平面向量數(shù)量積(基礎(chǔ))-學案

1、全國名校，高中數(shù)學，必修四，優(yōu)質(zhì)學案，自學，寒暑假輔導專題匯編11學員編號:年 級：咼一課時數(shù)：3學員姓名:輔導科目：數(shù)學學科教師:授課主題第09講-平面向量的數(shù)量積授課類型T同步課堂P實戰(zhàn)演練S歸納總結(jié)掌握向量數(shù)量積的概念;教學目標掌握向量夾角的計算;了解向量數(shù)量積的坐標運算。授課日期及時段T (Textbook-Based)司步課堂體系搭建、知識框架字母表示向we運q實數(shù)與向量的積1;g應用知識概念1. 數(shù)量積的概念：(1)向量的夾角：如下圖，已知兩個非零向量a和b,作OA=a, OB=b,則/ AOB= 0 (0°< 0 < 180°)叫做向量a與b的夾角

2、，記作a, b.(2)數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量a和b,它們的夾角為0，則數(shù)量aIblcosB叫做a與b的數(shù)量積,記作 a b, 即卩 a b=|a|b|cos0 .(3)數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積 a b等于a的模與b在a方向上的投影|b|cos 0的乘積.2. 數(shù)量積的性質(zhì):設e是單位向量，a, e= 0 .e a=a e=|a|cosB .當a與b同向時，a b=|a|b|;當a與b反向時，a b= - |a|b|,特別地，a a=|a|2,或 |a|=J a2(4)a 丄 bu a b=0.cos 0 = a b|a|b|a b|w |a|b|.3. 運算律:(1) a b= b a

3、;( 2)(入a )b=入(a b)= a(入b);(3)(a+ b) c= a c+ b - c.4. 向量數(shù)量積的坐標運算:設 a= (xi, yi),b= (X2,，則a b=xix2+yiy2 ；(2)II2,2|a|=Vxi+yi ;,xiX2 +yiy2cos <a, b> =_小2f 2 . _2 _2 寸 Xi +yi 吋 X2 +y2(4)a丄 bu a b=Ou xix2+yiy2=0.典例分析考點一：平面向量數(shù)量積的運算與性質(zhì)例1、給出下列命題：若 a2+b2=0,貝y a=b=0;已知a、b、c是三個非零向量，若a+ b= 0,則|a c|=|b- c|;在

4、 ABC 中，a=5, b=8, c=7,則 BC - CA =20;a與b是共線向量少a b=|a|b|.其中真命題的序號是.(請把你認為是真命題的序號都填上)例2、已知向量a和向量b的夾角為30。, |；|邛冊，則向量a和向量b的數(shù)量積化.例3、在 ABC中，M是BC的中點，AM= 1，點P在AM上且滿足AP = 2PM,貝U AP (PB+PC)等于()D.C.例4、已知a=(2,3), b=(-4,7),則a在b上的投影為(B.西5A. j13C.）V655-765例5、已知平面上三點 A、B、C滿足|AB|=3, |BC|=4 , |CA|=5,則 aB Bc+Bc CA + CA

5、aB 的值等于考點二：平面向量的夾角例1、已知平面向量a , b的夾角為60 ° a =（卮1）, |b|=1，則 |a+ 2b| =（）b . 77C. 273例2、已知非零向量a, b, c滿足a + b+c = 0 ,向量a, b的夾角為120 ,且| b |=2 |a | ,則向量a與C的夾角為A . 60B . 90C. 120D.150例3、已知向量a = (1,J3) , a+b= (0,J3)，設a與b的夾角為e ,則0 =考點三：向量數(shù)量積的坐標運算 例1、在 ABC中，A= 2, 3 . AC = (1,耳，且 ABC的一個內(nèi)角為直角，求 k的值.例 2、已知向量

6、 a= (4, 3), b= ( 1, 2).(1)求a與b的夾角0的余弦值；若向量a入b與2a+ b垂直，求入的值.P(P ractice-Oriented)實戰(zhàn)演練實戰(zhàn)演練課堂狙擊1、已知|a|= 3, |b|= 5,且a與b的夾角0- 45°，則向量 a在向量b上的投影為()A竝 f .212、設向量 a, b 滿足 |a|= |b|= 1, a b=孑，則 |a + 2b|=(C.B. 733、設a, b, c是任意的非零向量,且相互不共線，則下列結(jié)論正確的是A . (a b)c (c a) b= 0C. (b c)a (a c)b 不與 c 垂直B. a b= 0? a =

7、 0 或 b= 0D. (3a + 4b) (3a 4b) = 9|a|2 16|b|24、已知向量a, b的夾角為120,|a|=|b|= 1, c與a + b共線，則|a+c|的最小值為()D .號C. 45、【優(yōu)質(zhì)試題-安徽】已知向量a、b滿足(a + 2b) (a b) = 6,且|a|= 1,|b|= 2,則a與b的夾角為6、【優(yōu)質(zhì)試題重慶】已知單位向量e1, e2的夾角為60°,則|2e1 e2|=7、已知a|= 5, |b|= 4,且a與b的夾角為60°,則當k為何值時，向量 ka b與a+ 2b垂直?1 18、已知 |a|= 1, a b= 4,(a+ b)

8、 Ca b) = 了求bl的值；(2)求向量a b與a+ b夾角的余弦值.課后反擊1、若向量c垂直于向量 a和b, d= a +卩b (入、卩 R，且入卩m 0),則A c/ d B c丄d C c不平行于d,也不垂直于 d D .以上三種情況均有可能2、判斷下列各命題正確與否:若 a豐 0, a b=a c,貝U b=c;(2)若a b=a c,貝U bM c當且僅當a=0時成立;(a b) c=a (b c)對任意向量 a、b、c都成立;對任一向量 a,有a2=|a|2 3、已知 a=(cosa,sinot),b=(cos P,sin P)(0v aV P V ) 1，則向量a與b的夾角為

9、(1)求證：a+b與a-b互相垂直；(2)若ka+ b與a-kb的模相等，求P-g (其中k為非零實數(shù))4、已知平面向量a,b滿足a (a+ b)=3，且a| = 2, b =兀A.65、若向量a, b滿足a =1 , b且a丄(a + b)，則a與b的夾角為(2兀3兀C 45兀D 66、若向量a與b的夾角為60|b|=4,(a+2b)( a- 3b) = 72,則向量的模是D 127、已知 |a |=10, |b|=12，且(3a)1(-b) = 36,貝U a與b的夾角是5A 60B 120C 135D 1508、設n和m是兩個單位向量，其夾角是60 °,求向量a=2m+n與b=

10、2n-3m的夾角9、若平面向量b與向量a = (1, 2)的夾角是180°,且4|=3丁5，貝b等于B ( 3, 6)A.( 3, 6)D( 6, 3)10、已知向量 a= (3, 4), b= (sin a , cos a )，且 a / b,則 tan a 等于4"311、已知平面向量 a= ( 3, 1), b= (X, 3)且a丄b,則x等于C. 112、已知a、b均為單位向量，它們的夾角為60 °，那么|a+3b|等于A . 77B . V1013、已知點A ( 1, 2)，若向量 AB與a = ( 2, 3)同向，|AB|=2寸13 ,則點B的坐標為S

11、(Summary-Embedded)歸納總結(jié)戰(zhàn)術(shù)指導平面向量數(shù)量積運算一直是高考熱點內(nèi)容，它在處理線段長度、垂直等問題的方式方法上尤為有突出 的表現(xiàn)，而正確理解數(shù)量積的定義和幾何意義是求解的關(guān)鍵，同時平面向量數(shù)量積的運算結(jié)果是實數(shù)而不是向量，因此要注意數(shù)量積運算和實數(shù)運算律的差異，本文僅舉數(shù)例談談求解向量數(shù)量積運算的方法和策略。1、【優(yōu)質(zhì)試題?山東】直擊高考已知非零向量 IT, n滿足 4|ir|=3|ri|, cosv it, n.若 ri±( tir+n)，則實數(shù) t 的 J值為()D.-2、【優(yōu)質(zhì)試題?天津】已知 ABC是邊長為1的等邊三角形，點 D、E分別是邊AB、BC的中點，連接 DE并延長到點F,使得DE=2EF，則旺- BC的值為()61111A .-gB . 8C .7D .83、設向量各£ 滿足 兩=|石=1,7?】-寺，則 R bF ()B V3C .翻4、【優(yōu)質(zhì)試題?新課標II】a=(1,- 1), t= (- 1, 2)則(2 0+b) * a=()5、6、【優(yōu)質(zhì)試題?山東】已知菱形ABCD的邊長為a,/ ABC=60°，則wc5=()B .-活4C.弓a24c 3 2 D . 2a【優(yōu)質(zhì)試題？畐建】已知17c |=T，若P點是 ABC所在平面內(nèi)一點，且竺+則屈|AB| I AC IFC的最大值等于(B .