《高等數(shù)學(xué)》(?？粕究?復(fù)習(xí)資料

1、高等數(shù)學(xué)（專科升本科）復(fù)習(xí)資料一、 復(fù)習(xí)參考書：全國各類?？破瘘c(diǎn)升本科教材高等數(shù)學(xué)（一）第3版 本書編寫組 高等教育出版社二、 復(fù)習(xí)內(nèi)容及方法：第一部分 函數(shù)、極限、連續(xù)復(fù)習(xí)內(nèi)容 函數(shù)的概念及其基本性質(zhì)，即單調(diào)性、奇偶性、周期性、有界性。數(shù)列的極限與函數(shù)的極限概念。收斂數(shù)列的基本性質(zhì)及函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則。數(shù)列極限的存在準(zhǔn)則與兩個重要的函數(shù)極限。無窮小量與無窮大量的概念及其基本性質(zhì)。常見的求極限的方法。連續(xù)函數(shù)的概念及基本初等函數(shù)的連續(xù)性。函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類與連續(xù)函數(shù)的基本運(yùn)算性質(zhì)，初等函數(shù)的連續(xù)性。閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)，即最值定理、介值定理與零點(diǎn)存在定理。復(fù)習(xí)要求會求函數(shù)的定義域與

2、判斷函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、有界性。掌握數(shù)列極限的計算方法與理解函數(shù)在某一點(diǎn)極限的概念，同時會利用恒等變形、四則運(yùn)算法則、兩個重要極限等常見方法計算函數(shù)的極限。掌握理解無窮小量與無窮大量的概念及相互關(guān)系，在求函數(shù)極限的時候能使用等價代換。理解函數(shù)連續(xù)性的定義，會求給定函數(shù)的連續(xù)區(qū)間及間斷點(diǎn)；能運(yùn)用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)證明一些基本的命題。重要結(jié)論1. 兩個奇（偶）函數(shù)之和仍為奇（偶）函數(shù)；兩個奇（偶）函數(shù)之積必為偶函數(shù)；奇函數(shù)與偶函數(shù)之積必為奇函數(shù)；奇（偶）函數(shù)的復(fù)合必為偶函數(shù)；2. 單調(diào)有界數(shù)列必有極限；3. 若一個數(shù)列收斂，則其任一個子列均收斂，但一個數(shù)列的子列收斂，該數(shù)列不一定收斂

3、；4. 若一個函數(shù)在某點(diǎn)的極限大于零，則一定存在該點(diǎn)的一個鄰域，函數(shù)在其上也大于零；5. 無窮小（大）量與無窮?。ù螅┝康某朔e還是無窮小（大）量，但無窮小量與無窮大量的乘積則有多種可能6. 初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)函數(shù)；7. 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必能取到最大值與最小值。重要公式1. 若則；。2. 兩個重要極限公式1）；2） ，。3. 在求極限的運(yùn)算中注意使用等價無窮小量的代換，常見的等價無窮小量代換有：當(dāng)時， 。第二部分 一元函數(shù)微積分復(fù)習(xí)內(nèi)容導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何、物理意義、基本求導(dǎo)公式與各種求導(dǎo)法則，微分的概念及計算，羅爾定理、拉格朗日中值定理，洛必達(dá)法則，函數(shù)增減性的判定，函數(shù)的極值與極值

4、點(diǎn)、最大值與最小值，函數(shù)的凹凸性及拐點(diǎn)，曲線的漸近線。復(fù)習(xí)要求理解導(dǎo)數(shù)的定義，同時掌握幾種等價定義，即；掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義，了解導(dǎo)數(shù)的物理意義；掌握連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系，即連續(xù)不一定可導(dǎo)，而可導(dǎo)一定連續(xù)；熟練掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式與導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)法則，掌握對數(shù)求導(dǎo)法與高階導(dǎo)數(shù)的求法；理解微分的定義，明確一個函數(shù)可微與可導(dǎo)的關(guān)系，即可微一定可導(dǎo)，反之一樣；熟練掌握微分的四則運(yùn)算和復(fù)合函數(shù)的微分；理解羅爾中值定理與拉格朗日中值定理，了解其幾何意義；能熟練運(yùn)用洛必達(dá)法則求極限，必須記住使用洛必達(dá)法則的條件，同時應(yīng)注意以下幾個問題：1.如果使用

5、洛必達(dá)法則后，問題仍然是未定型極限，且仍滿足洛必達(dá)法則的條件，則可再次使用洛必達(dá)法則，2.如果在“0/0”型或“”型極限中含有非零因子，該非零因子可以單獨(dú)求極限，不必參與洛必達(dá)法則運(yùn)算，以達(dá)到簡化運(yùn)算的目的，3.如果能進(jìn)行等價無窮小量代換或恒等變形配合使用洛必達(dá)法則，也可以達(dá)到簡化運(yùn)算的目的；會利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求已知曲線的切線方程與法線方程，會利用導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的增減性，熟練掌握函數(shù)的極值與最值的求法即需掌握以下步驟：1.求出函數(shù)的定義域，2.求出，并在函數(shù)的定義域內(nèi)求出導(dǎo)數(shù)等于零與導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)（駐點(diǎn)）3.判定駐點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號，4.如果駐點(diǎn)處函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)易求，可再次求導(dǎo)通過在該點(diǎn)的

6、符號來判斷極值，5.求最值時，只需求出所有的極值點(diǎn)與端點(diǎn)的值，最大（?。┱呒礊樽畲螅ㄐ。┲?；掌握判斷曲線的拐點(diǎn)、凹凸性的一般方法：1.求出該函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，并求出其二階導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)，2.同時求出二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，3.判定上述各點(diǎn)兩側(cè)，該函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)是否異號，如果在的兩側(cè)異號，則（）為曲線的拐點(diǎn)，4.在的的取值范圍內(nèi)，曲線是弧是下凹的，在的的取值范圍內(nèi)，曲線弧是上凸的.；了解漸近線的定義，并會求水平漸近線與鉛直漸近線，即，則為曲線的水平漸近線，若，則稱為曲線的鉛直漸近線；重要結(jié)論1. 如果函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在，則在幾何上表明曲線在點(diǎn)（）處存在切線，且切線的斜率為，且切線方程為，當(dāng)時，法線方程

7、為，2. 若函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，那么函數(shù)在點(diǎn)處必定連續(xù)，反之不一定；3. 函數(shù)在點(diǎn)可微的充分必要條件是在點(diǎn)處可導(dǎo)，且有；4. 羅爾定理：若函數(shù)滿足以下條件：1）在閉區(qū)間上連續(xù)，2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，3），則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得；5. 拉格郎日中值定理：若函數(shù)滿足以下條件：1）在閉區(qū)間上連續(xù)，2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得。重要公式1. 設(shè)與在點(diǎn)可導(dǎo)，則 ， 2. 設(shè)復(fù)合函數(shù)，若點(diǎn)處可導(dǎo)，在相應(yīng)的點(diǎn)可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且有鏈?zhǔn)椒▌t3. 設(shè)是由所確定，其中都為可導(dǎo)函數(shù)，且，則，4. 在求導(dǎo)數(shù)時，有時要注意對數(shù)求導(dǎo)法的應(yīng)用5. 洛必達(dá)公式：當(dāng)滿足一定條件時，有， 同時應(yīng)

8、注意可轉(zhuǎn)化為“0/0”型或“”型的極限第三部分 一元函數(shù)積分學(xué)復(fù)習(xí)內(nèi)容 不定積分的概念與性質(zhì)，不定積分的基本公式，積分第一換元法與第二換元法，分部積分公式與應(yīng)用分部積分公式時應(yīng)注意的一般原則，定積分的基本概念與基本性質(zhì)，牛頓-萊布尼茨公式，定積分的換元積分法與分部積分法，無窮區(qū)間上的廣義積分，求平面圖形的面積，求旋轉(zhuǎn)體體積。復(fù)習(xí)要求理解原函數(shù)與不定積分定義，了解不定積分的幾何意義與隱函數(shù)存在定理；熟練掌握不定積分的性質(zhì)與不定積分的基本公式，理解積分第一換元法，即設(shè)具有原函數(shù)存在連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，則有換元公式了解積分第二換元法；掌握分部積分公式，同時應(yīng)注意在使用時應(yīng)遵循的一般原則；理解定積分的定義與定

9、積分的幾何意義；熟練掌握定積分的性質(zhì)與牛頓-萊布尼茨公式；熟練運(yùn)用定積分的換元積分法與分部積分法；了解無窮區(qū)間上的廣義積分的求法；會用定積分的性質(zhì)求平面圖形的面積與旋轉(zhuǎn)體的體積。重要結(jié)論1. 若為在某區(qū)間上的一個原函數(shù)，則為的所有原函數(shù)，稱為的不定積分，記為；2. 定積分表示一個數(shù)值，它只取決于函數(shù)與積分區(qū)間，與積分變量無關(guān)，即；3. 如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則定積分必定存在；4. 以及軸所圍成的曲邊梯形的面積等于；5. 如果在區(qū)間上連續(xù)，則在上至少存在一點(diǎn)，使得；6. 如果在區(qū)間上連續(xù)，則積分上限函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且；7. 若是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，則。重要公式1. 先積分后求導(dǎo)，作用抵消，即先求

10、導(dǎo)后積分，相差一個常數(shù)，即2. 分部積分公式：3. 牛頓-萊布尼茨公式：1）如果在區(qū)間上連續(xù)，2）為在內(nèi)的一個原函數(shù)，則。4. 定積分的換元公式：設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，函數(shù)滿足以下條件：1）2）在上為單值、有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則有。第四部分 空間解析幾何復(fù)習(xí)內(nèi)容平面方程的基本概念、直線方程的基本概念，簡單的二次曲面。復(fù)習(xí)要求了解平面的點(diǎn)法式方程與一般式方程、了解特殊的平面方程、兩個平面之間的關(guān)系：垂直、平行、重合，會通過已知條件建立平面方程，掌握直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程與一般方程，了解直線之間的關(guān)系以及直線與平面之間的關(guān)系，會根據(jù)已知條件建立直線方程，了解常見的二次曲面，即柱面方程、球面方程、橢球面方程、錐面

11、方程、旋轉(zhuǎn)拋物面方程.重要結(jié)論1. 設(shè)有平面平面與相互垂直的充分必要條件是，平面與平行的充分必要條件是，平面與重合的充分必要條件是，2. 建立平面方程常用平面點(diǎn)法式：1） 過點(diǎn)作平行于的平面方程，取及即可，2） 過點(diǎn)作垂直于向量的平面方程，只需取平面法線向量及點(diǎn)即可，3） 過點(diǎn)，作平面方程，利用平面的一般式方程，設(shè)所求的平面為，將已給的三點(diǎn)的坐標(biāo)代入平面方程，可以得到一個以為未知量的方程組，求出即可，3. 設(shè)有直線 直線與平行的充分必要條件為， 直線與垂直的充分必要條件為，4. 設(shè)直線與平面的方程為1） 直線與平面垂直的充分必要條件是2） 直線與平面平行的充分必要條件是3） 直線落在平面上的充

12、分必要條件是5. 建立直線方程，常用直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程，只需確定直線上的一點(diǎn)及直線的方向向量，即1） 作過點(diǎn)，且垂直與平面的直線方程，取及方向向量即可，2） 作過點(diǎn)，的直線方程，取=及方向向量即可第五部分 多元函數(shù)微積分學(xué)復(fù)習(xí)內(nèi)容二元函數(shù)的概念及幾何意義，多元函數(shù)的概念，二元函數(shù)的極限與連續(xù)性以及連續(xù)性的基本性質(zhì)，偏導(dǎo)數(shù)的定義，全微分的概念與基本性質(zhì)，二階偏導(dǎo)數(shù)，復(fù)合函數(shù)微分法、隱函數(shù)微分法，二元函數(shù)的極值與條件極值，二重積分的概念與基本性質(zhì)，直角坐標(biāo)系下二重積分的計算、極坐標(biāo)系下二重積分的計算，二重積分的應(yīng)用。復(fù)習(xí)要求了解二元函數(shù)的定義，會求二元函數(shù)的定義域，掌握二元函數(shù)的連續(xù)性與連續(xù)的基本性

13、質(zhì)；理解二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義；掌握全微分的定義極其存在的基本性質(zhì)，會求二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)與復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t。理解隱函數(shù)微分法；熟練掌握二元函數(shù)極值的求法，了解二元函數(shù)的條件極值；理解二重積分的概念，掌握二重積分的基本性質(zhì)，熟練掌握在直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系下二重積分的計算問題；了解二重積分的應(yīng)用重要結(jié)論1. 有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，在區(qū)域上必能取得最大值與最小值，2. 有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，在區(qū)域上必能取得介于最大值與最小值之間的任何值，3. 如果在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)為連續(xù)函數(shù)則在點(diǎn)處可微分，且，4. 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個鄰域內(nèi)具有連續(xù)的一階和二階偏導(dǎo)數(shù)，又記，則（1）當(dāng)時，在點(diǎn)處取得極值，

14、且當(dāng)時，取得極大值，時取得極小值；（2）當(dāng)時，不是極值點(diǎn)；（3）當(dāng)，點(diǎn)是否為極值點(diǎn)需進(jìn)一步判定。5. 在D上若，且D的面積為，則有，重要公式1. 鏈?zhǔn)椒▌t：設(shè)，在一定條件下，有，2. 一元隱函數(shù)求導(dǎo)：設(shè)對存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，則由確定的函數(shù)對的導(dǎo)數(shù)為，3. 二元隱函數(shù)求導(dǎo)：設(shè)，其中為的二元函數(shù)，對存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，則，4. 直角坐標(biāo)系下二重積分的計算：1）若，則，2）若，則3） 若，則，5. 極坐標(biāo)系下二重積分的計算：1）若，則=。2） 若極點(diǎn)O在區(qū)域D的邊界上，積分區(qū)域可表為，則。3） 若極點(diǎn)O在區(qū)域D的內(nèi)部，積分區(qū)域可表為，則二重積分可化為第六部分 無窮級數(shù)復(fù)習(xí)內(nèi)容數(shù)項級數(shù)的概念，級數(shù)的收

15、斂與發(fā)散，級數(shù)的基本性質(zhì)，級數(shù)收斂的必要條件，正項級數(shù)收斂性的判別法與任意項級數(shù)收斂性的判別法；冪級數(shù)的概念與基本性質(zhì)。復(fù)習(xí)要求理解級數(shù)收斂、發(fā)散的概念，掌握級數(shù)收斂的必要條件，了解級數(shù)的基本性質(zhì)，會熟練使用比較判別法與比值判別法判別正項級數(shù)的收斂性，掌握幾何級數(shù)、調(diào)和級數(shù)、與級數(shù)的收斂性，了解級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念，會使用萊布尼茨判別法。了解冪級數(shù)的概念及在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)，會求冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間，會利用常見函數(shù)的麥克勞林公式，將一些簡單的初等函數(shù)展開為冪級數(shù)。重要結(jié)論1. 在一個級數(shù)的前面去掉或添加有限項，不改變級數(shù)的收斂性，2. 若收斂，則必有，但反之不一定，3. 冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項積分（求導(dǎo)），且積分（求導(dǎo)）后所得到的冪級數(shù)的收斂半徑不變重要公式1. 三個常用的標(biāo)準(zhǔn)級數(shù)：1），2）發(fā)散（調(diào)和級數(shù)），3）級數(shù)2. 比值判別法：設(shè)為正項級數(shù)，且，則1）當(dāng)時，收斂，2）當(dāng)時，發(fā)散，3）當(dāng)時，收斂性需進(jìn)一步判定，3. 收斂半徑的求法：設(shè)冪級數(shù)的系數(shù)有，則1）當(dāng)時，有，2）當(dāng)時，定義，3）當(dāng)，定義，第七部分 常微分方程復(fù)習(xí)內(nèi)容微分方程的定義，初始條件，特解，可分離變量的方程，一階線性方程；二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)，二階常系數(shù)齊次線性微分方程，二階常系數(shù)非齊次線性