不等式的證明三導(dǎo)學(xué)案

1、選修4-5學(xué)案學(xué)習(xí)目標(biāo)：§2.1.3不等式的的證明 姓名1.理解并掌握反證法、換元法與放縮法；2.會利用反證法、換元法與放縮法證明不等式?知識情景：1. 不等式證明的基本方法：10.比差法與比商法（兩正數(shù)時）.20.綜合法和分析法.30.反證法、換元法、放縮法2. 綜合法:從已知條件、不等式的性質(zhì)、基本不等式等出發(fā),通過邏輯推理，推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論.這種證明方法叫做綜合法. 又叫由導(dǎo)法.用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系：A B1B22.換元法：一般由代數(shù)式的整體換元、三角換元，換元時要注意等價性 常用的換元有三角換元有：已知X2已知X22X已知亍10.20.30.2y2y2yP2a2，

2、可設(shè)1,可設(shè)_丨，可設(shè)r 1);設(shè)實數(shù)x,y滿足a75 1,x2 (y 1)21，當(dāng) x)B.(V2 1c的取值范圍是（C.21,）)D.(1IIBnB3.分析法：從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實（定義、公理或已證的定理、性質(zhì)等）,從而得出要證的命題成立，這種證明方法叫做分析法.這是一種執(zhí)索的思考和證明方法.II用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系B結(jié)（步步尋求不等式 論BiB2Bn成立的充分條件）已知X2y21,求證：71 a2ax v1 a2?新知建構(gòu):1.反證法：第一步第二步第三步第四步例1已知a利用反證法證明不等式，一般有下面幾個步驟：

3、分清欲證不等式所涉及到的條件和結(jié)論； 作出與所證不等式相反的假定；從條件和假定出發(fā)，應(yīng)用證確的推理方法，推出矛盾結(jié)果；斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在于開始所作的假定不正確，于是原證不等式成立+ b + c > 0 , a b + bc + ca > 0 , a bc > 0，求證：a , b, c > 03.放縮法：“放”和“縮”的 方向與“放”和由題目分析、多次嘗試得出，要注意放縮的適度.常用的方法是：添加或舍去一些項，如：Ja2 1 la，J n（n 1）將分子或分母放大（或縮小）如：“縮”的量的大小應(yīng)用“糖水不等式”：“若0 a1n(n 1)b, m 利用基本不等式，

4、如：lg 3 lg 5 利用函數(shù)的單調(diào)性 利用函數(shù)的有界性：如：1_n2 n(n0，則 _ab)2ig4 ；sinx w 1 x絕對值不等式:利用常用結(jié)論：如:b w a b w 1 Tk應(yīng)用貝努利不等式(1 nx)Tk Tk2Tkn(n1nxa lb ；2 Tk 1L 2l 2 Jk jn k N*,k 11) 2x2例 6 若 a, b, c, d R+，求證：12Jk k N ,k 1，abcabd bcacdbn Ax 1 nx.例4 當(dāng)n > 2時,求證:logn(n1)log(n 1) n例5求證：1 113.選修4-5練習(xí)§2.1.3不等式的證明姓名1、設(shè)二次函數(shù)

5、f (x) x2pxq，求證:1 f (1), f，f 中至少有一個不小于一21 y 1 x4、若x, y > 0,且x + y >2，則宀x中至少有一個小于 2。2、設(shè) 0 < a, b, c < 1,求證:(1a)b, (1 b)c, (1c)a,不可能同時大于5、已知1 w x2y2 w 2，求證:w x2xy y2 w 33、已知a b 0，求證:26、設(shè) f(x) xx 13 ,求證:f(x) f(a) 2|a 1 ;1111 17、求證:8求證|b19、設(shè)n為大于1的自然數(shù)，求證10、若n是自然數(shù)，求證W A12 221322n 22.111、求證：3 丄-

6、2 n 112212、求證：271-f= 2 蘇 n NJn利用函數(shù)的有界性：如:sin X w1xR ; X X利用常用結(jié)論:I、川、斥ATkTkTk 1122你y/k你Jk 11111 ；k2k(k1)k 1k ；1111222n、(k 1)(k 1)k21k2 1Tk絕對值不等式:1 Tkk(k 1)參考答案：例1例2例33.放縮法：“放”和“縮”的方向與“放”和“縮”的量的大小是由題目分析、多次嘗試得出注意放縮的適度。常用的方法是:添加或舍去一些項，_如:Ja2 17n(n 1) n,將分子或分母放大（或縮?。┱娣?jǐn)?shù)的性質(zhì)：“若.0 a b m利用基本不等式，如:log 3 lg5 (

7、lg3 lg5)2lgVT52ig7i6ig4 ；N ,kN ,k；2X 0 X R1（程度大）1利用函數(shù)的單調(diào)性（程度?。゜wa lb ；應(yīng)用二項式定理-4.構(gòu)造法：通過構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來證明不等式 貝努利不等式例如，對于任何X(1 x)n 10和任何正整數(shù)n(n 1) 2 nx X1 2n，由牛頓二項式定理可得n（n 1）（n2） 2X舍掉等式右邊第三項及其以后的各項，可以得到不等式:(1x)n 1 nx在后面章節(jié)的學(xué)習(xí)中，我們將會用數(shù)學(xué)歸納法證明這一不等式的正確性。該不等式不僅當(dāng)n是正整數(shù)的時候成立，而且當(dāng) n是任何大于1的有理數(shù)的時候也成立。 這就是著名的貝努利不等式

8、。在今后的學(xué)習(xí)中，可以利用微積分證明更一般的貝努利不等式：1 X，在 0則在0 時，（1 X）設(shè) X1 時，（11,X)X.例 4證： n>2-logn(n 1)0,logn( n 1)-logn(n1)logn( n 1)logn(n 1)logn( n 1)22logn (n21)logn n22 n>2 時，logn(n 1)log n(n 1)1k 12 22（k是大于2的自然數(shù)）1111以上三式相乘:(1a)a?(1例6證：記m =a b d/ a, b, c, d R+n112d4提示：反設(shè)yX10證明： 丄k2k(k1)b)b?(1c)cw丄 與矛盾.原式成立64/

9、X, y > 0,可得 x + y < 2 與 x + y >2 矛盾。-,k 2,3,4,k,n. 1練習(xí)m a bam a b< m < 2假設(shè)f(1)方面，f(1)(1a b即原式成立。(n1) n=22.1f(1), f(2), f(3)都小于 1，則2由絕對值不等式的性質(zhì)，有2 f(2)f(3)f(1) 2f(2)f(3)(1)注意：實際上,我們在證明1 1論二 212 22 f(1) 2f(1 p q)p q) 2(4 2p q) (9 3pq)兩式的結(jié)果矛盾，所以假設(shè)不成立，原來的結(jié)論正確。注意：諸如本例中的問題，當(dāng)要證明幾個代數(shù)式中，至少有一個滿足

10、某個不等式時， 通常采用反證法進行。議一議：一般來說，利用反證法證明不等式的第三步所稱的矛盾結(jié)果，通常是指所推出 的結(jié)果與已知公理、定義、 種情況。試根據(jù)上述兩例，12、證：設(shè)(1 a)b >,4(1)、 (2)定理或已知條件、已證不等式，以及與臨時假定矛盾等各 討論尋找矛盾的手段、方法有什么特點？1(1 b)c > ,(14則三式相乘：ab < (1a)b?(1b)c?(11c)a > ,41c)a < 64又 0 < a, b, c < 1(1a)a(1 a) a21同理：(1 b)b ,(14c)c丄|f(3)n1_21-22的過程中,nf(1)

11、2(4 2p q)1231-，這恰恰在一定程度上體現(xiàn)了放縮法的基本思想。n2f(2)f(3),(2)(9 3p q) 2已經(jīng)得到一個更強的結(jié)(1)、( 2)兩式的結(jié)果矛盾，所以假設(shè)不成立，原來的結(jié)論正確。 注意：諸如本例中的問題，當(dāng)要證明幾個代數(shù)式中，至少有一個滿足某個不等式時, 通常采用反證法進行。議一議：般來說，利用反證法證明不等式的第三步所稱的矛盾結(jié)果，通常是指所推出定理或已知條件、已證不等式，以及與臨時假定矛盾等各討論尋找矛盾的手段、方法有什么特點？1(1 b)c >,(14的結(jié)果與已知公理、定義、種情況。試根據(jù)上述兩例，12、證：設(shè)(1 a)b >,4則三式相乘：ab < (1又 0 < a, b, c < 1a)b?(1b)c?(11c)a >4、 1c)a < 64- 0 (1a)a(1 a) a21同理：(1 b)b -,(1 c)c4以上三式相乘： (1a)a?(1b)b?(11c)c< 與矛盾.原式成立644提示