線性方程組的有關(guān)理論

1、線性方程組的有關(guān)理論線性方程組有很多情形，大致可以分為齊次線性方程組和非齊次線性方程組，還可以分為方程變量的個數(shù)與方程組中方程的個數(shù)相等和不相等。不論是什么情形，線性方程組，是否存在解及解的個數(shù)是有限還是無窮，完全決定于線性方程組系數(shù)矩陣的秩是否等于其增廣矩陣的秩，相等則存在解，否則方程組無解。如果方程組存在解，并且系數(shù)矩陣的秩等于方程變量的個數(shù)，那么方程組只有唯一解；如果方程組有解，并且系數(shù)矩陣的秩小于方程變量的個數(shù)，那么方程組就有無窮多解。顯然齊次線性方程組至少有零解。在平面中，線性方程組與直線方程緊密相關(guān)；非線性方程組與直線和二次曲線相關(guān)；在三維空間中，線性方程組與直線和平面方程緊密相關(guān)

2、；非線性方程組與曲面方程相關(guān)。圖形計算器主要是通過矩陣的形式來處理方程組。下面我們來看幾個問題。問題1判斷m為何值時，方程組有解。(1)；(2)分析：代數(shù)上講，首先要分析的是線性方程組的系數(shù)矩陣的秩，或是系數(shù)行列式的值。設(shè)，具體運算過程參見圖例 (圖6圖6從圖中我們當時，線性方程組(1)的系數(shù)矩陣的秩等于2，(1)在此時有唯一解(圖根據(jù)計算得到方程組(1)無解。因此結(jié)論就是當時，方程組有唯一解。對于方程(2)的情形：，方程組有唯一解，過程如下圖例。(圖6圖(圖圖幾何上分析：可以把方程組的兩個方程分別看成兩條直線，直線相交對應(yīng)方程組有唯一解；直線平行對應(yīng)方程組無解；直線重合對應(yīng)方程組有無窮多解。

3、令a=1，m，b=m，-m，那么a、b分別是兩條直線的方向向量。，兩條直線相交，方程組有唯一解。用向量的叉積來作出判斷。過程如下圖例。(圖6因此當時，方程組有唯一解。當m=0時，方程組(1)的兩個方程，分別是直線方程與無解方程。時，m=-1，對應(yīng)兩條直線平行而不重合，方程組無解。方程組(2)同理可以分析。問題2分析方程組解的結(jié)構(gòu)。分析把系數(shù)矩陣設(shè)為a，把增廣矩陣設(shè)為a1，常數(shù)項列陣設(shè)為b。用APPS6NewMatrix建立新的矩陣或者直接輸入。首先判斷系數(shù)矩陣a的行列式的值。當方程組有唯一解。參見圖6。解方程命令按F2中的1，不等號從2ndCATALOG中找到。(圖6圖6(圖6圖6給出了方程組的唯一解。當求增廣矩陣a1的最簡行階梯矩陣，按2ndMATH44，或者直接輸入rref。(圖6圖6我們得到當時，方程組有無窮多解當時，方程組系數(shù)矩陣a的秩等于2，增廣矩陣a1的秩等于3，所以原方程組無解。評價與反思：從以上兩個問題，我們看到如果方程組的系數(shù)矩陣的階數(shù)越大，就越能顯示圖形計算器的功能。我們在這種情況下，就擺脫了繁瑣的復(fù)雜計算，轉(zhuǎn)而有精力來分析更深入的數(shù)學，有時間來學習和領(lǐng)會