人口增長模型

1、姓名：段釗芬 學(xué)號：2014041040姓名：陶曉文 學(xué)號：2014041052姓名：張莎 學(xué)號：2014041069 專業(yè)：統(tǒng)計學(xué)A 題：中國人口增長預(yù)測 中國是一個人口大國，人口問題始終是制約我國發(fā)展的關(guān)鍵因素之一。根據(jù) 已有數(shù)據(jù)，運用數(shù)學(xué)建模的方法，對中國人口做出分析和預(yù)測是一個重要問題。 近年來中國的人口發(fā)展出現(xiàn)了一些新的特點，例如，老齡化進(jìn)程加速、出生 人口性別比持續(xù)升高，以及鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化等因素，這些都影響著中國人口的增 長。2007 年初發(fā)布的國家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究報告(附錄 1) 還做出了進(jìn)一步 的分析。 關(guān)于中國人口問題已有多方面的研究，并積累了大量數(shù)據(jù)資料。附錄 2 就是 從

2、中國人口統(tǒng)計年鑒上收集到的部分?jǐn)?shù)據(jù)。 試從中國的實際情況和人口增長的上述特點出發(fā)，參考附錄 2 中的相關(guān)數(shù)據(jù) （也可以搜索相關(guān)文獻(xiàn)和補充新的數(shù)據(jù)），建立中國人口增長的數(shù)學(xué)模型，并由 此對中國人口增長的中短期和長期趨勢做出預(yù)測；特別要指出你們模型中的優(yōu)點 與不足之處。 附錄 1 國家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究報告 附錄 2 人口數(shù)據(jù)（中國人口統(tǒng)計年鑒中的部分?jǐn)?shù)據(jù)一：摘要本文針對我國的人口特點，引入控制理論中的Z-傳遞矩陣(即LESLIA矩陣)來模擬系統(tǒng)的反饋控制作用，根據(jù)以上特點對人口增長率的影響建立一個閉環(huán)控制模型。首先，我們根據(jù)所給數(shù)據(jù)建立了三個反映上述特點的子模型，對于城鎮(zhèn)化過程，我們利用logis

3、tic曲線建立了一個城鎮(zhèn)化模型用以預(yù)測城鎮(zhèn)化水平，對于出生嬰兒的性別差異，我們假設(shè)我國進(jìn)入中等發(fā)達(dá)國家后，基本不會再有嬰兒性別選則，即嬰兒性別比恢復(fù)自然值，并擬和了嬰兒性別比發(fā)展規(guī)律；最后為了預(yù)測老齡化的過程，我們中將人口分為若干段，各段人口構(gòu)成了一個向量，這個向量在LESLIE控制矩陣的傳遞作用下發(fā)生變動并最終達(dá)到向量成員間的比例平衡，并由此可以得到反映人口結(jié)構(gòu)的老齡化系數(shù)，社會撫養(yǎng)比及適齡勞動人口比，最后為了提高LESLIE控制調(diào)節(jié)的靈敏度，我們進(jìn)一步對模型進(jìn)行了改進(jìn)即揉和進(jìn)上述特點以后，LESLIE矩陣成為一個可以隨時間可以自動改變的智能矩陣，這樣預(yù)測出的結(jié)果更加準(zhǔn)確，人口系統(tǒng)最終能達(dá)到

4、平衡。 最后對模型的優(yōu)缺點進(jìn)行評價，指出了人口預(yù)測模型中的不足，并提出了更合理預(yù)測中國人口增長的建議。關(guān)鍵詞：反饋控制   邏輯斯蒂曲線  中國人口增長  生育率  男女性別比 二：問題的重述中國是世界上人口最多的發(fā)展中國家.在科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)力飛速發(fā)展的同時，人口問題始終是制約我國發(fā)展的關(guān)鍵因素之一.因此，中國政府堅持不懈地在全國范圍推行計劃生育基本國策，鼓勵晚婚晚育. 經(jīng)過30年的艱苦努力，中國在經(jīng)濟(jì)還不發(fā)達(dá)的情況下，有效地控制了人口過快增長，有力地促進(jìn)了中國綜合國力的提高

5、、社會的進(jìn)步和人民生活的改善. 近年來，中國的人口發(fā)展出現(xiàn)了一些新的特點影響著中國人口的增長.例如，人口老齡化進(jìn)程加速、出生人口性別比持續(xù)升高，以及鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化等，2007年初發(fā)布的國家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究報告（附錄1）做出了進(jìn)一布的分析.附錄2是從中國人口統(tǒng)計年鑒上收集到的關(guān)于中國人口問題的部分?jǐn)?shù)據(jù).關(guān)于中國人口問題已有多方面的研究,由于其已嚴(yán)重制約了中國經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,所以對中國人口做出分析和預(yù)測始終是一個重要問題.下面考慮兩個問題：（1）利用附錄2中有關(guān)數(shù)據(jù)(也可以搜索相關(guān)文獻(xiàn)和補充新的數(shù)據(jù)),從中國的實際情況和人口增長的上述特點出發(fā)，建立中國人口增長的數(shù)學(xué)模型;（2）利用所求模型對

6、中國人口增長的中短期和長期趨勢做出預(yù)測，并指出模型中的優(yōu)缺點.三: 問題的分析  我們首先對現(xiàn)有數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。從擬和得到的圖形發(fā)現(xiàn)我國城鎮(zhèn)化的過程與物種生長曲線極其類似，這可以了解為物種生長過程與城鎮(zhèn)化同樣大致經(jīng)歷三個過程，即緩慢增長期，快速增長期，飽和期，我們可以利用logistic曲線來模擬。在擬和出生嬰兒性別差異時，我們按照實際情況假設(shè)1950年以前嬰兒性別比為自比指標(biāo)比例。并且假設(shè)我國進(jìn)入中等發(fā)達(dá)國家后，基本不會再有嬰兒性別選則。即嬰兒性別比恢復(fù)自然值。并使用了這些數(shù)據(jù)擬和了符合實際情況的嬰兒性別比規(guī)律。為了反映老齡化的影響，我們中將人口分為若干段，各段人口構(gòu)成一個

7、向量，這個向量在LESLIE控制矩陣的作用下發(fā)生變動并最終達(dá)到向量成員間的比例平衡。然后考慮到我國人口增長的特點，即老齡化進(jìn)程加速、出生人口性別比持續(xù)升高，以及鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化等，這些因素通過影響出生率和死亡率中而最終影響人口的增長?？紤]到海外人口所占比例很小，根據(jù)自動控制的原理，我們可以根據(jù)以上因素對人口增長率的影響建立一個閉環(huán)控制模型，假設(shè)我國人口系統(tǒng)是 一個能控制且穩(wěn)定系統(tǒng)，即從長期來看我國人口各項指標(biāo)將達(dá)到穩(wěn)定，并引入控制理論中的Z-傳遞矩陣(即LESLIA矩陣)來模擬系統(tǒng)的反饋控制作用。四：模型假設(shè)及符號規(guī)定1. 模型的假設(shè)(1）為方便計算，記2001年為第1年； 

8、   （2）表中數(shù)據(jù)客觀真實，具有可靠性； （3）各個年齡的城市鄉(xiāng)鎮(zhèn)人口比，性別比均與整體的相應(yīng)比例一致；    （4）假設(shè)中國人口是一個封閉的系統(tǒng)，沒有人口的遷入與遷出；    （5）假設(shè)在沒有政策性變化時（如限制生育年齡，或允許多育），育齡婦女的生育率關(guān)于年齡的相對分布是穩(wěn)定的；    （6）假設(shè)在未來的很長一段時間內(nèi)，醫(yī)學(xué)上沒有大的革命，死亡率的變化將很小，我們認(rèn)為其不變.2. 符號規(guī)定(0)：初始時刻第i個年齡組的女性的人數(shù)；(

9、t) ：第i個年齡組的女性在時刻t的人數(shù), t=0,1,2,; = : 第i年不同類型人的生育率的權(quán)值； : 第i年齡組中平均每人每年生育并生存下來的人數(shù)； : 在時間t時年齡為i的人的死亡率； : 第i年齡組中到1+t時生存下來并進(jìn)入1+i年齡組的人的比例i=0,1,2,；:第j年的第k種類型的婦女人口(k=1,2,3分別代表城市、鎮(zhèn)、農(nóng)村的婦女)。=LL 五：模型的建立與求解1. 城鎮(zhèn)化模型  對于鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化問題，我們通過城鎮(zhèn)人口占總?cè)丝诘谋嚷暑A(yù)測城鎮(zhèn)人口比率，從而得到城鎮(zhèn)化的規(guī)律。對于城鎮(zhèn)人口比例趨勢，我們使用曲線來擬合預(yù)測。假設(shè)城鎮(zhèn)人口的比例為，為關(guān)于

10、時間t的函數(shù)，根據(jù)logistic模型，有城鎮(zhèn)人口比率增長的速度與成比例。這里的，K為城鎮(zhèn)人口能夠達(dá)到的比例上限。當(dāng)很小時，差不多近似等于1，所以城鎮(zhèn)人口比例的增長速度與成比例的連續(xù)增長，但是，當(dāng)大于0.5K時，小于0.5，城鎮(zhèn)人口比例增長速度逐漸減慢。根據(jù)以上的假定，城鎮(zhèn)人口比例增長的速度為  (為比例常數(shù))解微分方程得：（m為常數(shù)）利用已知數(shù)據(jù)用Origin軟件擬合函數(shù)，得到K =0.71175=,=m=1.01625，=r=0.10623,  分布檢驗值為0.00007c，中國城市人口可以達(dá)到的比例上限為：=K=0.71175，與其他機(jī)構(gòu)預(yù)測的值接近并符合真實情況。因

11、此我們認(rèn)為我們擬合的函數(shù)很好的反應(yīng)了真實情況。則有  城市人口比例預(yù)測值年份 2006 2007 2008 2009 2010城市人口比例 0.462997 0.479901 0.49619 0.511812 0.526724年份 2011 2012 2013 2014 2015 城市人口比例 0.540895 0.554305 0.566945 0.578813 0.5899

12、17年份 2016 2017 2018 2019 2020 城市人口比例 0.600272 0.6099 0.618824 0.627075 0.634685年份 2021 2022 2023 20242025城市人口比例 0.641687 0.6481170.65401 0.659401 0.664325 年份 2026 2027 2028 2029

13、60;2030 城市人口比例 0.668817 0.672907 0.676629 0.680011 0.683081 年份 2031 2032 2033 2034 2035 城市人口比例 0.685865 0.688388 0.690673 0.69274 0.69461年份 2036 2037 2038 2039 2040 城市人口比例 0.6

14、963 0.697826 0.699205 0.700449 0.701572 年份 2041 2042 2043 2044 2045 城市人口比例 0.702584 0.703497 0.70432 0.705062 0.705731 年份 2046 2047 2048 2049 2050 城市人口比例 0.706333 0.706875

15、0;0.707363 0.707803 0.708199年份 2051 2052 2053 20542055 城市人口比例 0.708555 0.708876 0.709164 0.709424 0.709658年份 2056 2057 2058 2059 2060 城市人口比例 0.709868 0.710057 0.710227 0.710381 0.710518

16、 年份 20612062 2063 2064 2065 城市人口比例 0.710642 0.710754 0.710854 0.710944 0.711025 年份 2066 2067 2068 2069 2070 城市人口比例 0.711098 0.711164 0.711223 0.711276 0.711324 年份 2071 20

17、72 2073 2074 2075 城市人口比例 0.711367 0.711405 0.71144 0.711471 0.711499 2. 出生嬰兒性別比例預(yù)測模型   自然條件下出生的嬰兒性別比為107：100，將這個嬰兒出生比例作為正常值。假設(shè)在1950年以前，由于技術(shù)等原因，無法選擇嬰兒性別，那時的嬰兒出生性別比為自然比例，即107：100。到2050年，我國進(jìn)入中等發(fā)達(dá)國家，人的素質(zhì)會有很大提高，同時法律也將更加健全。這時幾乎可以排除嬰兒性別選擇，認(rèn)為性

18、別比例重新回到自然比例。我們將假設(shè)的19001950年的嬰兒性別比例和20502100年的性別比例與題目所給的19942005年的嬰兒性別比作為已知值，擬合嬰兒性別比例變化曲線，得到嬰兒比例的規(guī)律，預(yù)測未來的嬰兒性別比。        由于嬰兒比例函數(shù)兩端都有極限，中間取極大值 ，所以我們選擇符合規(guī)律的函數(shù)： (Y=y)分別按照城市、鎮(zhèn)和鄉(xiāng)村來擬合，其中城市嬰兒男女比例比與年份的擬合曲線如圖  其中， =107 ,=2004,w=23.52,A=7.52。 值為1.2798；

19、值為0.860813女性人口與總?cè)丝诘年P(guān)系模型   我們以第五次人口普查（2000年）的男女比例106：100為基準(zhǔn)值，女性人口與總?cè)丝诘年P(guān)系為                            通過對男女嬰兒性別比 (t為時間)加權(quán)反饋調(diào)節(jié)，預(yù)測人口，我們以人均壽命的一半為影響半徑，

20、人均壽命簡化計算為70歲。定義權(quán)值Pt為在影響半徑內(nèi)出生的嬰兒性別比高出正常值的差值，即                       因此，得到總?cè)丝趹?yīng)為 3. 基于人口結(jié)構(gòu)的單性模型  模型主要考慮女性人口數(shù)，鑒于男女人口數(shù)有一定的比值（可以預(yù)測出來），則女性人口可以得知總?cè)丝跀?shù)，將女性按年齡順序分為若干組，假設(shè)每一組的婦女有相同的生育率和死亡率，并且假設(shè)

21、最大壽命為90歲（90歲以上按90歲計算）。此模型可以用遞推的方式預(yù)測個年齡組的人數(shù)，進(jìn)而對人口總量及其年齡結(jié)構(gòu)進(jìn)行預(yù)測，由于人群中只有1549歲的婦女有生育能力，而最大壽命為90歲，則矩陣中i=15，h=49,m=89,=顯然有             下面就需要確定動態(tài)矩陣的表達(dá)式，即確定向量.,(1)b（1）的確定 我們把某個時間的婦女的生育年齡分布同時看作一個婦女一生中生育孩子數(shù)的分布， 于是某個時點的綜合生育率等于一個婦女一生中生育的孩

22、子數(shù)。統(tǒng)計觀察城市和農(nóng)村婦女人口的生育的年齡結(jié)構(gòu)，我們發(fā)現(xiàn)兩者有很大的不同（這里僅拿2004年作為參考）。    通過Excel軟件統(tǒng)計計算出歷年的城市鄉(xiāng)鎮(zhèn)的女性人口比例，進(jìn)而確定不同人類的生育率的權(quán)值l，其中我們認(rèn)為，從而可加權(quán)平均統(tǒng)計出2004年的城鎮(zhèn)、鄉(xiāng)村育齡婦女的生育率，如圖5-4所示。   其中橫坐標(biāo)中的值0表示年齡為15歲的女孩，以此類推各值均加上15表示相應(yīng)的年齡段的婦女生育率（下同）。 從圖中可發(fā)現(xiàn)：鄉(xiāng)村婦女的綜合生育率明顯高于城鎮(zhèn)婦女，同時他們的生育高峰也比城市婦女早一些，且計劃生育政策及執(zhí)行情況也有很大的

23、不同，所以本文中將把這兩種情況分開討論，則式(1)可化為 用同樣的方法，可以分別得到2001-2005年城鎮(zhèn)、鄉(xiāng)村婦女的年齡分布如圖5-5和圖5-6所示。  從圖5-25-3中我們知道，在不同的時間城鎮(zhèn)婦女的育齡年齡分布曲線驚人的類似，鄉(xiāng)村婦女亦然。利用Orign軟件中的Lognormal函數(shù)，分別對城鎮(zhèn)婦女育齡年齡分布曲線與鄉(xiāng)村育齡年齡分布曲線進(jìn)行回歸分析，得到回歸方程的關(guān)于t的函數(shù)，即 其中 將各年齡值代入即可求得。(2) 的確定 易知，則可以通過求得間接求得。 同上面一樣，我們先作圖觀察2001-2005年的個年齡段婦女的死亡率

24、，從而利用Orign軟件進(jìn)行回歸分析。即得到，則有綜合(1)(2)可以求得矩陣關(guān)于t的函數(shù)，即    代入（4）式，由于數(shù)據(jù)龐大，在這我們只利用MATLAMB軟件求解取5個年為一個年齡段進(jìn)行計算，結(jié)果如圖5-5所示。 從預(yù)測表中可以看出，近期來看人口仍然會繼續(xù)增長，而女性人口比卻保持長期穩(wěn)定。從長期來看，人口將在2060年前后達(dá)到峰值，而后將穩(wěn)定向來保持在一定水平（約15億人口）六：模型的評價  模型的優(yōu)點：   （1）本模型很好的體現(xiàn)了中國人口的特點，考慮到了城市化，出生性別比，人口老齡化對人口增長的特點。而且從預(yù)測女性人口入手，使求解很大的簡化，并使各種影響因素更好的結(jié)合。     （