基本不等式的八種變形技巧

1、全國名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)學(xué)案匯編(文科，附詳解)即所謂“和定積最大，積有的需要對待求式作適當(dāng)變基本不等式的八種變形技巧基本不等式的一個主要功能就是求兩個正變量和與積的最值, 定和最小”.但有的題目需要利用基本不等式的變形式求最值,形后才可求最值.常見的變形技巧有以下幾種:加上一個數(shù)或減去一個數(shù)使和或積為定值例函數(shù)4f(x) =土 + x(x<3)的最大值是()x 3B.1C. 5【解析】因?yàn)閤<3 ,所以3 x>0 ,所以f(x)=-仁I 3 x)+ 3一【答案】D4+ 3 = 1.當(dāng)且僅當(dāng) =3 x,即x= 1時(shí)等號成立，所以f(x)的最大值3 x©©平

2、方后再使用基本不等式一般地，含有根式的最值問題，首先考慮平方后求最值.2 383 若 x>0, y>0，且 2x2+ 二=8，求 X寸6+ 2y2 的最大值.點(diǎn)撥由于已知條件式中有關(guān)X, y的式子均為平方式，而所求式中x是一次的，且根l2x-朗當(dāng)且僅當(dāng)號下y是二次的，因此考慮平方后求其最值【解】(xJ2)2= x2(6 + 齊 3 2X2(1 + 勺< 32x2 = 1+ 3，即x=I，y=卑2時(shí)，等號成立.故'甸臺展開后求最值對于求多項(xiàng)式積的形式的最值，可以考慮展開后求其最值.fH 已知a>0, b>0且a+ b= 2，求點(diǎn)撥由于待求式是一個積的形式，因

3、此需將多項(xiàng)式展開后將積的最小值轉(zhuǎn)化為和的最小值.【解】由題得£+1怎+1ab+1+ b+1 =存尊+1=ab+1因?yàn)閍>0,b>O,a + b= 2,所以2>225,所以ab< 1,所以1.所以 £+ 必 + b> 4(當(dāng)且僅當(dāng)a = b= 1時(shí)取等號),所以1 +1£+ 1)勺最小值是4.©©©變形后使用基本不等式【例 設(shè)a>1, b>1，且ab (a + b)= 1，那么()a+ b有最小值2(邁+ 1) a + b有最大值(V2+ 1)2ab有最大值返+ 1ab有最小值2(寸2 + 1)

4、C.a+ b 2【解析】因?yàn)?ab (a + b)= 1, ab< (),所以<+訂丿一(a + b)1,它是關(guān)于a + b的一兀二次不等式，解得 a+ b> 2(返 +1)或 a+ b< 2(1"2)(舍去),所以a+ b有最小值2麗+ 1).又因?yàn)?ab (a + b) = 1, a+ b > ab,所以ab 2jaB1,它是關(guān)于Ob的一元二次不等式，解得偵返+ 1或題< 1 J2(舍去),所以ab> 3 + 2*2,即ab有最小值 3 + /2.【答案】A©®©f ( X )形如亠型函數(shù)變形后使用基本不等式

5、g ( X)f ( X)若y=/、中f(X)的次數(shù)小于g(x)的次數(shù)，可取倒數(shù)后求其最值.g (X)jjjf r e'j(x+ 5)( x+ 2)鯉d 求函數(shù) y=二(xM 1)的值域.X+ 1B點(diǎn)撥將(X+ 5)(x + 2)用(X + 1)來表示再變形為f(x)= Ax+ + C的形式，然后運(yùn)用基本X不等式求解.【解】 因?yàn)閥=(x+ 5)( X + 2)x2+7x+ 10X+ 1(x+ 1)+ 5 ( x+ 1)+ 44=x+ 1 + 5,X+ 1當(dāng)X + 1>0時(shí)，即x> 1時(shí)，“ 2（X+ 1） =1 + 5 = 9（當(dāng)且僅當(dāng)X = 1時(shí)取等號）;當(dāng) X + 1&

6、lt;0,即 x< 1 時(shí)，yw 5 2、y ( x+ 1)4=1（當(dāng)且僅當(dāng)x= 3時(shí)取等號）.X+ 1所以函數(shù)的值域?yàn)椋ㄒ?, 1 U 9 , +S）.©©©用1 ”的代換法求最值已知X + y= 1，且x>0, y>0，求x+ y的最小值.【解】法一：因?yàn)?x>0, y>0,所以 x+y=（x+ y）1=（x+ y）£+牛3+X+歸3+2鷗=3+2返當(dāng)且僅當(dāng)y -且X +二2y= 1,即x=a/2 + 1, y= 2 + 72時(shí)，上式等號成立.故X+ y的最小值是3 + 2返.1 2法二：因?yàn)?+廠1,y 2因?yàn)閤>

7、;0, y>0,所以y 2>0.y所以 X+ y=+ y=y 2 y 22 2y y (y 2)+ 3 (y2)+ 2y 2y 2 + - + 3>3 + 2邁I當(dāng)y 2 = y2，即y= 2 + 羽y 2時(shí)取等號，此時(shí)x=>/2 +1）.求以形如或可化為a+ y= 1型為條件的CX+ dy（a, b, c, d都不為0）的最值可利用1”1 2的代換求乘法.本題中的條件X+廠1也可化為2x+ y-Xy= 0.r f *a2b例 若a, b為常數(shù)，且0<x<1，求f(x) = ；7+ 的最小值.x 1 x點(diǎn)撥根據(jù)待求式的特征及0<x<1知x>

8、0, 1 - x>0.又1 = X+ (1 - X),因此可考慮利用“1 ”的代換法【解】 因?yàn)?<x<1 ,所以1 x>0.2.2ab所以一+x 1 x1+止1 x2 .2ab1 =-x + (1 x) +x+ (1 x) x1 x2a2 (1 x)=a +x.2+ -+ b2> a2+ b2+ 2ab= (a + b)2. 1 x上式當(dāng)且僅當(dāng)a(1 X)=上時(shí)，等號成立1 x2 .2 所以J b入> (a+ b)2.1 x故函數(shù)f(x)的最小值為(a + b)238® 若實(shí)數(shù)a,b滿足ab 4a b+ 1 = 0(a>1)，則(a + 1

9、) (b + 2)的最小值是點(diǎn)撥由于所給條件式中含兩個變量a, b,因此可以用一個變量表示另一個變量，將待求式轉(zhuǎn)化為含一個變量的式子后求其最值4a 13【解析】因?yàn)閍b 4a b + 1 = 0,所以b= 4 +a1a16 6又因?yàn)?a>1,所以 b>0.所以(a + 1)(b + 2) = ab + 2a + b+ 2= 6a+ 9= 6(a 1) +a 1a 1+ 15.因?yàn)閍 1>0,(a 1) X+ 15= 27. a 16所以 6(a 1) + 15a 16當(dāng)且僅當(dāng) 6(a 1) =(a>1),a 1即a = 2時(shí)取等號【答案】27已知條件含形如 ax+bxy

10、+cy+ d = O（abcM 0）型的關(guān)系式，求關(guān)于X、y 一次式的和或積 的最值問題.常將關(guān)系式中ax+ bxy + cy+ d= 0變形，用一個變量x（或y）表示另一個變量y（或X）后求解.©©©代換減元求最值【例®J設(shè)正實(shí)數(shù)X, y, z滿足X2 3xy+ 4y2 z= 0,則當(dāng)取得最小值時(shí)，x+ 2y z的xy最大值為【解析】X2 3xy + 4y2 z= 0? z= x2 3xy+ 4y2,2 2 xy所以X - 3xy+ 4y = x+ 皺32、字3 = 1. xyxyy x y x等號成立條件為x= 2y,代入到 可得 z= (2y)2 3 2y y+ 4y2= 2y2,所以 x= 2y, z= 2y2,所以 X+ 2y z= 2y+ 2y 2y2=2(y2 2y)= 2(y 1)2 + 2< 2.【答案】2在含有兩個以上變元的最值問題中，通過代換的方法減少變元，把問題化為兩個變元的 問題使用基本不等式，或者把問題化為一個變元的問題使用函數(shù)方法求解建立求解目標(biāo)不等式求最值3SH 已知X,