HC 1:2, EB:CD BG:GD 1:2所以 CH:CF GH : EF并得G、H是BD的三等分點(diǎn),所以BG2:3 ,GH ,所以BG: EF BM:MF 2:3 ,所以 BM又因?yàn)锽G 3BD,所以2BF51 23 5B

38、FDS BFD1s225ABD12130-SYABCD解法二：延長CE交DA于I如右圖,可得,AI : BCAE: EB從而可以確定的點(diǎn)的位置,BM : MFBC:IFBM可得S2 1BMG S BDF5 32BF ,51Sy abcd4-1BG -BD3130（鳥頭定理），【例25 如圖，ABCD為正方形, 形PQRS的面積為多少？AMNB DE FC 1cm且MN 2cm,請問四邊（法1）由AB/CD ,有空 MNMQ QC 1MC ,所以 PQ 2三DC1-MC 211-MC - MC ,所以 SsPQR36MBEC占 SAM'CF所以4 4 8 ( cm2),月F 以 Sspq

39、r - 1 (1 1 2) - (cm ).63(法2)如圖,連結(jié)AE,則Sabe而RBABEFEF而 S MBQ S ANSEF142 ，3( cm2),因?yàn)镸NDC2 o 162、8 ( cm ).33MPPC '所以MP -MC , 3貝U S MNPS ABR S ANS S MBQ S MNP12 4216 _1 4( cm2),陰影部分面積等于3 33 333|(cm2).【例26】 如右圖，三角形 ABC中，BD:DC 4:9, CE: EA 4:3, 求 AF :FB .B【解析】 根據(jù)燕尾定理得SA aobSaoc BD:CD 4:9 12:27Sa aob : Sa

40、 boc AE :CE 3:4 12:16(都有AOB的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù))所以 Saaoc : Saboc 27:16 AF : FB【點(diǎn)評】本題關(guān)鍵是把4AOB的面積統(tǒng)一，這種找最小公倍數(shù)的方法，在我 們用比例解題中屢見不鮮，如果能掌握它的轉(zhuǎn)化本質(zhì)，我們就能達(dá) 到解奧數(shù)題四兩撥千斤的巨大力量！【鞏固】 如右圖，三角形 ABC中，BD:DC 3:4, AE:CE 5:6 ,求AF :FB.B【解析】 根據(jù)燕尾定理得SA aobSaoc BD :CD 3:4 15:20SAaob : Sa boc AE : CE 5: 6 15:18(都有AAOB的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù)) 所

41、以 Saaoc : Saboc 20:18 10:9 AF : FB【鞏固】 如右圖，三角形 ABC中，BD:DC 2:3, EA:CE 5:4, 求 AF : FB .A【解析】 根據(jù)燕尾定理得 SAAOBSAOC BD :CD 2:3 10:15SAAOB : SA BOC AE : CE 5: 4 10:8（都有AOB的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù)）所以 SA AOC : SA BOC 15:8 AF ： FB【點(diǎn)評】本題關(guān)鍵是把4AOB的面積統(tǒng)一，這種找最小公倍數(shù)的方法，在我 們用比例解題中屢見不鮮，如果能掌握它的轉(zhuǎn)化本質(zhì)，我們就能達(dá) 到解奧數(shù)題四兩撥千斤的巨大力量！【例27】 如右圖

42、，三角形 ABC中，AF: FB BD: DC CE: AE 3:2,且三角形 ABC的 面積是1 ,則三角形 ABE的面積為 ,三角形AGE的面積為,三角形GHI的面積為.AA【分析】 連接AH、BI、CG .由于CE: AE 3:2 ,所以AE 根據(jù)燕尾定理， S ACG : S ABGB：D C2 AC ,故 S ABE - S ABC ； 555CD ：BD 2:3, S bcg ：S abg CE ：EA 3:2,所以S ACG : S ABG : S BCG4:6:9 ,則 SACGS BCG19；那么SAGE |SAGC519 95；同樣分析可得SA： 19,則EG.EG :EB

43、 S ACG : S ACB 4:19 , 所以 EG:GH : HB 4:5:10 ,S ACG : S ACH 4 : 9同樣分析可得AG:GI : ID所以SBIE10:5: 4 ,5 G5 2S BAE 1010 5S GHI5 c 511o S BIE1919 5 19【鞏固】如右圖，三角形ABC中,AF : FB BD: DC CE: AE 3:2,且三角形 GHI的面積是1,求三角形ABC的面積.EEC【解析】連接BG Sa agc根據(jù)燕Sa agc : Sa bgcAF : FB3:2 6:4Sa abg : Sa agcBD : DC3: 29:6個于SABGC4（份），SL

44、 ABG9（份），貝 U SA ABC19（份）,因此2與SAABC19同理連接AI、CH導(dǎo)巨”9,注9,所以19 6 6 6SA ABC19 SA ABC19SAABC19三角形GHI的面積是1,所以三角形ABC勺面積是19ABC的面積是陰【鞏固】 如圖， ABC中BD 2DA, CE 2EB , AF 2FC ,那么影三角形面積的倍.【分析】如圖，連接AI . 根據(jù)燕尾定理，S BCI : S aci BD : AD所以， S ACI : S BCI : S ABI 1: 2 :4 ,那么,2:1 ,S BCIS bci : S abi CF :AF 1:2,2 e 2cS ABC S A

45、BC 1 2 47同理可知ACG和ABH的面積也都等于 ABC面積的-,所以陰影三角7形的面積等于 ABC面積的1 2 31，所以ABC的面積是陰影三角形 77面積的7倍.【鞏固】如圖在MBC中，區(qū)區(qū)里1,求:GHI%；的值.DB EC FA 2 ABC 的面積AEAEDD【解析】連接83設(shè)$. BGC1份，根據(jù)燕尾定理SA AGC : SABGCAF:FB 2:1,S，bg： &agc BD : DC 2:1 ,得 SA2（份）,Saabg 4（份），則S.abc 7（份），因此 U ,同理連接AI、CH導(dǎo)SABC7冬”2, 2 2,所以 Saghi 7 2 2 2 1SA ABC

46、7 SA ABC 7SA ABC77【點(diǎn)評】如果任意一個三角形各邊被分成的比是相同的，那么在同樣的位置 上的圖形，雖然形狀千變?nèi)f化，但面積是相等的，這在這講里面很 多題目都是用“同理得到”的，即再重復(fù)一次解題思路，因此我們 有對稱法作輔助線.【例28】 如圖，三角形 ABC的面積是1, BD DE EC, CF FG GA,三角形ABC 被分成9部分，請寫出這9部分的面積各是多少？【解析】設(shè)BGW A位于點(diǎn)P, BG與AE交于點(diǎn)QBF與AD交于點(diǎn)M BF與AE交于點(diǎn)N.連接CP CQ CM CNSA AQG根據(jù)燕尾定理,S ABP : SACBPSA ABP1 （份）,則 SA ABC同理可得

47、,SAABQ7 21同理,SA BPMWS人SABDM35AG ：GC 1： 2 ,5（份），所以-,SA ABN7SI邊形PQMNSA ABP : SA ACPBD : CDSA ABP一53，所以S APQ5 353570S3邊形 MNED3 35 70-5- , S3邊形 NFCE423 21 42SH邊形GFNQ2142【鞏固】如圖，ABC的面積為1,點(diǎn)D、E是BC邊的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F、G是AC邊的三等分點(diǎn)，那么四邊形JKIH的面積是多少?【解析】連接CK、CI、CJ .根據(jù)燕尾定理，S ACK : S ABK CD : BD 1:2,所以s ACK : S ABK : S CBK類似分

48、析可得Sagi1:2:4 ,那么 Sack2S ABK : S CBK1112 4 7AG : CG 1:2,S AGK1ACK 21又 S ABJ : S CBJAF : CF那么，ScgkJ114 21152:1, S ABJ : S ACJ BD :CD 2:1,84可得S ACJ根據(jù)對稱性,可知四邊形CEHJ的面積也為84,那么四邊形JKIH周圍的圖形的面積之和為SCGKJ2 SAGISABE 84 2125 3柴所以四邊形JKIH的面積為1 60 70【例29】右圖， ABC中，G是AC的中點(diǎn),D、 E、F是BC邊上的四等分點(diǎn),1 16AD與BG交于M , AF與BG交于N ,已知4

49、ABM的面積比四邊形FCGN的 面積大7.2平方厘米，則 ABC的面積是多少平方厘米？【解析】連接CM、CN .根據(jù)燕尾定理，1c& ABMSA ABC，5再根據(jù)燕尾定理,Sa ABM : SacbmAG:GC 1:1 ,SA ABM : SA ACMBD ：CD1:3 ,所以Sa ABN : Sa CBNAG:GC 1:1SA ABN : SA FBNSA CBN : SA FBN4:3 ,所以 AN : NF,所以4:3 ,那么SZ ANGSA AFC所以Sfcgn1 Sa AFC7258 s ABC 根據(jù)題意，有1s ABC SA ABC 5287.2 ,可得 SA ABC336

50、 （平方厘米）【例30如圖，面積為l的三角形ABC CA的三等分點(diǎn)，求陰影部分面積.DX E、F、G H I 分別是 AB BC【解析】三角形在開會，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI與CD勺交點(diǎn)為M AF與CD勺交點(diǎn)為N, BI與AF的交點(diǎn)為P, BI與CE的交點(diǎn)為Q連接AM BN CP求 S四邊形ADMI : 在4ABC中，根據(jù)燕尾定理，SA ABM : SA CBMAI : CI1 : 2 SA ACM : SA CBMAD : BD 1:2以 SA ABM1"加，則 SA cbm2 （份），SA ACM1（傷），SA ABC4（份）,所以SA ABMSAACMSA ABC , 4所以SA ADMSA ABM3一SA ABC , S AIM12一SA ABC , 12所以 SI邊形 ADMI（一） SA ABC12 121SA ABC, 6同理可得另外兩個頂點(diǎn)的四邊形面積也分別是 ABC面積的16求S五邊形DNPQE :在AABC中，根據(jù)燕尾定理SA ABN : SA ACNBF :CF 1: 2 SA acn : SABCNAD :BD1:2,所以SA ADN1SSA ABN 3- SA ABC3 721&ABC,同理 S> BEQ- SA ABC21 ABC施八、SA ABP : SA ACPB