導(dǎo)數(shù)常用的一些技巧和結(jié)論

1、全國名校高中數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)學(xué)案優(yōu)質(zhì)課時(shí)訓(xùn)練專題匯編（經(jīng)典優(yōu)質(zhì)試題匯編）X導(dǎo)數(shù)常用的一些技巧和結(jié)論v 一X-1 >ln x> -X< n(n + !)< 1 + 4 1 r；+ 1r FJ加強(qiáng)版1諏-加強(qiáng)版一 >ln 1+ 王M Xin孑蘭總H-i 的 *> X-1aW證明調(diào)和級數(shù)不收斂1 - + +-i-i>tQ(n + l)12tj工累乘消頂In 2-ls3- -ln>7 >Iflj+ 1 乞一即 In (x+n即血工 一-XIn丄竺上=1即til斗全JiiX yX中全國名校高中數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)學(xué)案優(yōu)質(zhì)課時(shí)訓(xùn)練專題匯編(經(jīng)典優(yōu)質(zhì)試題匯編)-V基

2、礎(chǔ)練習(xí)題：Id寸論函數(shù)/二2產(chǎn)-一(X>0).的零點(diǎn)的個數(shù);:V2討論函數(shù)/(X)=- x' 2x)-a,(x > 0)的零點(diǎn)的個數(shù);3.討論函數(shù)/(x) = e2,的零點(diǎn)的個數(shù);工4討論函數(shù)/(刃二1口1上-口,的零點(diǎn)的個數(shù);X5 討論函數(shù)x>Q,fx) = e" -ax,的零點(diǎn)的個數(shù);上時(shí)，討論函數(shù)/x)nx-ax的零點(diǎn)的個數(shù); e1 2(x4)y卞X+IV仙* 2；全國名校高中數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)學(xué)案優(yōu)質(zhì)課時(shí)訓(xùn)練專題匯編（經(jīng)典優(yōu)質(zhì)試題匯編）X/(r)+/(x)>0 構(gòu)造«&)(1)(2>xfx)f(x)Q 構(gòu)造 tx/Uf =xf

3、xfx)xfxnfx>0 構(gòu)造卜/&) = 7&)+7計(jì)丁&)=嚴(yán)寸(刃*"(1注意對xm號進(jìn)行討論L關(guān)系式為型(1>f0 構(gòu)造心 1 一 /（2 -/（2 一 "）-/(2)#W*/(x)>0 掏造的丁(x)T _ V'(x)-/(x)(3)3/ (X)-(X)> 0 構(gòu)造7（X）7 - xYM-73X-7（X）_ /（X）-#（X）E（?y注意對X的符號進(jìn)行討論全國名校高中數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)學(xué)案優(yōu)質(zhì)課時(shí)訓(xùn)練專題匯編(經(jīng)典優(yōu)質(zhì)試題匯編)11I(X + 1)> 1)2 匯 + 1($ E R)3、inx 玄 29 1)

4、( I 1):E + 14k1曲0仝也（0応1）乞+15xIz 冬-x-(x > 1)2X6.Inx 2 - (a： - -)(0 < x 1)2X7.2ln(l + a:) 2 re + (a:玄 0)a:(優(yōu)質(zhì)試題年全國新課標(biāo)1 理-21)已知f(x)=ae2x+(a 2)eX-x.(1 )討論f(x)的單調(diào)性；(2 )若f(x )有兩個零點(diǎn)，求a的取值范圍.解析：(1 ) f x ) = 2ae2x +(a -2 )e(2ex +1 X ae* 一 1 )若a <0，則fO)<0恒成立，所以f(x )在R上遞減; 若 a >0 ,令 f "(x )

5、 = 0 ,得 e = 1, X = 1 n 1 .aa當(dāng)xcl n丄時(shí)，r(x)cO,所以f(x )在rX cinai -=c,ln丄上遞減當(dāng) X >1 n1 時(shí)， r(x):>0,所以 f(X )在 Nn1,-I a 丿X >ln a綜上，當(dāng)a <0上遞增.上遞增.時(shí),f(X在R上遞減；當(dāng)a:>0時(shí)，f(x 在 ,|n - 1上遞減，在hI a丿II in-,+=caf(X)有兩個零點(diǎn)，必須滿足f(x)min<0 ,即a0 , 且f (凍 i=n構(gòu)造函數(shù)g(X )=1 -X Tn X， x>0.易得又因?yàn)間(1) = 0，所以1-1-1 n丄<

6、;0u ga ag Yx )=-1 -丄 vO，所以 g(x)=1-xTnx單調(diào)遞減.Xg丿1r(1)u - >1u Ocacl.aif 1 = 1- Jn.0 a 丿 a aF面只要證明當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x )有兩個零點(diǎn)即可，為此我們先證明當(dāng)x0時(shí)，事實(shí)上，構(gòu)造函數(shù) h(x) = xT nx ,易得 N(x) = 1-1h(x；m 二 h(1 ) = 1 ,所以 h(x)：>0 ,X即 X >ln X .27/斗a a_2a+ea + (e -2)當(dāng) 0 ca <1 時(shí)，f(_1)=弓+電上+1 =2>0，e eef iln 3-aLa3 1I a

7、 丿la“2 代 1山3一1 丿 la丿la丿<3_1_|門3-1>0，la丿la其中1<ln1， In >ln1，所以 f (x 在 aa a故a的取值范圍是（0,1）.注意：取點(diǎn)過程用到了常用放縮技巧。ae2x +(a -2 Je* x a0u ae2x +(a -2 )ee0=aex +a3>0ux>ln3-1a,a另一方面：x<0時(shí)，ae2x+(a-2 )eX-X a0u (a2)eX-xX0u x = 1 (目測的)常用的放縮公式 （考試時(shí)需給出證明過程）第一組：對數(shù)放縮In X <x 1， In X ex， In(1 +x )<

8、 x（放縮成雙撇函數(shù)）In xc-fx-1 (XA1 )， In xAlfx-1(0cx<1 )，2i X丿n X丿In X V>1 )，vxIn X > 仮-¥(0 C X v1 )，JxIn x<x2-x， In (1+x)<x-x21 CXC0)， ln( 1 + x)>x-2x2(xa0)（放縮成類反比例函數(shù)）In X工1，In X>1），In x <24（0 < x < 1），X''X +1X +1x2xInZWT77，叫1")一(x0)2x第二組：指數(shù)放縮(放縮成類反比例函數(shù))>x

9、+1， ex1e <1 -x1 2x .> x， e > ex，1<-(x<0 )，x>1 + x+ -x2 +-x32 6(x<0)，3+x + -x2(x a0 )，第三組：指對放縮ex -In X >(x+1(X -1 ) = 2第四組：三角函數(shù)放縮1 2 1 2 1 2 sinx <x vtanx(x >0 )， sin x>x-x ，1 - x <cosx<1?si n x .第五組：以直線y=x1為切線的函數(shù),X.2.1,y =1 nx， y =e -1， y = x -x， y=1，y=xl nx.x幾

10、個經(jīng)典函數(shù)模型經(jīng)典模型一：y二也或y二丄.xIn X【例1】討論函數(shù)f(x) = lnx-ax的零點(diǎn)個數(shù).(1)a時(shí)，e無零點(diǎn).1f'(xa，f(xmax=f F=l nKO.1個零點(diǎn).全國名校高中數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)學(xué)案優(yōu)質(zhì)課時(shí)訓(xùn)練專題匯編(經(jīng)典優(yōu)質(zhì)試題匯編)1 1X)= -， f (Xhax 二 f (e)n e-1 = 0 .x e(3)當(dāng) 0<a v1 時(shí)，e2個零點(diǎn).f(1)=vcO (目測)，丄 Ln 1 a 1亠旦=0，其l1-a 丿 1 -a 1 -a 1 -a “1 -a中1<L<e.(放縮)1 ala(4)當(dāng)a蘭0時(shí)，f(e)=1 ea>0.-1一a

11、<0，其中aoUj.(用到了 “x"一衣2)1個零點(diǎn).a0，單調(diào)遞增.f(1)=a>0，f |e aa f 1 )12=12 a <0.e I e 丿 a【變式】(經(jīng)過換元和等價(jià)變形之后均可以轉(zhuǎn)化到例1 :f (x)= In x-ax):x1.討論 f(x)=l nx-mx 的零點(diǎn)個數(shù)(令 Vx =t， y=a )； 2.討論f(x)=x-mlnx的零點(diǎn)個數(shù) (令2=a )；m3.討論f(x)=7xi nx-mx的零點(diǎn)個數(shù)(考慮g(x)=丄負(fù)-)；4.討論x =怛_mx的零點(diǎn)個數(shù)(考慮 g(x)=yXf(x)，令 t = x2，lm=a)；5.討論f(x)=lnx-

12、mx2的零點(diǎn)個數(shù)(令 t =X2， 2m = a)；6.討論f(X )=ax -ex的零點(diǎn)個數(shù)(令ex =t).x經(jīng)典模型二：y=d或y=dxx【例2】討論函數(shù)f(x) = ex-ax的零點(diǎn)個數(shù).(1)a<0時(shí)，1個零點(diǎn).全國名校高中數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)學(xué)案優(yōu)質(zhì)課時(shí)訓(xùn)練專題匯編(經(jīng)典優(yōu)質(zhì)試題匯編)fYx) = ex-a>O，f(x)=ex-ax單調(diào)遞增.且 f (O )=1 a >O，f Ila丿= e5 1<O，所以在f1,O 1上有一個零點(diǎn);la丿（2） a =O時(shí)，無零點(diǎn).f (x) = ex >O恒成立;（3） Ovace時(shí)，無零點(diǎn).f (xhin =f(l na

13、) = a(1I napO ；（4）aie時(shí)，2個零點(diǎn).1=ea -1 >O， f (1 ) = e -a cO， f (2ln a ) = a(a -21 n a )> a(e-2)> O.【變式】（經(jīng)過換元和等價(jià)變形之后均可以轉(zhuǎn)化到例題2 : f（x） = e -ax）：1.討論f（x）=e2x-mx 的零點(diǎn)個數(shù)（令 2x=t， y=a）；2.討論xX）旦nx的零點(diǎn)個數(shù)（去分母后與1等價(jià)）;x e3.討論f（X ）=ex -mVx的零點(diǎn)個數(shù)（移項(xiàng)平方后與1等價(jià)）;4.討論f（X ）=ex +mx2的零點(diǎn)個數(shù)（移項(xiàng)開方后換元與1等價(jià)）;5.討論6.討論7.討論f（x）=ex

14、4-mx的零點(diǎn)個數(shù)（乘以系數(shù)e，令em = a）； f（x）=M-mx的零點(diǎn)個數(shù)（令xt，轉(zhuǎn)化成2）xf（X ）=ex中-mx + m 的零點(diǎn)個數(shù)（令 x-1=t， £ = a）；e經(jīng)典模型三：y-xl nx或 y =xeX【例】討論函數(shù)f（x） = lnx旦的零點(diǎn)個數(shù).X(1)a。時(shí)，1個零點(diǎn).f =>0， f(x)=l nx-a 單調(diào)遞增.XXa1 af(1)=-a<0， f(1+a) = ln(1+a )>1=0 丿， J 丿 1+a1+a 1+aa =0時(shí)，1個零點(diǎn)（xo =1）.a < -1時(shí)，無零點(diǎn).eX + af ©)=丁， f (x)

15、min = f(-a)"n(-a”10a-時(shí)，1e個零點(diǎn).Xo J f(Xehin qLln1+1=0(e丿 e-1 <a <0 時(shí)，e2個零點(diǎn).f (a2 ) = ln a2丄P0,-a J a=T - ea V 0， f (1) = a > 0，【變式】（經(jīng)過換元和等價(jià)變形之后均可以轉(zhuǎn)化到例題3 : f(X )= ln x-?):x1.討論f（x）J-al nx的零點(diǎn)個數(shù); X2.討論f（x）=m+仮l nx的零點(diǎn)個數(shù)（考慮g（x戶爭），令仮=t）；3. 討論f（x）=x的零點(diǎn)個數(shù)（令ex =t）；e4. 討論f（x）=ex-a的零點(diǎn)個數(shù)；找點(diǎn)問題中的常見函數(shù)模型之間的關(guān)系:r = Vhl ¥ d '丫 r =丄 y '' J,r疔y = /e''V 一 rc丄f-陽我InxJc康忖愀EI =4i yp