導數(shù)題型歸納優(yōu)質(zhì)學案

1、全國名校高考數(shù)學優(yōu)質(zhì)學案高效專題訓練匯編(經(jīng)典問題附詳解)一.切線問題 題型1 求曲線方法：高考壓軸題：導數(shù)題型及解題方法y = f(x)在x=xo處的切線方程。 f (xo)為在X =Xo處的切線的斜率。題型2過點(a,b)的直線與曲線y = f(x)的相切問題。方法：設曲線 y = f(x)的切點(xo, f(xo),由(Xo a)f (Xo) = f(Xo) b 求出 x。,進 而解決相關問題。注意：曲線在某點處的切線若有則只有一，曲線過某點的切線往往不止一條。 例已知函數(shù)f (X) =x3 - 3x.(1) 求曲線y=f ( X)在點X=2處的切線方程；(答案：9X y16 = o )

2、(2) 若過點AA(1,m)(m2)可作曲線y = f(x)的三條切線，求實數(shù)m的取值范圍、 (提示：設曲線y = f(x)上的切點(Xo, f(Xo)；建立Xo, f(Xo)的等式關系。將問題 轉(zhuǎn)化為關于Xo，m的方程有三個不同實數(shù)根問題。(答案：m的范圍是(一 3,-2)練習 1.已知曲線y=x33Xy=x33X相切的直線方程。答案:(3x + y = 0 或(1) 求過點(1 , -3)與曲線15x -4y -27 =o )y = x3-3x相切的直線有三條。(2) 證明：過點(-2,5)與曲線1)2.若直線e2x + y-e2-1=0與曲線y=1-aex相切，求a的值.(答案： 題型3

3、求兩個曲線y = f(x)、y=g(x)的公切線。(X2, f(X2)；方法：設曲線y = f(x)、y=g(x)的切點分別為(花屮)。建立 X1 ,X2 的等式關系，(X2 -xjf (xj =y2 - %, (X2 - X1)(X2)= y2 ；求出 X1 ,X2 , 進而求出切線方程。解決問題的方法是設切點，用導數(shù)求斜率，建立等式關 系。例 求曲線y=x2與曲線y=2el nx的公切線方程。(答案27ex-y - e = 0 ) 練習1.求曲線y=x2與曲線y =-(x-1)2的公切線方程。(答案2x-y-1=0或y = 0 )12.設函數(shù)f(x) = p( x-)-2l nx,g(x)

4、=x2，直線l與函數(shù)f(x),g(x)的圖象都相切，且與 X函數(shù)f(x)的圖象相切于(1,0)，求實數(shù)P的值。(答案P=1或3 )(1)在求極 未知數(shù)的系數(shù)與 0的關系不定而引起的分類；(2)在求極值點的 與0的關系不定)； (4)在求極值點二. 單調(diào)性問題 題型1 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。求含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的關鍵是確定分類標準。分類的方法有： 值點的過程中， 過程中，有無極值點引起的分類(涉及到二次方程問題時，(3) 在求極值點的過程中，極值點的大小關系不定而引起的分類； 的過程中，極值點與區(qū)間的關系不定而引起分類等。注意分類時必須從同一標準 出發(fā)，做到不重復，不遺漏。例 已知函數(shù) f(x)=a

5、|n x + x2 _(a+1)x2(1) 求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。(利用極值點的大小關系分類)(2) 若X壬2,e，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。(利用極值點與區(qū)間的關系分類)練習 已知函數(shù)f(X)= eXx 一 (k+1)eX 一1X2 +kx+1，若x巳一1,2),求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間。2(利用極值點的大小關系、及極值點與區(qū)間的關系分類)題型2已知函數(shù)在某區(qū)間是單調(diào)，求參數(shù)的范圍問題。方法1:研究導函數(shù)討論。方法2:轉(zhuǎn)化為f(X)0或f(X)蘭0在給定區(qū)間上恒成立問題，方法3:利用子區(qū)間(即子集思想)；首先求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間或減區(qū)間，然后 讓所給區(qū)間是求的增或減區(qū)間的子集。注意：函

6、數(shù)f(x)在(m,n上是減函數(shù)”與 函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(a,b)”的區(qū)別是前 者是后者的子集。例 已知函數(shù)f(x)=x2+al nx + 2在1嚴 上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù) a的取值范圍.(答X案0嚴)練習 已知函數(shù)f(x)Jx3-yx2，且f(x)在區(qū)間(2,如)上為增函數(shù).求實數(shù)k的32取值范圍。(答案：k0，求函數(shù)y = f(X)在區(qū)間(a-1,a +1)內(nèi)的極值.(答案：當0a1時，f(x)有極大值-2，無極小值；當1a0時，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,e上的最小1,址)練習已知函數(shù) f(X)= ax2(a+2)x+1 nx ,值是-2，求實數(shù)a的取值范圍。(答案：四. 不等式恒成立(或

7、存在性)問題。一些方法1. 若函數(shù)f(x)值域(m,n ), a f(x)恒成立，2. 對任意 X1 巳m,n)X2rm,n ), f(X1)g(X2)恒成立。則 f (xjmin 呂 g(X2)max。3. 對 3x (m, n)3x2 忘(m, n ), MxJEgg)成立。則 f (xjmax 色 g(X2)min。4. 對 x (m, n)，恒成立 f(X1)g(X1)。轉(zhuǎn)化 f (xj -H 0 恒成立4. 對 Vx1 迂(m, n)3x2 迂(m, n ), f(X1)g(X2)成立。則 f (xjmin 二 g(X2)min。5. 對 玉1 迂(m,n)Vx (m,n ), f(

8、X1)g(X2)成立。則 f (xjmax g(X2)max6. 對x (m,n)x2亡(m,n ),a成立。則構造函數(shù)t(x)=f(x)-ax。轉(zhuǎn)化證明X1 -X2t(x)在(m,n )是增函數(shù)。題型1已知不等式恒成立，求系數(shù)范圍。方法：(1)分離法：求最值時，可能用羅比達法則；研究單調(diào)性時，或多次 求導。(2)討論法:有的需構造函數(shù)。關鍵確定討論標準。分類的方法： 在求極值點的過程中，未知數(shù)的系數(shù)與0的關系不定而引起的分類；有無極值點引起的分類(涉及到二次方程問題時，與0的關系不定)；極值點的大小關系不定而而引起的分類；極值點與區(qū)間的關系不定而引起分類。分類必須從同一標準 出發(fā)，做到不重復

9、，不遺漏。(3) 數(shù)形結(jié)合：(4) 變更主元解題思路 1.代特值縮小范圍。2.化簡不等式。3選方法(用討論法時，或構造 新函數(shù))。方法一：分離法。求最值時，可能用羅比達法則；研究單調(diào)性時，或多次求導。例 函數(shù)f(x) =eX(x2 Inx)+a。在x忘1,e f(x)xe恒成立，求實數(shù)a取值范圍。(方法： 分離法，多次求導答案：0,垃)練習 設函數(shù)f(X)= x(eX _1) 一ax2，若當X時f(x) AO,求a的取值范圍。(方法：分 離法，用羅比達法則答案：(-1 )方法二：討論法。有的需構造函數(shù)。關鍵確定討論標準。分類的方法：在求極值點的過程中， 未知數(shù)的系數(shù)與0的關系不定而引起的分類；

10、有無極值點引起的分類(涉及到二 次方程問題時，與0的關系不定)；極值點的大小關系不定而而引起的分類；極 值點與區(qū)間的關系不定而引起分類。分類必須從同一標準出發(fā)，做到不重復，不 遺漏。例設函數(shù) f(x)= ex 1 Xax2若當x AO時f(x)青0求a的取值范圍.7)I 2,x3O 時，練習1.設函數(shù)f(x)=1-ef(XSx + 1x ，求實數(shù)a的取值范圍(答案：同)1 2.函數(shù)f(X)= aln X +-，當a 0.對Wx 0 , ax(2 -1 n x)蘭1，求實數(shù)a取值范圍。x(多種方法求解。(答案：(0,e*)方法二： 變更主兀例：設函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上的導數(shù)為f x) , f

11、x)在區(qū)間D上的導數(shù)為g(x), 若在區(qū)間D上，g(x) 3時，對任意x0 ,(提示 f (a+x) V f (a) fX化為五.函數(shù)零點問題題型1 :判斷函數(shù)零點的個數(shù)。方法：方程法；函數(shù)圖象法；A例設 a R, f(X)= x3 +ax +(1 -a)ln x3(提示：當a：1時，f(1):0 , f(73a)g(x)，需證f(x)的最小值大于g(x)的最大值即可。方法一：討論法例：已知函數(shù)f(xa+b，曲線y=f(x)在點(1,f(1)處的切線方程為x + 2y3 = 0。x+1 x證明：當X：0，且XH1時，f(x)也x。x-1練習：.已知函數(shù)f(x) =ax-eX(a aO).當1蘭a蘭e + 1時，.試討論f (x)與x的大小關系。 方法二：構造函數(shù)例：已知函數(shù) f(X)= ax2+kbx(x A0)與函數(shù) g(x)=ax + blnx,a、b、k為常數(shù)，(1 )若 g(x) 圖象上一點P(2,g(2)處的切線方程為：X-2y+2ln2-2=0 ,設A(X1, yj, B(X2,y2),(X1 c X2)是函數(shù) y = g(x)的 圖象上 兩點，g。)= 生，證 明：X2 -X1X1 CXo VX2練習：1.設函數(shù)f(x) = xl nx。證明：當a 3時，對任意xaO , f (a + x)