圓錐曲線(橢圓,雙曲線,拋物線)的定義方程和性質(zhì)知識(shí)總結(jié)

1、橢圓的定義、性質(zhì)及標(biāo)準(zhǔn)方程1. 橢圓的定義：F1F2 )的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這第一定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F,、F2的距離之和等于常數(shù)(大于兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距。第二定義：動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離和它到定直線I的距離之比等于常數(shù) e(0 e 1)，則動(dòng)點(diǎn)M的 軌跡叫做橢圓。定點(diǎn)F是橢圓的焦點(diǎn)，定直線I叫做橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù) e叫做橢圓的離心率。說(shuō)明：若常數(shù)2a等于2c，則動(dòng)點(diǎn)軌跡是線段 F1F2。若常數(shù)2a小于2c，則動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在。2. 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形及幾何性質(zhì)：標(biāo)準(zhǔn)方程2X2a2爲(wèi) 1(a b 0)b中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 X軸上2 2y XA 市 1(a b 0)

2、a b中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 y軸上圖形zeI * I.I -范圍X a，y b頂點(diǎn)A,a,0、A2 a,0對(duì)稱軸焦點(diǎn)B 0， b、B2 0, bX軸、y軸；長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，短軸長(zhǎng)2b ；焦點(diǎn)在長(zhǎng)軸上F-i c,0、F2 c,0焦距F, F22c(c 0)離心率e -(0 e 1) aIX b,|y aAO,a 、 A2 0， aEBi b,0、B2 b,0X軸、y軸；長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，短軸長(zhǎng)2b ；焦點(diǎn)在長(zhǎng)軸上Fj 0, c、F2 0, c|F1f2 2c(c 0)e -(0 e 1) a準(zhǔn)線2 a y C2aX-c參數(shù)方程與普通方程2 X 2 a2占 1的參數(shù)方程為baC0S為參數(shù) bsi n2丄2a2

3、X1的參數(shù)方程為baC0S為參數(shù) bsi n3.焦半徑公式：橢圓上的任一點(diǎn)和焦點(diǎn)連結(jié)的線段長(zhǎng)稱為焦半徑。焦半徑公式：橢圓焦點(diǎn)在X軸上時(shí)，設(shè)Fi、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P Xo，yo是橢圓上任一點(diǎn),則PFia eX)，PF2 a eX)。推導(dǎo)過(guò)程：由第二定義得PF1e ( di為點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離)，則 PFi edi e x。a2a eX)。一eX0 a a eX0 ；同理得 PF?c簡(jiǎn)記為：左“ + ”右。由此可見，過(guò)焦點(diǎn)的弦的弦長(zhǎng)是一個(gè)僅與它的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)有關(guān)的數(shù)。2 2 y 1 ；若焦點(diǎn)在y軸上，則為再 ba2Xp 1。有時(shí)為了運(yùn)算方便，設(shè) b2mx22ny 1(m0,m n)。雙

4、曲線的定義、方程和性質(zhì)1.定義(1) 第一定義：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)Fi、F2的距離之差的絕對(duì)值等于定長(zhǎng)2a (小于|FiF2|)的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線。說(shuō)明： IIPF1|-|PF2|=2a (2a<|F1F2|)是雙曲線；若2a=|F1F2|,軌跡是以F1、F2為端點(diǎn)的射線；2a>|F1F2|時(shí)無(wú)軌跡。 設(shè)M是雙曲線上任意一點(diǎn)，若M點(diǎn)在雙曲線右邊一支上，則|MF1|>|MF2|, |MF1|-|MF2|=2a;若M在雙曲線的左支上，則|MF1|<|MF2|, |MF1|-|MF2|=-2a,故|MF1|-|MF2|= ±a，這是與橢圓不同的地方。(2) 第二定義：平

5、面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)F的距離與到定直線 L的距離之比是常數(shù) e (e>1)的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線，定點(diǎn)叫焦點(diǎn)，定直線L叫相應(yīng)的準(zhǔn)線。2 .雙曲線的方程及幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程X2- £ 1(a 0,b0)y2X221(a 0,b 0)對(duì)稱軸F1 (-C, 0), F2 (c, 0)A1 (a, 0), A2 (-a, 0)實(shí)軸2a,虛軸2b,實(shí)軸在X軸上，c2=a2+b2F1 (0，-c), F2 (0, c)A1 (0, a), A2 (0, -a)實(shí)軸2a,虛軸2b,實(shí)軸在 y軸上，c2=a2+b2離心率準(zhǔn)線方程c |MF2 |e a | MD |2 2 - 2l1 :X a,l2:x ?

6、 準(zhǔn)線間距離為 辛c | MF21e a | MD |2222iy T,l2:y T準(zhǔn)線間距離為弓漸近線方程30八0ba b a幾個(gè)概念(1)等軸雙曲線：實(shí)、虛軸相等的雙曲線。等軸雙曲線的漸近線為y=±x，離心率為J2 。共軸雙曲線：以已知雙曲線的實(shí)軸為虛軸，虛軸為實(shí)軸的雙曲線叫原雙曲線的共軸雙曲線，例:2 222y_1的共軸雙曲線是冷1-a2b2a2b2雙曲線及其共軸雙曲線有共同的漸近線。但有共同的漸近線的兩雙曲線，不一定是共軸雙曲線;雙曲線和它的共軸雙曲線的四個(gè)焦點(diǎn)在同一個(gè)圓周上。拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)一、拋物線定義的理解平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn) F和一條定直線I的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫

7、做拋物線，定點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，定直線I為拋物線的準(zhǔn)線。I （即準(zhǔn)線）；注： 定義可歸結(jié)為“一動(dòng)三定”：一個(gè)動(dòng)點(diǎn)設(shè)為 M ; 定點(diǎn)F （即焦點(diǎn)）；一定直線 一定值1 （即動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離與它到定直線I的距離之比1）I的一條直線當(dāng)0 e 定義中的隱含條件：焦點(diǎn) F不在準(zhǔn)線I上。若F在I上，拋物線退化為過(guò) F且垂直于 圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和定直線I的距離之比為常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡， 時(shí)，表示橢圓；當(dāng) e 1時(shí)，表示雙曲線；當(dāng) e 1時(shí)，表示拋物線。 拋物線定義建立了拋物線上的點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線三者之間的距離關(guān)系，在解題中常將拋物線上的動(dòng) 點(diǎn)到焦點(diǎn)距離（稱焦半徑）與動(dòng)點(diǎn)到準(zhǔn)線距離互化，與

8、拋物線的定義聯(lián)系起來(lái)，通過(guò)這種轉(zhuǎn)化使問(wèn)題簡(jiǎn)單 化。二、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程1拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程建系特點(diǎn)：以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為一條坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系， 這樣使標(biāo)準(zhǔn)方程不僅具有對(duì)稱性，而且曲線過(guò)原點(diǎn)，方程不含常數(shù)項(xiàng)，形式更為簡(jiǎn)單，便于應(yīng)用。2 四種標(biāo)準(zhǔn)方程的聯(lián)系與區(qū)別：由于選取坐標(biāo)系時(shí)，該坐標(biāo)軸有四種不同的方向，因此拋物線的標(biāo) 準(zhǔn)方程有四種不同的形式。拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式為：y22 px P 0 , x22 py p 0 ,中：參數(shù)P的幾何意義：焦參數(shù) P是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，所以P恒為正值；P值越大，張口越大;等于焦點(diǎn)到拋物線頂點(diǎn)的距離。標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)：方程的左邊是某變量的平方項(xiàng)，右邊是

9、另一變量的一次項(xiàng)，方程右邊一次項(xiàng)的變 量與焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸的名稱相同，一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)決定拋物線的開口方向，即對(duì)稱軸為x軸時(shí)，方程中的一次項(xiàng)變量就是 x,若x的一次項(xiàng)前符號(hào)為正，則開口向右，若x的一次項(xiàng)前符號(hào)為負(fù)，則開口向左；若對(duì)稱軸為y軸時(shí)，方程中的一次項(xiàng)變量就是 y ,當(dāng)y的一次項(xiàng)前符號(hào)為正，則開口向上，若y的一次項(xiàng)前符號(hào)為負(fù)，則開口向下。三、求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程求拋物線方程時(shí)，要依據(jù)題設(shè)條件，弄清拋物線的對(duì)稱軸和開口方向，正確地選擇拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程. 待定系數(shù)法：因拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，若能確定拋物線的形式，需一個(gè)條件就能解出待定2 2y2 ax 或 x2ay ,系數(shù)P，因此要做到“先定位，

10、再定值”。注：當(dāng)求頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的拋物線時(shí)，若不知開口方向，可設(shè)為 這樣可避免討論。 拋物線軌跡法：若由已知得拋物線是標(biāo)準(zhǔn)形式，可直接設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)式；若不確定是否是標(biāo)準(zhǔn)式，由 已知條件可知曲線的動(dòng)點(diǎn)的規(guī)律，一般用軌跡法求之。四、拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)方程設(shè)拋物線y2 2px P 0性質(zhì)焦點(diǎn)范圍對(duì)稱性頂點(diǎn)離心率準(zhǔn)線通徑Ff，0X 0關(guān)于X 軸對(duì)稱原點(diǎn)e iX上22pi注： 焦點(diǎn)的非零坐標(biāo)是一次項(xiàng)系數(shù)的丄；4 對(duì)于不同形式的拋物線，位置不同，其性質(zhì)也有所不同，應(yīng)弄清它們的異同點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合, 掌握方程與有關(guān)特征量，有關(guān)性質(zhì)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從整體上認(rèn)識(shí)拋物線及其性質(zhì)。消去x或y化得形如五、直線與拋

11、物線有關(guān)問(wèn)題 i .直線與拋物線的位置關(guān)系的判斷：直線與拋物線方程聯(lián)立方程組，2ax bX c 0 (* )的式子：此時(shí)直線與拋物線不是相切,直線與拋物線相交; 直線與拋物線相切； 當(dāng)a 0時(shí)，(* )式方程只有一解，即直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)， 而是與拋物線對(duì)稱軸平行或重合；(*)式方程有兩組不同的實(shí)數(shù)解(*)式方程有兩組相同的實(shí)數(shù)解(* )式方程無(wú)實(shí)數(shù)解直線與拋物線相離. 當(dāng)a 0時(shí)，若> 0若 =0 若< 02 .直線與拋物線相交的弦長(zhǎng)問(wèn)題弦長(zhǎng)公式：設(shè)直線交拋物線于 AXi,yi ,BX2,y2，則AB2kABXaXb或ABV1 7若直線與拋物線相交所得弦為焦點(diǎn)弦時(shí)，借助于焦半徑公式處理:物線y22 px p 0上點(diǎn)M X0, y 的焦半徑長(zhǎng)是MFPXo上,拋物線22X 2 py P 0 上一點(diǎn) M x0, y0的焦半徑長(zhǎng)是MF六、拋物線焦點(diǎn)弦的幾個(gè)常用結(jié)論設(shè)AB為過(guò)拋物線y22P-,yiy24 x1x22PX P0焦點(diǎn)的弦，設(shè)A Xi, yi , B X2, y22p.2sin，直線AB的傾斜角為，則ABXiX2以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切;弦兩端點(diǎn)與頂點(diǎn)所成三角形的面積S AOB2P2si nFAFB焦點(diǎn)F對(duì)A、B在準(zhǔn)線上射影的張角為90