平面向量共線的坐標(biāo)表示15

1、最新高一數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案（附經(jīng)典解析）平面向量共線的坐標(biāo)表示整體設(shè)計教學(xué)分析1.前面學(xué)習(xí)了平面向量的坐標(biāo)表示，實際是平面向量的代數(shù)表示.在引入了平面向量的坐標(biāo)表示后可使向量完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來，這就可以使很多幾何問題的解答轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟知 的數(shù)量運算.2.本小節(jié)主要是運用向量線性運算的交換律、結(jié)合律、分配律推導(dǎo)兩個向量的和的坐標(biāo)、差的坐標(biāo)以及數(shù)乘的坐標(biāo)運算.推導(dǎo)的關(guān)鍵是靈活運用向量線性運算的交換律、結(jié)合律和分配律3.引進向量的坐標(biāo)表示后，向量的線性運算可以通過坐標(biāo)運算來實現(xiàn),一個自然的想法是向量的某些關(guān)系，特別是向量的平行、垂直,是否也能通過坐標(biāo)來研究呢？前面已經(jīng)找出兩個向量共線的條件（

2、如果存在實數(shù) 入,使得a=X b,那么a與b共線）,本節(jié)則進步地把向量共線的條件轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示.這種轉(zhuǎn)化是比較容易的,只要將向量用坐標(biāo)表示出來，再運用向量相等的條件就可以 得出平面向量共線的坐標(biāo)表示 .要注意的是,向量的共線與向量的平行是一致的.三維目標(biāo)1. 通過經(jīng)歷探究活動，使學(xué)生掌握平面向量的和、差、實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)表示方法.理解并掌握平面向量的坐標(biāo)運算以及向 量共線的坐標(biāo)表示.2. 引入平面向量的坐標(biāo)可使向量運算完全代數(shù)化，平面向量的坐標(biāo)成了數(shù)與形結(jié)合的載體.3. 在解決問題過程中要形成見數(shù)思形、以形助數(shù)的思維習(xí)慣，以加深理解知識要點，增強應(yīng)用意識.重點難點 教學(xué)重點:平面向量的坐標(biāo)

3、運算.教學(xué)難點:對平面向量共線的坐標(biāo)表示的理解 課時安排1課時教學(xué)過程導(dǎo)入新課思路1.向量具有代數(shù)特征，與平面直角坐標(biāo)系緊密相聯(lián).那么我們在學(xué)習(xí)直線和圓的方程以及點、直線、平面之間的位置關(guān)系時,直線與直線的平行是一種重要的關(guān)系.關(guān)于x、y的二元一次方程Ax+By+C=O（A B不同時為零）何時所體現(xiàn)的兩條直線平行？向量的共線用代數(shù)運算如何體現(xiàn)?思路2.對于平面內(nèi)的任意向量a,過定點0作向量OA=a,則點A的位置被向量a的大小和方向所唯一確定.如果以定點0為 原點建立平面直角坐標(biāo)系，那么點A的位置可通過其坐標(biāo)來反映， 從而向量a也可以用坐標(biāo)來表示，這樣我就可以通過坐標(biāo)來研究 向量問題了 .事實上

4、，向量的坐標(biāo)表示，實際是向量的代數(shù)表示.引入向量的坐標(biāo)表示可使向量運算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)最新高一數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案(附經(jīng)典解析)合起來，這就可以使很多幾何問題的解答轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟知的數(shù)量 運算.引進向量的坐標(biāo)表示后，向量的線性運算可以通過坐標(biāo)運 算來實現(xiàn)，那么向量的平行、垂直,是否也能通過坐標(biāo)來研究呢?推進新課 新知探究 提出問題 我們研究了平面向量的坐標(biāo)表示，現(xiàn)在已知a=(xi,yi), b=(X2,y2),你能得出a+b, a- b,入a的坐標(biāo)表示嗎？如圖1,已知A(xi,y i),B(x 2,y 2),怎樣表示ab的坐標(biāo)？你能在圖中標(biāo)出坐標(biāo)為(x2-xi,y2-y 1)的P點嗎？標(biāo)出點P

5、后，你能總結(jié)出什么結(jié)論？活動:教師讓學(xué)生通過向量的坐標(biāo)表示來進行兩個向量的 加、減運算，教師可以讓學(xué)生到黑板去板書步驟 .可得:a+b=(xi i +yij )+(x 2 i +y2j )=(x 1+X2) i +(yi+y2)j ,即 a+b=(xi+X2,y i+y2).同理 a- b=(x 1-x 2,y i-y 2).又 入 a=X (x 1 i +yij )=入 X 1 i + Xy ij . 入 a=(入 x 1, Xy 1).教師和學(xué)生一起總結(jié)，把上述結(jié)論用文字?jǐn)⑹龇謩e為兩個向量和(差)的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和(差);實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)

6、坐標(biāo).教師再引導(dǎo)學(xué)生找出點與向量的關(guān)系:將向量AB平移,使得點A與坐標(biāo)原點0重合，則平移后的B點位置就是P點.向量AB 的坐標(biāo)與以原點為始點，點P為終點的向量坐標(biāo)是相同的,這樣 就建立了向量的坐標(biāo)與點的坐標(biāo)之間的聯(lián)系學(xué)生通過平移也可以發(fā)現(xiàn):向量Ab的模與向量0P的模是相 等的.由此,我們可以得出平面內(nèi)兩點間的距離公式I ab|=| 0P| = J(X1 X2)2 (yi y2)2 .教師對總結(jié)完全的同學(xué)進行表揚，并鼓勵學(xué)生，只要善于開動腦筋，勇于創(chuàng)新，展開思維的翅膀，就一定能獲得意想不到的收討論結(jié)果:能. AB =0B- 0A=(x2,y 2)-(x i,y i)=(x 2-x i,y 2-y

7、 i).結(jié)論:一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點的坐標(biāo) 減去始點的坐標(biāo).提出問題 如何用坐標(biāo)表示兩個共線向量 ？若a=(xi,y 1), b=(X2,y2),那么也 匹是向量a、b共線的什么條XiX2活動:教師引導(dǎo)學(xué)生類比直線平行的特點來推導(dǎo)向量共線時的關(guān)系.此處教師要對探究困難的學(xué)生給以必要的點撥a=(xi,y 1), b=(X2,y2),其中0.我們知道，a、b共線，當(dāng)且僅當(dāng)存在實數(shù)入,使a=X b.如果用坐標(biāo)表示,可寫為(X i,y i)=入(x 2,y 2),即XlyiX2'消去入后得xiy2-X2yi=0.y2.這就是說,當(dāng)且僅當(dāng)xiy2-x 2yi=0時向量a、b

8、(b工0)共線.里是不XiX2¥2XiX2又我們知道xiy2-X2yi=0與xiy2=x2yi是等價的，但這與 等價的.因為當(dāng)Xi=X2=0時,x iy2-x 2yi=0成立，但仏 匹均無意義.因此II 21是向量a、b共線的充分不必要條件.由此也看出向量XiX2的應(yīng)用更具一般性，更簡捷、實用，讓學(xué)生仔細(xì)體會這點.討論結(jié)果:xiy2-X2yi=0時,向量a、b(b工0)共線.充分不必要條件.提出問題a與非零向量b為共線向量的充要條件是有且只有一個實數(shù)入使 得a=入b, 那么這個充要條件如何用坐標(biāo)來表示呢?活動:教師引導(dǎo)推證:設(shè)a=(xi,y 1), b=(x2,y 2),其中b a,

9、由 a=X b,(x i,y i)=入(x 2,y 2)XiyiX2,消去入,得 xiy2-x 2yi=0.y2.討論結(jié)果:a / b( bM0)的充要條件是xiy2-X2yi=0.教師應(yīng)向?qū)W生特別提醒感悟:1°消去入時不能兩式相除，Ty 1、y2有可能為0,而bM 0, X2、y2中至少有一個不為0.2°充要條件不能寫成生、X2有可能為0).X1X23° 從而向的充要條件有兩種形式:a / b(bM0)axi y2bX2y10.應(yīng)用示例思路1例 1 已知 a=(2,1), b=(-3,4),求 a+b, a- b,3 a+4b 的坐標(biāo).活動:本例是向量代數(shù)運算的

10、簡單應(yīng)用，讓學(xué)生根據(jù)向量的線性運算進行向量的和、差及數(shù)乘的坐標(biāo)運算，再根據(jù)向量的線性運算律和向量的坐標(biāo)概念得出的結(jié)論.若已知表示向量的有向線段的始點和終點坐標(biāo)，那么終點的坐標(biāo)減去始點的坐標(biāo)就是此向量的坐標(biāo),從而使得向量的坐標(biāo)與點的坐標(biāo)可以相互轉(zhuǎn)化.可由學(xué)生自己完成.解:a+b=(2,1)+(-3,4)=(-1,5);a-b=(2,1)-(-3,4)=(5,-3);3a+4b=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).點評:本例是平面向量坐標(biāo)運算的常規(guī)題，目的是熟悉平面向量的坐標(biāo)運算公式.變式訓(xùn)練1.(2007 海南高考,4)已知平面向量 a=(1,1), b=

11、(1,-1),則向量2a |b等于()A.(-2,-1)B.(-2,1)C.(-1,0)D.(-1,2)答案:D2.(2007全國高考,3)已知向量 a=(-5,6),b=(6,5),貝U a與A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向答案:A例2如圖2,已知QABCD勺三個頂點A、B、C的坐標(biāo)分別是(-2,1)、(-1,3) 、(3,4),試求頂點D的坐標(biāo).活動:本例的目的仍然是讓學(xué)生熟悉平面向量的坐標(biāo)運算這里給出了兩種解法:解法一利用“兩個向量相等，則它們的坐 標(biāo)相等”，解題過程中應(yīng)用了方程思想 ；解法二利用向量加法的平行四邊形法則求得向量 OD的坐標(biāo)，進而得到點D的坐標(biāo).解題

12、過程中，關(guān)鍵是充分利用圖形中各線段的位置關(guān)系(主要是平行關(guān)系),數(shù)形結(jié)合地思考，將頂點D的坐標(biāo)表示為已知點的坐標(biāo).解：方法一:如圖2,設(shè)頂點D的坐標(biāo)為(x,y). aB =(-1-(-2),3-1)=(1,2),DC =(3-x,4-y). 由 aB = dc ,得13(1,2)=(3-x,4-y).二 2 ；X,X.X 2,y 2.頂點D的坐標(biāo)為(2,2).方法二:如圖2,由向量加法的平行四邊形法則，可知BD BA AD BA BC =(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3)=(3,-1),而 OD =Ob +bd=(-1,3)+(3,-1)=(2,2),頂點D的坐標(biāo)為(2,2)

13、.點評:本例的目的仍然是讓學(xué)生熟悉平面向量的坐標(biāo)運算變式訓(xùn)練如圖3,已知平面上三點的坐標(biāo)分別為A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求點D的坐標(biāo)使這四點構(gòu)成平行四邊形四個頂點 解：當(dāng)平行四邊形為ABCD寸,仿例二得：Di=(2,2);當(dāng)平行四邊形為ACDB寸,仿例二得：D2=(4,6);當(dāng)平行四邊形為DACB寸,仿上得：D3=(-6,O).例3已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5), 試判斷A、B、C三點之間的 位置關(guān)系.活動:教師引導(dǎo)學(xué)生利用向量的共線來判斷.首先要探究三個點組合成兩個向量，然后根據(jù)兩個向量共線的充要條件來判斷這兩個向量是否共線從而來判斷這三點是否共線.教師

14、引導(dǎo)學(xué)生進一步理解并熟練地運用向量共線的坐標(biāo)形式來判斷向量之間 的關(guān)系.讓學(xué)生通過觀察圖象領(lǐng)悟先猜后證的思維方式 解：在平面直角坐標(biāo)系中作出 A、B、C三點,觀察圖形，我們猜想A B、C三點共線.下面給出證明. ab=(1-(-1),3-(-1)=(2,4),AC =(2-(-1),5-(-1)=(3,6),又2X6-3X4=0, A AB / AC,且直線AB 直線AC有公共點A, AB、C三點共線.點評:本例的解答給出了判斷三點共線的一種常用方法，其實質(zhì)是從同一點出發(fā)的兩個向量共線，則這兩個向量的三個頂點共線.這是從平面幾何中判斷三點共線的方法移植過來的 變式訓(xùn)練 已知 a=(4,2),

15、b=(6,y),且 a / b,求 y.解： a / b, A4y-2X6=0.-y=3.思路2例2設(shè)點P是線段PiP2上的一點，Pi、P2的坐標(biāo)分別是（xi,y 1）、(X2,y 2).（1）當(dāng)點P是線段PiP2的中點時，求點P的坐標(biāo); 當(dāng)點P是線段PiP2的一個三等分點時，求點P的坐標(biāo).最新高一數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案（附經(jīng)典解析）活動:教師充分讓學(xué)生思考，并提出這一結(jié)論可以推廣嗎？即當(dāng)P PPPT=入時，點P的坐標(biāo)是什么？師生共同討論，一起探究，可按照求中點坐標(biāo)的解題思路類比推廣，有學(xué)生可能提出如下推理方法:由P1 p =入PP2 ,知(X-X i,y-y 1)=入(X 2-x,y 2-y),即X

16、Xiy yi(X2 X)(y2 y)yXiX2X 1yiy21這就是線段的定比分點公式,教師要給予充分肯定,鼓勵學(xué)生的這種積極探索，這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要品質(zhì).時間允許的話，可以探索入的取值符號對P點位置的影響，也可鼓勵學(xué)生課后探解：（1）如圖4,由向量的線性運算可知F4r-¥0P = ( 0P i+OP2)=(2XiX yiy2 )2 ' 2 .所以點P的坐標(biāo)是（XiX2 yiy2 )2 ' 2 . 如圖5,當(dāng)點P是線段PiP2的一個三等分點時，有兩種情況，即最新高一數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案(附經(jīng)典解析)PP2P pppT=2.如果空=2,那么PP2 10P PR +P PPR +

17、3 1 =OPi+-(OP2-OP)3=2 OPf+- 0P233=(2xi X2 2yi y2 )=(，).即點P的坐標(biāo)是(空于2yi同理,如果詈=2,那么點P的坐標(biāo)是3xi 2x2 yi 2討2點評:本例實際上給出了線段的中點坐標(biāo)公式和線段的三等分點 坐標(biāo)公式.變式訓(xùn)練在ABC中，已知點A(3,7)、B(-2,5).若線段AC BC的中點都在坐標(biāo)軸上,求點C的坐標(biāo).解:(1)若AC的中點在y軸上，則BC的中點在x軸上， 設(shè)點C的坐標(biāo)為(x，y),由中點坐標(biāo)公式，得寧0專0,最新高一數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案（附經(jīng)典解析）二 x=-3,y=-5,即C點坐標(biāo)為（-3,-5）. 若AC的中點在x軸上，則BC的

18、中點在y軸上，則同理可得C 點坐標(biāo)為（2,-7）.綜合（1）（2）,知C點坐標(biāo)為（-3,-5）或（2,-7）.例2已知點A（1,2）,B（4,5）,O為坐標(biāo)原點，OP=OA+tAB.若點P 在第二象限，求實數(shù)t的取值范圍.活動:教師引導(dǎo)學(xué)生利用向量的坐標(biāo)運算以及向量的相等把已知條件轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的方程 （組）或不等式（組）再進行求解.教師以提問的方式來了解學(xué)生組織步驟的能力，或者讓學(xué)生到黑板上去板書解題過程，并對思路清晰過程正確的同學(xué)進行表揚同時也要對組織步驟不完全的同學(xué)給與提示和鼓勵.教師要讓學(xué)生明白“化歸”思想的利用.不等式求變量取值范圍的基本觀點是，將已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量的不等式（組）,

19、那么變量的取值3).范圍就是這個不等式（組）的解集.AB =(4,5)- (1,2)=(3,3).0P= (1,2)+t(3,3)=(3t+1,3t+2).若點P在第二象限,則: 故t的取值范圍是（|,點評:此題通過向量的坐標(biāo)運算，將點P的坐標(biāo)用t表示,由點P在第二象限可得到一個關(guān)于t的不等式組，這個不等式組的最新高一數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案（附經(jīng)典解析）解集就是t的取值范圍.變式訓(xùn)練已知 OA =(cos 0 ,sin 0), OB =( 1+sin 0 ,1+cos 0), 其中OW0Wn ,求| AB |的取值范圍.解: V aB = Ob- OA=(1+sin 0 ,1+cos 9) -(cos

20、0 ,sin 9)=(1+sin 0 -cos 0 ,1+cos 0 -sin 0).2 2 2'I AB | =(1+s in 0 -cos 0) +(1+cos 0 - si n 0)=1+(sin 0 -c os 0 門 2+ 1- (sin 0 - cos 0 門 22=2+2(sin 0 - cos 0)=2+2(1- 2sin 0 cos 0)=4-4sin 0 cos 0 =4-2sin2 0.V OW0Wn ，二 ow 20W 2n.從而-K sin2 0< 1.4-2si n2 0 2,6 :.故| ab |的取值范圍是邁應(yīng):.知能訓(xùn)練 課本本節(jié)練習(xí).解答:1.

21、 (1) a+b=(3,6), a-b=(-7,2);(2)a+b=(1,11), a-b=(7,-5); a+b=(0,0), a- b=(4,6);a+b=(3,4), a-b=(3,-4).2. -2 a+4b=(-6,-8),4a+3b=(12,5).3. (1) ab =(3,4), BA=(-3,-4);(2) ab=(9,-1), ba =(-9,1); AB =(0,2), BA =(0,-2); AB =(5,0), BA =(-5,0).4. AB / CD.證明:AB=(1,-1), CD =(1,-1),所以 AB = CD .所以 AB/ CD.點評:本題有兩個要求:一是判斷，二是證明.通過作圖發(fā)現(xiàn)規(guī)律， 提出猜想，然后再證明結(jié)論是一個讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程5. (1)(3,2);(2)(1,4);(3)(4,-5).6. (罟或(普,-1).337. 解:設(shè)P(x,y),由點P在線段AB的延長線上，且|AP|=|PB|,(x-2,y-3)=|(x-4,y+3),即2x 4 3x 12.解之，得x 8,2y 6