代數(shù)方程解法

1、代數(shù)方程-解法作者:日期:代數(shù)方程解法化歸思想：高次化低次：降次的方法：因式分解，換元 分式化整式：化整式的方法：去分母，換元 無理化有理：化有理方程的方法：平方法，換元 多元化一元：代入和加減消元1. 一元一次方程和一元二次方程的解法一元二次方程的解法主要有四種：（1）直接開平方法：適用于（mx+n）三h （h，0）的一元二次方程。（2）配方法：適用于所有化為一般形式后的一元二次方程。但是，具有二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)為偶 數(shù)特點(diǎn)的一元二次方程，用配方法解才較簡便。配方法是通過配方將一元二次方程化成（mx+n） =h （h20）的形式，再利用直接開平方法求 解，這種解一元二次方程的方法叫配

2、方法。其基本步驟是：首先在方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，把二次項(xiàng)系數(shù)化為1：把常數(shù)項(xiàng)移到等式的右邊：方程兩邊同時加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方：方程左邊寫成完全平方式，右邊化簡為常數(shù)；利用直接開平方法解此方程用配方法解一元二次方程要注意，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為1時，一定要化為1，然后才能方程兩 邊同時加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方（3）公式法：適用于解一般形式的一元二次方程。利用公式工=*業(yè)二士*妒一“，°）可以解 所有的一元二次方程。注意：當(dāng)b'-4ac>0時，方程才有實(shí)數(shù)解：當(dāng)blac<0時，原方程無實(shí)數(shù)解。因式分解法：適用于方程右邊是0,左邊是易于分解成兩個一次因式乘積的一元二次

3、方程。2 .含字母系數(shù)的整式方程的解法3 .特殊的高次方程的解法(1)二項(xiàng)方程“x" +b = 05豐0,方*0)的解法二項(xiàng)方程的定義：如果一元n次方程的一邊只有含未知數(shù)的一項(xiàng)和非零的常數(shù)項(xiàng)，另外一邊是零，那么這樣的 方程叫做二項(xiàng)方程。關(guān)于x的一元n次二項(xiàng)方程的一般形式是ax" + b = 0(«*0,*是正整數(shù))二項(xiàng)方程的解法及根的情況：一般地，二項(xiàng)方程“x"+ = 0(a/0,，0)可變形為工"=一，可見，解一元n次二項(xiàng)方程，可以轉(zhuǎn)化為求一個已知數(shù)的n次方根，運(yùn)用開方運(yùn)算可以求出 這個方程的根。二項(xiàng)方程的根的情況；對于二項(xiàng)方程“X” + %

4、 = 0(“/0,方+0),當(dāng)n為奇數(shù)時，方程只有且只有一個實(shí)數(shù)根。當(dāng)n為偶數(shù)時，如果 V0,那么方程有兩個實(shí)數(shù)根，且這兩個實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)：如果 ，法0,那么方程沒有實(shí)數(shù)根。(3)因式分解法解高次方程解高于一次的方程，基本思想就是是“降次”，對有些高次方程，可以用因式分解的方法降 次。用因式分解的方法時要注意：一定要使方程的一邊為零，另一邊可以因式分解。例題解下列方程：(1) 2x5+7x=-4x=0(2) x-2=0解：(1)方程左邊因式分解，得x (2x*+7x-4) =0 x (x+4) (2x-l) =0得 x=0 或 x+4=0 或 2x-l=0，原方程的根是x=0, x=-4,

5、x=l 注意：不要漏掉x=0這個根! 2（2）方程左邊因式分解,得（xH） +（x-2）=0x3（x-2） + （x-2）=0（x-2） （xc+l）=O 即 工-2=0 或 x'+l=O解方程x-2=0得x=2 方程x=+l=0沒有實(shí)數(shù)根所以，原方程的根是 x=2二、可化為一元二次方程的分式方程的解法1.適宜用“去分母”的方法的分式方程解分式方程，通常是通過方程兩邊同乘以方程中各分式的最簡公分母，約去分母，化為整式 方程來解。解分式方程要注意驗(yàn)根！例題解下列方程4x-3x-45+=-x 5 12 x x" -17 + 60分析：本例是一道分式方程，通常采用去分母法。（1）首

6、先應(yīng)觀察各項(xiàng)分母，如能分解因式必須先分解因式，如本例x'T7x+60可分解因式 為（x-5） （x-12）.（2）分解因式后再找各分母的最小公倍式.如本例為“（x-5） （x-12）".（3）用此整式去乘方程的每一項(xiàng)，便可約去分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解.（4）最后應(yīng)檢驗(yàn)，至此例可找到本例完整解在去分母的過程中要注意兩點(diǎn)：（1）必須注意符號的變化規(guī)律（如本例"12-x”與“x-12” 的關(guān)系）：（2）用整式乘以方程的每一項(xiàng)，一項(xiàng)都不能漏.2.適宜用“換元法”的分式方程適宜用換元法的分式方程有兩種，一是二次項(xiàng)與一次項(xiàng)相同的，采取同底換元法：二是不看 系數(shù)，方程的

7、未知項(xiàng)呈倒數(shù)關(guān)系的，可采取倒數(shù)換元法，下面的例題中的兩個方程，分別具有這兩種特點(diǎn)。例題解下列方程：（上丫+5（上+ 6 =。：+ 2X）+二uVx + 1 Jkx + lj廠一1 廠+2工（1）分析：觀察方程（1）可發(fā)現(xiàn)二次項(xiàng)底數(shù)與一次項(xiàng)未知底數(shù)相同，因而，可考慮同底換 元法為宜.2）分析：觀察方程（2）可發(fā)現(xiàn)這個方程左邊兩個分式中的與一一1互為倒數(shù),X -1 廠 +2x根據(jù)這個特點(diǎn)，可以用倒數(shù)換元法來解.由此可以看出，解分式方程“轉(zhuǎn)化”為整式方程（一元一次方程或一元二次方程）用去 分母法是基礎(chǔ)方法，解分式方程應(yīng)首先考慮用基本方法求解，然后再根據(jù)分式方程特點(diǎn)，考 慮換元法，便可達(dá)到轉(zhuǎn)化的目的，

8、找到思路.對于解題過程的每一個步驟都不能疏忽，才能 正確求解.三、無理方程的解法 解無理方程的基本思路是把無理方程化為有理方程，通常采用“兩邊平方”的方法解。對有 些特殊的無理方程，可以用“換元法”解。解無理方程一定要驗(yàn)根！ 在初中階段，我們主要學(xué)習(xí)下面兩種無理方程的解法。1 .只有一個含未知數(shù)根式的無理方程當(dāng)方程中只有一個含未知數(shù)的二次根式時，可先把方程變形，使這個二次根式單獨(dú)在一邊: 然后方程的兩邊同時平方，將這個方程化為有理方程° 例題解下列方程：(1) 2>Jx 3 = x - 6(2) 3 !lx - 3 = x解：(1)兩邊平方，得 4 (x-3) =(x-6)s

9、整理，得 x：-16x+48=0 解這個方程，得x尸4, x：=12經(jīng)檢驗(yàn)，x=4是增根，舍去：工二12是原方程的根。所以，原方程的根是x=12(2)原方程可變形為3-x = J2X-3兩邊平方，得 (3-x)J2x-3整理，得 -8、+12=0解得xk2, xc=6經(jīng)檢驗(yàn)，工二2是原方程的根：工二6是增根，舍去。所以，原方程的根是x=22 .有兩個含未知數(shù)根式的無理方程當(dāng)方程中有兩個含未知數(shù)的二次根式時，可先把方程變形，使乙個二次根式單獨(dú)在一邊，另 外一個二次根式在方程的另一邊：然后方程的兩邊同時平方，將這個方程化為有理方程。例題解下列方程：(1) &-2-J2x + 1 =0(2)

10、 Jx + 2-V7 = 1解：(1)原方程可變形為、/工2-2 = J2x + 1兩邊平方,得 x'-2=2x+l整理，得 x'-2x-3=0解得xk-1,工二二3經(jīng)檢驗(yàn)，x=-1是增根，舍去；x=3是原方程的根。所以，原方程的根是工二33 .適宜用換元法解的無理方程如果無理方程中，二次根式里面的未知項(xiàng)和二次根式外面的未知項(xiàng)相同，可以使用換元法來 解C例題解方程 2jx> 2x + 4 =3, 一6x + 4練習(xí)1.在方程3x2-5 + JP=1 = °中，若設(shè)= ）',則原方程化為關(guān)于y的方程 是,答案：3丁2 + y - 2 = °2.當(dāng)

11、 m=x + in + 3 1 八+= 0時，關(guān)于x的分式方程尸一工一6 x + 2 沒有實(shí)數(shù)解.答案：4或-63 ,若關(guān)于x的方程萬工一而1二。有實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是答案：a2-2上,旦+ 5 = 04,用換元法解方程1V+ U x + 1時，可設(shè)=y,這時原方程變一,丁_6，+ 5 = 0為.答案：廠+15.方程°的根是； « ="的根是： 4 = 一”的根是,答案：0： 0和1； 06無理方程Jx? + 6 4 = x的根為± 6 ,則a的值為.答案：3 士行11 _ 2 ab 1 7若a, b都是正實(shí)數(shù)，且。b a + b 9則1一/

12、63;答案：8,若 a+b=l,且 a ： b=2 ： 5,則 2a-b=. 答案： 7x + a -=09,當(dāng)a=時，方程廠一工一2無實(shí)數(shù)根答案：-2, 1X + = y/S X- - =10.若 X ，則 x .答案：±211,下列方程中既不是分式方程，也不是無理方程的有（）aNx-1B.2 - J3 5x2 -3x- - = 0C. xx-5=xD. 3E yf2x + y/y = y5x + = 3x - 2F. 2答案：A1_2x12 .方程2*一3)2 3(a + 3)(x-3) %x-3)的最簡公分母是()A.24 (x+3) (x-3)B.(x+3)(x-3)2C.2

13、4 (x+3) (x-3)2D.I2 (x+3) (x-3)2 答案：D13 .觀察下列方程，經(jīng)分析判斷得知有實(shí)數(shù)根的是()a-B. +1C. x + 2廠2=oD. I答案：C16=014.如果廠,那么工的值是(A.lB.-lC.±iD.4答案：A15.方程2x-，4x + l=l的解是()A.OB.2CO或2±巫D. 2答案：B16.設(shè)y=x2+x+l,則方程A.y2-y-2=0C.y2+y-2=01C.a 2£D.AW2 答案：D，12尸+x+=廠+x可變形為(B.y2+y+2=0D.y2-y+2=0 答案：A17 .若+=1-2,則a的取值范圍是()A .全體實(shí)數(shù)B.aOU -V V= R + S 00)18 .已知 R S,則相等關(guān)系成立的式子是()用X1/=旦A.SUB.R + S昨旦V = IC.R - SD. SU 答案：B22X H=。d19 .關(guān)于x的方程x的根是（）A.x=aB.x=-a2C.X1=a： x2=-aD.Xj=a： x2= a答案：D20 .一個數(shù)和它的算術(shù)平方根的4倍相等，那么這個數(shù)是（）A.OB.16CO 或 16D.4 或 16 答案：Cx + 1 _ x + 521 . x6x-1 25. % 1 1一工 廠