第二講 偏導(dǎo)數(shù)

1、第二講 偏導(dǎo)數(shù)授課題目：§7.2 偏導(dǎo)數(shù)教學(xué)目的與要求：1、深刻理解偏導(dǎo)數(shù)的概念；2、會求多元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)和高階偏導(dǎo)數(shù)。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：重點(diǎn)：二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)概念；難點(diǎn)：求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)講授內(nèi)容：一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法回顧一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的概念。 對于二元函數(shù)z=f(x, y), 如果只有自變量x變化, 而自變量y固定, 這時它就是x的一元函數(shù), 這函數(shù)對x的導(dǎo)數(shù), 就稱為二元函數(shù)z=f(x, y)對于x的偏導(dǎo)數(shù). 定義 設(shè)函數(shù)z=f(x, y)在點(diǎn)(x0, y0)的某一鄰域內(nèi)有定義, 當(dāng)y固定在y0而x在x0處有增量Dx時, 相應(yīng)地函數(shù)有增量f(x0+Dx, y0)-f(x0,

2、 y0). 如果極限 存在, 則稱此極限為函數(shù)z=f(x, y)在點(diǎn)(x0, y0)處對x的偏導(dǎo)數(shù), 記作, , , 或例如. 類似地, 函數(shù)z=f(x, y)在點(diǎn)(x0, y0)處對y 的偏導(dǎo)數(shù)定義為, 記作 , , , 或fy(x0, y0). 偏導(dǎo)函數(shù)：如果函數(shù)z=f(x, y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)(x, y)處對x的偏導(dǎo)數(shù)都存在, 那么這個偏導(dǎo)數(shù)就是x、y的函數(shù), 它就稱為函數(shù)z=f(x, y)對自變量的偏導(dǎo)函數(shù), 記作, , , 或. 類似地, 可定義函數(shù)z=f(x, y)對y的偏導(dǎo)函數(shù), 記為, , zy , 或. 求時, 只要把y暫時看作常量而對x求導(dǎo)數(shù)；求時，只要把x暫時看作常量而

3、對y求導(dǎo)數(shù) 偏導(dǎo)數(shù)的概念還可推廣到二元以上的函數(shù)，例如三元函數(shù)u=f(x, y, z)在點(diǎn)(x, y, z)處對x的偏導(dǎo)數(shù)定義為,其中(x, y, z)是函數(shù)u=f(x, y, z)的定義域的內(nèi)點(diǎn). 它們的求法也仍舊是一元函數(shù)的微分法問題例1 求z=的偏導(dǎo)數(shù).解 求時，把y看作常量，求時，把x看作常量，因此,.例2 求在點(diǎn)(1, 3)處的偏導(dǎo)數(shù)解 先求偏導(dǎo)函數(shù), ., . 例3 設(shè), 求證: . 證 , . . 例4 已知理想氣體的狀態(tài)方程為pV=RT(R為常數(shù)), 求證：. 證 因?yàn)?, ; , ; , ; 所以 例4說明偏導(dǎo)數(shù)的記號是一個整體記號, 不能看作分子分母之商例5 二元函數(shù)在（0

4、，0）可導(dǎo)，因?yàn)?，所?，但函數(shù)在點(diǎn)(0, 0)并不連續(xù) 由例5可知，對于多元函數(shù)來說, 即使各偏導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)都存在, 也不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù). 二元函數(shù)z=f(x, y)在點(diǎn)(x0, y0)的偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義：fx(x0, y0)是過曲面z=f(x, y)上點(diǎn)M0(x0, y0, f(x0, y0)的曲線在點(diǎn)M0處的切線Tx對x軸的斜率. fy(x0, y0)過曲面z=f(x, y)上點(diǎn)M0(x0, y0, f(x0, y0)的曲線在點(diǎn)M0處的切線Ty對y軸的斜率 課堂練習(xí)：習(xí)題82：1（單）二、高階偏導(dǎo)數(shù)回顧一元函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)的概念設(shè)函數(shù)z=f(x, y)在區(qū)域D內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù), , 那么在

5、D內(nèi)fx(x, y)、fy(x, y)都是x, y 的函數(shù). 如果這兩個函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也存在, 則稱它們是函數(shù)z=f(x, y)的二偏導(dǎo)數(shù). 按照對變量求導(dǎo)次序的為同有下列四個二階偏導(dǎo)數(shù) 如果函數(shù)z=f(x, y)在區(qū)域D內(nèi)的偏導(dǎo)數(shù)fx(x, y)、fy(x, y)也具有偏導(dǎo)數(shù), 則它們的偏導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)z=f(x, y)的二階偏導(dǎo)數(shù). 按照對變量求導(dǎo)次序的不同有下列四個二階偏導(dǎo)數(shù), , .其中, 稱為混合偏導(dǎo)數(shù)同樣可得三階、四階、以及n 階偏導(dǎo)數(shù)二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù) 例6求z=x3-3xy3的.二階偏導(dǎo)數(shù) 解 , ; , ; . 定理 如果函數(shù)z=f(x, y)的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)及在區(qū)域D內(nèi)連續(xù), 那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等. 類似地可定義二元以上函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù). 例7 驗(yàn)證函數(shù)滿足方程. 證 因?yàn)? 所以, ,.因此 . 例