51提高_空間向量的直角坐標(biāo)運算(理)126最新修正版

1、最新修正版空間向量的直角坐標(biāo)運算編稿：趙雷 審稿：李霞【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 理解空間向量的基本定理，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.2. 掌握空間向量的坐標(biāo)運算、夾角公式、距離公式。3. 能通過坐標(biāo)運算判斷向量的共線與垂直.【要點梳理】 要點一、空間向量的基本定理1.空間向量的基本定理：p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使p=xa+yb+zc .如果三個向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量不共面，那么所有空間向量所組成的集合就是 a、b、c生成的，所以我們把a、b、c稱為空間 b、c叫做基向量，空間任意三個不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個基底.2 .基底、基向量概念： 由空間向量的基本定理

2、知，若三個向量a、b、ca、p|p=xa+yb+zc , x、y、z R，這個集合可看做是由向量 的一個基底.要點詮釋：(1)空間任意三個不共面的向量都可以作為空間向量的一個基底；(2) 由于0可視為與任意一個非零向量共線，與任意兩個非零向量共面，所以，三個向量不共面, 就隱含著它們都不是 0;(3) 一個基底是指一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同概念.要點二、空間向量的坐標(biāo)表示(1) 單位正交基底若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為1，這個基底叫單位正交基底，常用ibk表示;(2 )空間直角坐標(biāo)系在空間選定一點 O和一個單位正交基底i, j,k，以點O為

3、原點，分別以i, j,k的方向為正方向建立0 - xyz，點0叫原三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫坐標(biāo)軸我們稱建立了一個空間直角坐標(biāo)系4 4 4點，向量i, j, k都叫坐標(biāo)向量。通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面，分別稱為xOy平面，yOz平面，zOx平面;(3)空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo) 給定一個空間直角坐標(biāo)系和向量a,其坐標(biāo)向量為i, j, k，若a=a1i+a2j+a3k，則有序數(shù)組(a1, a2,a3)叫做向量a在此直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，上式可簡記作 a= (a1, a2, a3).在空間直角坐標(biāo)系 Oxyz中，對于空間任一點 A,對應(yīng)一個向量 0A，若OA=xi +yj +zk，則有序

4、數(shù)組(X, y, Z)叫點A在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記為A (X, y, z),其中x叫做點A的橫坐標(biāo)，y叫寫點的坐標(biāo)時，三個坐標(biāo)之間的順序不可顛倒.點A的縱坐標(biāo)，Z叫點A的豎坐標(biāo).要點詮釋：(1) 空間任一點P的坐標(biāo)的確定. 過P作面xOy的垂線，垂足為垂線，垂足分別為 A、C,則x=|P /p/,C|,(2) 空間相等向量的坐標(biāo)是唯一的；另外,在面xOy中，過P/分別作X軸、y軸的 y=|AP / |, z=|PP / | .如圖.零向量記作0= (0,0,0)。要點三、空間向量的坐標(biāo)運算(1)空間兩點的距離公式若 A(Xi,yi,Zi) , B(X2,y2,Z2)，則 AB=oB 0

5、A = (X2,y2,Z2) (Xi,yi,Zi) =(X2 -Xi,y2 yi,Z2 Zi)即：一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo)。|AB|=7a?=/x2-Xi)2 + (y2-yi)2 +(z2-zi)2 ,或 dA,BAB的坐標(biāo)表示，然后=J(X2 Xi)2 +(y2 yi)2 +(Z2 Zi)2 要點詮釋：兩點間距離公式是模長公式的推廣，首先根據(jù)向量的減法推出向量 再用模長公式推出。(2)向量加減法、數(shù)乘的坐標(biāo)運算若 a=(Xi,yi,Zi), b=(X2,y2,Z2)，則 a+b=(xi+x2, yi+y2,Zi +z2); ab =(

6、xi X2,yi -y2,乙Z2); ka =(AXi,Ayi,AZi)(A壬 R)；(3 )向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算右 a =(Xi, yi,zi), b = (x,y2,Z2)，則a b =XiX2 +yiy2 +ziZ2;即:空間兩個向量的數(shù)量積等于他們的對應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和。 (4 )空間向量長度及兩向量夾角的坐標(biāo)計算公式卄呻片若 a=(ai,a2,a3), b=(b,b2,b3)，貝U|a= Jaj +&22+&32 , |b|= cos<a>=l|3| |b| "肩2 +a22+ a32右,打)Jd +b2+b3要點詮釋:(1)夾角公式可以根據(jù)數(shù)量積

7、的定義推出:a b =| a |b| cos c a b >= cos c aIa ba 卜，其中0的范圍是0,兀|a| |b|<AC,BDAC,DB >=兀 一9=< CA, BD >=兀一日=<CA, DB >=日.(5)空間向量平行和垂直的條件卄呻"+右 a =(X1,y1Z), b =(X2,y2,Z2)，則用此公式求異面直線所成角等角度時，要注意所求角度與0的關(guān)系(相等，互余，互補)。 a/b=a =Ab = X1 =AX2,y1=Ay2,Z1=az?(a 匸 R) uxX2yy2=(X2 y2Z20)Z2片4 ab=0u X1X2

8、+y1y2+z1Z2 =0I規(guī)定：0與任意空間向量平行或垂直作用：證明線線平行、線線垂直【典型例題】類型一、空間向量的坐標(biāo)表示例1.如下圖，已知在正四棱錐 P-ABCD中，O為底面中心，底面邊長和高都是 PA、PB的中點，分別按照下列要求建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點 分別以射線 DA、(1 )如下圖甲，以 立空間直角坐標(biāo)系；(2)如下圖乙，以立空間直角坐標(biāo)系.O為坐標(biāo)原點,O為坐標(biāo)原點,分別以射線 0A、DC、0B、【思路點撥】要求空間某一點即可.【解析】(1)因為點B在坐標(biāo)平面所以向量OB的坐標(biāo)為(1,A、B、C、D、OP的指向為X軸、0P的指向為x軸、P、E、y軸、2, E、F分別是側(cè)棱 F

9、的坐標(biāo).z軸的正方向，建y軸、z軸的正方向，建的坐標(biāo)，只要求出以原點 O為起點、M為終點的向量 OM的坐標(biāo)xOy內(nèi)，且底面正方形的中心為O、邊長為2，所以O(shè)B二i + j1 , 0),即點B的坐標(biāo)為B (1 , 1 , 0)同理可得 A (1,- 1, 0), C (- 1, 1, 0), D (- 1, 1, 0)又點P在z軸上，所以0P =2k ,所以向量OP的坐標(biāo)為(0, 0, 2),即點P的坐標(biāo)為P( 0, 0, 2).因為F為側(cè)棱PB的中點，所以 O = 1（OB + OP） =（i + j + 2k）=丄i +丄 j + k ,2 2 2 2所以點F的坐標(biāo)為F.12 2丿同理點E的

10、坐標(biāo)為E2）, e£,-*1 ,12 2丿故所求各點的坐標(biāo)分別為A （1 , - 1 , 0）, B （ 1,1 , 0）, C （- 1 , 1 , 0）, D （- 1 , - 1 , 0）, P （0, 0,<11 ）F l2,2,1 丿；(2)因為底面正方形 ABCD的中心為0、邊長為2，所以O(shè)A = J2。 由于點A在x軸的正半軸上，所以 0A，即點A的坐標(biāo)為A(J2,O,O).同理可得 b（o,72,o）, c（-72,o,o）, d（o,-72,o）, p（0, 0, 2）.因為E為側(cè)棱PA的中點.所以 0EJ（0A+0P）（72i+2k）出 i+k,222所以點

11、E的坐標(biāo)為E座,0,1.I2 丿同理點F的坐標(biāo)為fL,1.V 2丿故所求各點的坐標(biāo)分別為A（運0,0）, b（o,72,o）, c（-72,o,o）, d（o,-72,o）,p（0 , 0,2）, e 鋰.2°/ Fi0,y【總結(jié)升華】解決這類給定直角坐標(biāo)系，求相關(guān)點的空間坐標(biāo)時，關(guān)鍵是確定這些點在坐標(biāo)軸的三個不同方向上的分解向量的模同一幾何圖形中，由于空間直角坐標(biāo)系建立的不同，從而各點的坐標(biāo)在不 同的坐標(biāo)系中也不一定相同，但其實質(zhì)是一樣的建立空間直角坐標(biāo)系的關(guān)鍵是根據(jù)幾何圖形的特征，盡 量先找到三條互相垂直且交于一點的線段，如若找不到，就要想辦法構(gòu)造.舉一反三：【變式1】已知ABC

12、DA1B1C1D1是棱長為2的正方體，E、F分別為BB1和DC的中點，建立如圖所 示的空間直角坐標(biāo)系，試寫出圖中E、F點的坐標(biāo)。D (0 , 0, 0)且F為DC的中點,- F ( 0 , 1, 0 )。又 B (2 , 2 , 0) , B1 (2 , 2 , 2),且 E 為 BB1 的中點， E ( 2 , 2 , 1)?！咀兪?】如圖所示,已知 PA丄平面ABCD , M、N分別是AB、PC的中點，并且 PA=AD,T 四邊形ABCD為正方形.以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求MN、DC的坐標(biāo)表示.【答案】MN/,0,H DC = (0,1,0).V22丿類型二：空間向量的直角

13、坐標(biāo)運算【高清課堂：空間向量的坐標(biāo)運算 399111例題1】例 2、已知 a =(2，1, 2), b =( 0，1,4)，求 a + b，a b，3a +2 b，【思路點撥】空間向量的加、減、數(shù)乘運算與平面向量的加、減、數(shù)乘運算方法類似，向量的數(shù)量積 等于它們對應(yīng)坐標(biāo)乘積的和?！窘馕觥縜 = ( 2, 1, 2) , b = ( 0 , 1, 4), a + b = (2, 1 , 2) + (0, 1 , 4)=(2+0, 1+(1), 2+4)=(2, 2 , 2 )。a b = (2, 1 , 2) (0, 1 , 4)=(20 , 1 (1), 24=(2 , 0 , 6)。3 a

14、+2 b =3 (2 , 1 , 2) +2 ( 0, 1 , 4)=(3 X2, 3 X(l), 3 X(2) + (2 X0, 2 X(l), 2 X4)=(6, 3 , 6) + ( 0 , 2 , 8)=(6, 5 , 2 )。a b = (2, 1 , 2) (0 , 1 , 4)=2 X 0+(1) x(l) + (2) X 4=0+1 8= 7【總結(jié)升華】空間向量的加、減、數(shù)乘運算與平面向量的加、減、數(shù)乘運算方法類似，向量的數(shù)量積 等于它們對應(yīng)坐標(biāo)乘積的和。III叫叫斗【變式】已知向量 a=( 3, 5, -1), b= (2 , 2 , ¥，c= (4，-1, -3

15、)，貝y下列向量的坐標(biāo)是: 2a=， a +b - c =: 2a -3b+4c =: ma + nb =_舉一反三：【答案】(6,10,-2):(1,8,5):(16,0,-23):(3m+2n,5m+2n,-m+3n)例3.(1)(2)(3)已知向量 a =(4，- 2，4), b =(6，3, 2)，求: a b;| a |, | b |;【答案】(1)(2 a +3 b) ( a 2 b )a b =4X 6+( 2) X ( 3)+( 4) X 2=22|a | =肩=(42+(2)2+a)2 =6 ；| b|= Tb2 = Je2 +(3)2 +22 =7 ；(2a + 3bHa-

16、2b) =2a2 +3a b-4a b-6b2 = 2x62 -22 -6x72 = -244?！究偨Y(jié)升華】空間向量求模的運算要注意公式的準(zhǔn)確應(yīng)用 舉一反三：【變式1】已知a =（1,2,2）,b =(1,0,1)求 |a|,|b|;亠，求 <a,b>.6【答案】(1)|2|=山2 +22 + 22 =3,4 -4a b =巒2+nz2I4耳 0 烏,| b 卜 712 +012 =邁= 1x1 +20 + 2咒1 =3j b 二 3|a|b| 3、丘4 4 兀二a,b= -4【變式2】（2015春武漢月考）已知444a=(3,-2,-3),b=(-1,x-1,1)，且a 與 b的

17、夾角為鈍角，貝 Ux的取值范圍是（A. (- 2,+8)B.55(-時七嚴(yán))C (-8,-2)D.（5嚴(yán)）【答案】【解析】4片COS V a,b >=二-習(xí)-1）-3 “，解得722，J2 +（x-i）2X A 2，故選 A.4)。設(shè) a=7B , L7C例 4 .已知空間三點 A ( 2, 0, 2), B ( 1 , 1, 2), C ( 3 , 0 ,（I）求 <a,b>(n)若向量【思路點撥】4 444ka +b與ka -2b互相垂直，求k的值。4 44 4呻 呻 呻 4 一(I)利用數(shù)量積定義求cosa, b，再求a, b；(n )先求出ka + b與ka - 2b

18、坐標(biāo)表示，利用數(shù)量積為 0求k【解析】(I) a=A3=OOA =(11,0), b=A5=OOA = (-1,0,2) a b ； b二 cos va,b X 彳耳|a|b|(1,1,0) (-1,0,2)山2 +* +02 7(-1)2 +02 +221 (-1)+1.0+0.2 _.爲(wèi) b + arccos(-邁)i-arccos逅10 1044ka -2b =(k+2,k,-4),-I-2b) = 04 4(n) ka +b =(k 1,k,2),(ka +b)丄(ka -2b)= (ka +b) (ka =(k -1)(k +2) +k "kt 2(4) =0 k= -5或

19、k =22【總結(jié)升華】(I)利用數(shù)量積定義求4 4cos4呻(n)先求出ka + b與ka - 2b坐標(biāo)表示，利用數(shù)量積為舉一反三：【高清課堂:【變式1】4設(shè) n =(X, y,z)，由空間向量的坐標(biāo)運算 399111例題3】已知 a = (2,2,0) , b = (2,0, 2)，求一個向量r-444 片 C 丄 C C屠jnr0，.廠"2廠0nib n b=0-2x + 2z = 04，令 X = 1得 n = (1,1,1).(3)若ka +b取得最小值，求實數(shù)k的值。44【變式 2】已知 a=(1,5,1), b=(2,3,5)k的值;(1 )若(ka +b )/(a -3

20、b )，求實數(shù)呻444k的值;(2)若(ka +b )丄(a 3b )，求實數(shù)【答案】k：+S=(k-2,5k+3,-k+5) , a-3b=(7,-4,-16)（1）；（ka+b）（a3b）,.訂+角朋），即(k -2,5k +3,-k +5) = (7a,4a,-16a)”k -2=7a 1由5k +3 =如，解得k =-；3k +5 = 16a * (ka+b )丄(a3b )，”.(ka+b 比a-3b ) = 0/. (k -2,5k +3, -k +5)L(7, Y -16) =0 ,即 3k-106=0，解得 k 二1063a +b = J(k -2)2 +(5k +3)2 +(

21、-k +5)2 = J27k2 +16k +384+b取得最小值。(3) ka +b當(dāng)k =亙27【變式3】4時，ka在棱長為1的正方體ABCD -AB1C1D1 中，E,F 分別是 DD1,DB 中點，G在棱 CD 上, CG =CD，4H是CiG的中點,（1）求證：EF 丄 B,C ；（2）求EF與GG所成的角的余弦;（3）求FH的長.【答案】如圖以D為原點建立直角坐標(biāo)系 D -xyz，1 1 1則 BE1), eg)，EG%)，f(2,2,0)，7 1H(0,”)，8 2T 1 1 11 1 1(1) EF =(, -，一一), BQ = (T,0, -1)，二 EF pC = (-，一

22、，一一)(1,0, T) = 0 ,二 EF 丄 BQ .2 2 22 2 2T 1(2) T GG =(0, ,1),4T T 1 1113 EF 飛,1,-1"；,-1“3， iEFi=J(2)2+(2)2+G)2=t2+T2+(t)231 T 8- cos(EF,C1G)= l8l"24=理, EF與GG所成的角的余弦遁1717類型三、空間向量的共線與共面例 5 .若空間三點 A (1 , 5, 2), B (2 , 4 , 1 ) , C ( p ,"fH 冷冷占), |話|十2)2十(8)2瑪)2，_q=3 , q+2 )共線,貝 U p=【解析】A、B

23、、C三點共線，則有 AB與aC共線，即AB=AAC o又 AB =(1,-1,3),AC =( p1,2,q+4),L( P-1)二 4 -1 = -2a3 = A(q+4)、1A =2p = 3 oq =2【總結(jié)升華】 在空間直角坐標(biāo)系下，兩向量的共線，可利用向量的共線定理，通過列方程組求解 舉一反三：【變式1】已知0A =(2,4,1), OB =(3,7,5),OC=( 4,10,9),求證：A、B、C三點共線.【答案】法一： AB=(1,3,4),AC =(2,6,8),1 IT r則 AB = AC , AB | AC ,又 AB、AC 有公共點 A2 A、B、C三點共線.T T T

24、法二：OA =xOB +yOC (x,y R),貝9：(2,4,1)=(3x,7x,5x)+(4y,10y,9y)=(3x+4y,7x+10y, 5x+9y)：3x+ 4y =2”l2x + 5y=-1 7x+10y=4=«=2x +y=3 5x+9y=1、T T T OA=2OB OC 且 x+y=1,4y = -4Zx-1=3Ix = 2y =-1A、B、【變式2】(2015春C三點共線.拉薩校級月考)已知點A (4, 1, 3),B (2, 5, 1), C為線段AB上一點，且3| AC鬥AB I,則點C的坐標(biāo)是( )B. Q,2) C.D. (-57,?)2 2 271 5A.(-匚,；)2 2 2【答案】C【解析】 C為線段AB上一點，且3| AChABi, AC JAB,3 OC=OA+1AB3= (4,1,3) +3(_2,-6,-2),