知識(shí)學(xué)習(xí)進(jìn)修2-1知識(shí)情況總結(jié)

1、選修2-1知識(shí)點(diǎn)小結(jié)第一章常用邏輯用語(i)命題命題：可以判斷真假的語句叫命題；邏輯聯(lián)結(jié)詞：“或” “且” “非”這些詞就叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞；簡單命題：不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題。復(fù)合命題：由簡單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題。常用小寫的拉丁字母 p , q , r, s, 表示命題，故復(fù)合命題有三種形式：p或q ; p且q ;非p。(2 )復(fù)合命題的真值“非p”形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示:p非p真假假真p且q”形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示:pqp且q真真真真假假假真假假假假p且q”形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示:pqP或q真真真真假真假真真假假假注：1 °像上面表示命題真假的表叫真值

2、表；2。由真值表得：“非p ”形式復(fù)合命題的真假與 p的真假相反；“ p且q形式復(fù)合命題當(dāng)p與q同為真時(shí)為真，其他情況為假；“ p或q”形式復(fù)合命題當(dāng)p與q同為假時(shí)為假，其他情況為真；3。真值表是根據(jù)簡單命題的真假，判斷由這些簡單命題構(gòu)成的復(fù)合命題的真假，而不涉及簡單命題的具體內(nèi)容。（3 ）四種命題如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，且第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互 為逆命題；如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是原命題的條件和結(jié)論的否定，那么這兩個(gè)命題叫做互否命題，這個(gè)命題叫做原 命題的否命題；如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是原命題的結(jié)論和條件的否定，那么這兩個(gè)命題叫做互

3、為逆否命題，這個(gè)命題叫 做原命題的逆否命題。兩個(gè)互為逆否命題的真假是相同的，即兩個(gè)互為逆否命題是等價(jià)命題若判斷一個(gè)命題的真假較困難時(shí)，可轉(zhuǎn)化為判斷其逆否命題的真假。（4）條件一般地，如果已知 p q，那么就說：p是q的充分條件；q是p的必要條件?？煞譃樗念悾海? ）充分不必要條件，即 p q,而q p ； （2）必要不充分條件，即 p q,而q p ； （3）既充分又必 要條件，即p q，又有q p ；既不充分也不必要條件，即 p q，又有q p。一般地，如果既有 p q，又有q p，就記作：p q. “”叫做等價(jià)符號(hào)。p q表示p q且q p。這時(shí)p既是q的充分條件，又是 q的必要條件，則p

4、是q的充分必要條件，簡稱充要條件。（5）全稱命題與特稱命題這里，短語“所有”在陳述中表示所述事物的全體，邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)表示。含有全體量詞的命題，叫做全稱命題。短語“有一個(gè)”或“有些”或“至少有一個(gè)”在陳述中表示所述事物的個(gè)體或部分，邏輯中通常叫做存在量詞， 并用符號(hào)表示，含有存在量詞的命題，叫做存在性命題。注意：1. 一個(gè)語句是否為命題，關(guān)鍵要看能否判斷真假，陳述句、反詰問句都是命題，而祁使句、疑問句、感嘆句都不是命題；2. 判斷命題的真假要以真值表為依據(jù)。 原命題與其逆否命題是等價(jià)命題 ，逆命題與其否命題是等價(jià) 命題，一真俱真，一假俱假，當(dāng)一個(gè)命題的真假不易判斷時(shí)，可考慮判

5、斷其等價(jià)命題的真假；3. 判斷命題充要條件的三種方法：（1 ）定義法；（2）利用集合間的包含關(guān)系判斷，若 A B，則A 是B的充分條件或B是A的必要條件；若A=B，則A是B的充要條件；（3）等價(jià)法：即利用等價(jià) 關(guān)系"A B B A"判斷，對于條件或結(jié)論是不等關(guān)系（或否定式）的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法；第二章圓錐曲線與方程曲線方程(1)求曲線(圖形)方程的方法及其具體步驟如下:步驟含義說明1、“建”：建立坐標(biāo)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)(1)所研究的問題已給出坐標(biāo)系，即可直接設(shè)點(diǎn)。系；“設(shè)”：設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐系，用(x,y)表示曲線上任(2)沒有給出坐標(biāo)系，首先要選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。O 標(biāo)意一點(diǎn)M的

6、坐標(biāo)。2、現(xiàn)(限)：由限制條寫出適合條件P的點(diǎn)M這是求曲線方程的重要一步，應(yīng)仔細(xì)分析題意，使件，列出幾何等式。的集合 P=M|P(M)寫出的條件簡明正確。3、“代”：代換用坐標(biāo)法表示條件常常用到一些公式。P(M), 列出方程f(x,y)=04、“化”：化簡化方程f(x,y)-0 為最簡要注意同解變形。形式。5、證明證明化簡以后的方程的化簡的過程若是方程的同解變形，可以不要證明，解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線變形過程中產(chǎn)生不增根或失根，應(yīng)在所得方程中刪上的點(diǎn)。去或補(bǔ)上(即要注意方程變量的取值范圍)。這五個(gè)步驟(不包括證明)可濃縮為五字“口訣”：建設(shè)現(xiàn)(限)代化”(2 )求曲線方程的常見方法：直接法：也叫“

7、五步法”，即按照求曲線方程的五個(gè)步驟來求解。這是求曲線方程的基本方法。轉(zhuǎn)移代入法：這個(gè)方法又叫相關(guān)點(diǎn)法或坐標(biāo)代換法。即利用動(dòng)點(diǎn)是定曲線上的動(dòng)點(diǎn)，另一動(dòng)點(diǎn)依賴于它，那么可尋求它們坐標(biāo)之間的關(guān)系，然后代入定曲線的方程進(jìn)行求解。幾何法：就是根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)而得到軌跡方程的方法。參數(shù)法：根據(jù)題中給定的軌跡條件，用一個(gè)參數(shù)來分別動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，間接地把坐標(biāo)x,y聯(lián)系起來，得到用參數(shù)表示的方程。如果消去參數(shù)，就可以得到軌跡的普通方程。待定系數(shù)法2 圓錐曲線綜合問題(1 )圓錐曲線中的最值問題、范圍問題通常有兩類：一類是有關(guān)長度和面積的最值問題；一類是圓錐曲線中有關(guān)的幾何元素的最值問題。這些問題往往 通過定義

8、，結(jié)合幾何知識(shí)，建立目標(biāo)函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)或不等式知識(shí)，以及觀形、設(shè)參、轉(zhuǎn)化、替換等途徑來解 決。解題時(shí)要注意函數(shù)思想的運(yùn)用，要注意觀察、分析圖形的特征，將形和數(shù)結(jié)合起來。圓錐曲線的弦長求法：設(shè)圓錐曲線 C : f(x，y)=0與直線I ：y = kx+b相交于A(x1，y1)、B(x?，y2)兩點(diǎn)，則弦長|AB|為：(1)|AB |= J + T耳i -衍 |= Jl 十以 J(的 +衍 F -或辱屮_存 E _衍彳】十+ *+ 一幻旳若弦AB過圓錐曲線的焦點(diǎn) F,則可用焦半徑求弦長，|AB|=| AF|+| BF|.在解析幾何中求最值，關(guān)鍵是建立所求量關(guān)于自變量的函數(shù)關(guān)系，再利用代數(shù)方法

9、求出相應(yīng)的最值注意點(diǎn)是要 考慮曲線上點(diǎn)坐標(biāo)(x, y)的取值范圍。(2 )對稱、存在性問題，與圓錐曲線有關(guān)的證明問題它涉及到線段相等、角相等、直線平行、垂直的證明方法，以及定點(diǎn)、定值問題的判斷方法。(3 )實(shí)際應(yīng)用題數(shù)學(xué)應(yīng)用題是高考中必考的題型，隨著高考改革的深入，同時(shí)課本上也出現(xiàn)了許多與圓錐曲線相關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問題，如橋梁的設(shè)計(jì)、探照燈反光鏡的設(shè)計(jì)、聲音探測，以及行星、人造衛(wèi)星、彗星運(yùn)行軌道的計(jì)算等。涉及與圓錐曲線有關(guān)的應(yīng)用問題的解決關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，合理選擇曲線模型，然后轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題作出定量或定性分析與判斷，解題的一般思想是：(4 )知識(shí)交匯題圓錐曲線經(jīng)常和數(shù)列、三角、平面向量、不等

10、式、推理知識(shí)結(jié)合到一塊出現(xiàn)部分有較強(qiáng)區(qū)分度的綜合題。2 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1 .點(diǎn)M(xO, y0)與圓錐曲線C: f(x , y)=0的位置關(guān)系曲線條件結(jié)論圓點(diǎn)在曲第上ab點(diǎn)在曲線外1陌冋碼|£缶哮點(diǎn)在曲線內(nèi)曲|171|-|1|= 2a 冷_ 養(yǎng)_ =點(diǎn)在曲錢上點(diǎn)在曲魏外> 21 駕一獸1點(diǎn)在曲線內(nèi)拋物線|MF|-d鄧?yán)拯c(diǎn)茬曲竦上d 好 >點(diǎn)在曲線外IMF|< d y02 < 2pg點(diǎn)在曲線內(nèi)二直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(1) 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，從幾何角度可分為三類：無公共點(diǎn)，僅有一個(gè)公共點(diǎn)及有兩個(gè)相異公共點(diǎn)。(2) 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的研

11、究方法可通過代數(shù)方法即解方程組的辦法來研究。因?yàn)榉匠探M解的個(gè)數(shù)與交 點(diǎn)的個(gè)數(shù)是一樣的。直線與圓錐曲線的位置關(guān)系可分為：相交、相切、相離對于拋物線來說，平行于對稱軸的直線與拋物線相交于一點(diǎn)，但并不是相切；對于雙曲線來說，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，但并不相切.這三種位置關(guān)系的判定條件可引導(dǎo)學(xué)生歸納為：設(shè)言線；Ax+By+ 0=0,圓線C : f&c, y) = 0,由消去y(或消去！0得：as2 +bx +c = 0, A= b2 -4ac, aO.A<Q尋相離(3) A = 0 o 珂切一注意：直線與拋物線、雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與拋物線、雙曲線相切的必要條件，但不

12、是充分條件.3 直線與圓錐曲線相交的弦長公式設(shè)直線l:y=kx+n ，圓錐曲線：F(x,y)=0，它們的交點(diǎn)為 Pi (xi,yi), P2(X2,y2),且由 F(x,y) 0，消去 y t ax2+bx+c=0(a 丸),A=b 2 4ac。y kx n則弦長公式為:2 2d=（xiX2）2（%y2）2= （1k2）（xiX2）2 =（1k2）A =（1_k）a° （有誤）a2|a|焦點(diǎn)弦長： 匹 e （點(diǎn)P是圓錐曲線上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)是焦點(diǎn)，d是P到相應(yīng)于焦點(diǎn)F的準(zhǔn)線的距離，e是離d心率）。三、圓錐曲線方程及性質(zhì)1 .橢宜貝通徑1.數(shù)學(xué)意義：定義：圓錐曲線（除圓外）中，過焦點(diǎn)并垂

13、直于軸的弦雙曲線和橢圓的通徑是 2bA2/a拋物線的通徑是2p（1）橢圓概念焦點(diǎn)的距離叫橢圓的焦距。若平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) F1、F2的距離的和等于常數(shù)（大于IRF2I）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩軸上即y型）。注：以上方程中2 2在務(wù)占a2 b22X大小。例如橢圓my軸上的橢圓。（2 ）橢圓的性質(zhì)a,b的大小21 和芯a2 x b22y_na b 0，其中 c2 a2 b2 ；1兩個(gè)方程中都有a b 0的條件，要分清焦點(diǎn)的位置，只要看x2和y2的分母的0，n 0, m n ）當(dāng)m n時(shí)表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；當(dāng) m n時(shí)表示焦點(diǎn)在2 2 2 2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：22 1 (

14、a b 0)(焦點(diǎn)在x軸上即x型)或 22 1 ( a b 0)(焦點(diǎn)在ya babM為橢圓上任意一點(diǎn)，則有 |MF1 | | MF2I 2a。2 2范圍：由標(biāo)準(zhǔn)方程 2 占 1知| x | a， | y | b，說明橢圓位于直線 x a， yb所圍成的矩形里;a b對稱性：在曲線方程里，若以y代替y方程不變，所以若點(diǎn)（x, y）在曲線上時(shí)，點(diǎn)（x, y）也在曲線上，所以曲線關(guān)于x軸對稱，同理，以x代替x方程不變，則曲線關(guān)于y軸對稱。若同時(shí)以 x代替x， y代替y方程也不變，則曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱。所以，橢圓關(guān)于 x軸、y軸和原點(diǎn)對稱。這時(shí)，坐標(biāo)軸是橢圓的對稱軸，原點(diǎn)是對稱中心，橢圓的對稱中心叫橢

15、圓的中心； 頂點(diǎn)：確定曲線在坐標(biāo)系中的位置， 常需要求出曲線與X軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中， 令X 0 , 得y b，則B1(0, b)，B2(0,b)是橢圓與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)。同理令 y 0得x a，即A( a,0)，A2(a,0)是橢 圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)。所以，橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)有四個(gè)，這四個(gè)交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)。同時(shí)，線段AA2、B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別為2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。由橢圓的對稱性知：橢圓的短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為且 IOF2 |2 | B2F2|2 IOB2I2，即 c2a ；在 Rt OB2F2 中，IOB2I b

16、, IOF2I c, IB2F2I a，離心率：橢圓的焦距與長軸的比2 2a c ；c1e 一叫橢圓的離心率。va c 0, a0 e 1，且e越接近1, c就越接近a ,a從而b就越小，對應(yīng)的橢圓越扁；反之，e越接近于0，c就越接近于0，從而b越接近于a，這時(shí)橢圓越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)，c 0，兩焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為X22 雙曲線(1)雙曲線的概念平面上與兩點(diǎn)距離的差的絕對值為非零常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線(|PFi| IPF2II 2a)。生意：( *)式中是差的絕對值，在 0 2a | Fi F2 |條件下；|PFi| IPF2I 2a時(shí)為雙曲線的一支(含 F?的支)；IPF2

17、 |PFi|2a時(shí)為雙曲線的另一支(含F(xiàn)l的一支)；當(dāng)2aFl時(shí)，|PFi| PF21| 2a表示兩條射線；當(dāng)2aIF1F2 |時(shí)，|PFi|PF2|2a不表示任何圖形；(可借助三角形理解自己添加的)兩定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，| Fi F2 |叫做焦距。橢圓和雙曲線比較：Fi, F2橢圓雙曲線定義IPF1I IPF2I 2a(2a |眄)IIPF1I |PF2| 2a(2a |證|)方程2 2Xy12, 21ab2 2X y 1 .2 2 1 b a2 2Xy12, 21ab2 2乂X12, 21ab焦占八'、八、F( c,0)F(0, c)F( c,0)F(0, c)注意：如何用方程確

18、定焦點(diǎn)的位置！(2)雙曲線的性質(zhì)X2 范圍：從標(biāo)準(zhǔn)方程 2aa即雙曲線在兩條直線2X 對稱性：雙曲線2a2每 1，看出曲線在坐標(biāo)系中的范圍：雙曲線在兩條直線xa的外側(cè)。即x2ba的外側(cè)。2占 1關(guān)于每個(gè)坐標(biāo)軸和原點(diǎn)都是對稱的，這時(shí)，坐標(biāo)軸是雙曲線的對稱軸，原點(diǎn)是雙 b22X 曲線二 a2y亍1的對稱中心，雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心。b頂點(diǎn)：雙曲線和對稱軸的交點(diǎn)叫做雙曲線的頂點(diǎn)。在雙曲線2X2a2b21的方程里，對稱軸是 X,y軸，所以令y 0得x a，因此雙曲線和x軸有兩個(gè)交點(diǎn) A ( a,0)A2(a,0)，他們是雙曲線2X""2a2y21的頂點(diǎn)。b2令X 0,方程

19、沒有實(shí)根，因此雙曲線和y軸沒有交點(diǎn)。1 )注意：雙曲線的頂點(diǎn)只有兩個(gè)，這是與橢圓不同的(橢圓有四個(gè)頂點(diǎn))，雙曲線的頂點(diǎn)分別是實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)。2)實(shí)軸：線段 A A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長等于2a, a叫做雙曲線的實(shí)半軸長。虛軸：線段B B?叫做雙曲線 的虛軸，它的長等于 2b,b叫做雙曲線的虛半軸長。 漸近線：注意到開課之初所畫的矩形，矩形確定了兩條對角線， 這兩條直線即稱為雙曲線的漸近線。從圖上看,2 2雙曲線x2 y21的各支向外延伸時(shí)，與這兩條直線逐漸接近。a b 等軸雙曲線：1）定義：實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式：a b ；2 ）等軸雙曲線的性質(zhì)：（1 ）漸近線方程為

20、：y x ； （ 2 ）漸近線互相垂直。生意以上幾個(gè)性質(zhì)與定義式彼此等價(jià)。亦即若題目中出現(xiàn)上述其一，即可推知雙曲線為等軸雙曲線，同時(shí)其他幾個(gè)亦成立。3）注意到等軸雙曲線的特征 a b，則等軸雙曲線可以設(shè)為：x2 y2（0），當(dāng)0時(shí)交點(diǎn)在x軸，當(dāng)0時(shí)焦點(diǎn)在y軸上。2 2 2 2 注意 y 1與 X1的區(qū)別：三個(gè)量 a,b,c中a,b不同（互換）c相同，還有焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸也169916變了。3 .拋物線（1 ）拋物線的概念平面內(nèi)與一定點(diǎn) F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線（定點(diǎn)F不在定直線l上）。定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線。2方程y 2px p 0叫做拋物線的標(biāo)

21、準(zhǔn)方程。注意：它表示的拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)是 F （卩,0）,它的準(zhǔn)線方程是x 衛(wèi)；2 2（2 ）拋物線的性質(zhì)一條拋物線，由于它在坐標(biāo)系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其他幾2 2 2種形式：y 2px , x 2py , x2py 這四種拋物線的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程如下表標(biāo)準(zhǔn)方程y2 2px(p 0)y22px(p 0)x2 2py(p 0)x22py(p 0)lwL圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)巴0）2(f0)（0，£）(0,少準(zhǔn)線方程x衛(wèi)2x子py 7y范圍x 0x 0y 0y 0對稱性x軸x軸y軸y軸頂點(diǎn)(0,0)(0,0)(

22、0,0)(0,0)離心率e 1e 1e 1e 1說明：（1 ）通徑：過拋物線的焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的弦稱為通徑；（2）拋物線的幾何性質(zhì)的特點(diǎn)：有一個(gè)頂點(diǎn)，個(gè)焦點(diǎn)，一條準(zhǔn)線，一條對稱軸，無對稱中心，沒有漸近線；（3 ）注意強(qiáng)調(diào)p的幾何意義：是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離。4、幾個(gè)常用結(jié)論（1）橢圓的焦點(diǎn)三角形：橢上一點(diǎn)P與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)Fi、F2組成的三角形稱為橢圓的焦點(diǎn)三角形，解決與橢圓焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問題時(shí)，應(yīng)注意橢圓的定義、正弦和余弦 定理的運(yùn)用。（2）關(guān)于拋物線焦點(diǎn)弦的幾個(gè)結(jié)論：設(shè)AB為過拋物線y2=2px （p>0 ）焦點(diǎn)的弦，A（x i ，yi）、B （x 2 ,y 2 ）,直2線AB的傾斜

23、角為B,則 xix2= , y iy2= p 24 |AB|= 込以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；焦點(diǎn)sinA、B在準(zhǔn)線上射影的張角為90 0 :|FA|i|FB |第三章空間向量與立體幾何一、空間向量及其運(yùn)算1 空間向量的概念向量：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。表示方法：用有向線段表示，并且同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量。說明：由相等向量的概念可知，一個(gè)向量在空間平移到任何位置，仍與原來的向量相等，用同向且等長的有向 線段表示；平面向量僅限于研究同一平面內(nèi)的平移，而空間向量研究的是空間的平移。2 .向量

24、運(yùn)算和運(yùn)算律數(shù)乘分配率：（a b）b.OB OAABabBAOA OB a b OPa(R)加法交換率：abba.加法結(jié)合率：(ab)ca (bc).說明：引導(dǎo)學(xué)生利用右圖驗(yàn)證加法交換率，然后推廣到首尾相接的若干向量之和；向量加法的平行四邊形法 則在空間仍成立。3 平行向量（共線向量）：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或 平行向量。a平行于b記作a / b 。注意：當(dāng)我們說 a、b共線時(shí)，對應(yīng)的有向線段所在直線可能是同一直線，也可能是平行直線；當(dāng)我們說a、b平行時(shí)，也具有同樣的意義。共線向量定理：對空間任意兩個(gè)向量a （ a工0 ）、b , a /b的

25、充要條件是存在實(shí)數(shù)使b = a注：上述定理包含兩個(gè)方面：性質(zhì)定理：若a / b （ a工0）,則有b = a，其中 是唯一確定的實(shí)數(shù)。判斷定理：若存在唯一實(shí)數(shù)，使b = a （ a工0），則有a /b （若用此結(jié)論判斷a、b所在直線平行，還需 a （或b ）上有一點(diǎn)不在b （或a ）上）。對于確定的和a , b = a表示空間與a平行或共線，長度為| a|,當(dāng) >0時(shí)與a同向，當(dāng) <0時(shí)與a反向的所有向量。若直線l/a , A l , P為I上任一點(diǎn)，O為空間任一點(diǎn)，下面根據(jù)上述定理來推導(dǎo)op的表達(dá)式。推論：如果I為經(jīng)過已知點(diǎn) A且平行于已知非零向量 a的直線，那么對任一點(diǎn) O,點(diǎn)

26、P在直線I上的充要條件是 存在實(shí)數(shù)t,滿足等式OP OA ta其中向量a叫做直線I的方向向量。在I上取AB a，則式可化為OP(1t)OAtOB.當(dāng)t 1時(shí)，點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，貝UOP1(OAOB ).22或叫做空間直線的向量參數(shù)表示式，是線段AB的中點(diǎn)公式。注意：表示式（* ）、（* ）既是表示式，的基礎(chǔ)，也是常用的直線參數(shù)方程的表示形式；推論的用途：解決 三點(diǎn)共線問題。結(jié)合三角形法則記憶方程。平行或a在 平面內(nèi)，我們就說向量 a平行于4 .向量與平面平行：如果表示向量 a的有向線段所在直線與平面平面 ，記作a /。注意：向量a /與直線a /的聯(lián)系與區(qū)別。共面向量：我們把平行于同一平面

27、的向量叫做共面向量。共面向量定理如果兩個(gè)向量 a、b不共線，則向量 p與向量a、b共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對x、y，使p xa yb.注：與共線向量定理一樣，此定理包含性質(zhì)和判定兩個(gè)方面。推論：空間一點(diǎn) P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x、y，使MP xMA yMB,或?qū)臻g任一定點(diǎn) O,有OP OM xMA yMB.在平面MAB內(nèi)，點(diǎn)P對應(yīng)的實(shí)數(shù)對（x, y ）是唯一的。式叫做平面 MAB的向量表示式。又 MA OA OM,.MB OB OM,.代入，整理得OP （1 x y）OM xOA yOB.由于對于空間任意一點(diǎn) P,只要滿足等式、之一（它們只是形式不同的同一等式），點(diǎn)P就

28、在平面MAB內(nèi)；對于平面MAB內(nèi)的任意一點(diǎn)P,都滿足等式、，所以等式、都是由不共線的兩個(gè)向量MA、MB（或不共線三點(diǎn) M、A、B）確定的空間平面的向量參數(shù)方程，也是M、A、B、P四點(diǎn)共面的充要條件。5. 空間向量基本定理： 如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量， 存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組 x, y, z,使 p xa yb zc.說明：由上述定理知，如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么所有空間向量所組成的集合就是 p|p xa yb zc,x、y、z R，這個(gè)集合可看作由向量 a、b、c生成的，所以我們把a(bǔ) , b , c叫做空間的一 個(gè)基底，a , b , c都叫做基向量；空間任意

29、三個(gè)不共面向量都可以作為空間向量的一個(gè)基底；一個(gè)基底是指一 個(gè)向量組，一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同的概念；由于0可視為與任意非零向量共線。與任意兩個(gè)非零向量共面，所以，三個(gè)向量不共面就隱含著它們都不是P，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使(3)(4)推論：設(shè) 0、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對空間任一點(diǎn)OP xOA yOB zOC.6. 數(shù)量積（1）夾角：已知兩個(gè)非零向量 a、b，在空間任取一點(diǎn) O, OA_ a , OB， b，則角/ AOB叫做向量a與b的夾角，記作a。二o b B(1)說明：規(guī)定0 w a, b w ，因而a, b = b, a ;如果 a, b

30、 =，則稱a與b互相垂直，記作 a丄b ;2在表示兩個(gè)向量的夾角時(shí)，要使有向線段的起點(diǎn)重合，注意圖(3 )、(4)中的兩個(gè)向量的夾角不同,圖(3)中/AOB= OA,OB ,圖(4)中/AOB=AO,OB ,從而有 OA,OB = OA, OB = OA,OB .(2) 向量的模：表示向量的有向線段的長度叫做向量的長度或模。(3) 向量的數(shù)量積：a b cos a, b叫做向量a、b的數(shù)量積，記作 a b。即 a b = a b cos a,b ,向量AB在e方向上的正射影a e | AB | cos a,e A B(4)性質(zhì)與運(yùn)算律 a e cos a, e 。a丄b a b =0.r 2

31、r r | a |2aa.(a b (a b)r r a b= b a a (b b a b a c、立體幾何中的向量方法1 空間中各種角包括：異面直線所成的角、直線與平面所成的角以及二面角。(1 )異面直線所成的角的范圍是(0,。求兩條異面直線所成的角的大小一般方法是通過平行移動(dòng)直線，把異面2問題轉(zhuǎn)化為共面問題來解決。具體步驟如下: 利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選擇在特殊的位置上; 證明作出的角即為所求的角; 利用三角形來求角。(2 )直線與平面所成的角的范圍是0, ?。求直線和平面所成的角用的是射影轉(zhuǎn)化法。具體步驟如下:找過斜線上一點(diǎn)與平面垂

32、直的直線;連結(jié)垂足和斜足， 得出斜線在平面的射影,確定出把該角置于三角形中計(jì)算AB所求的角;注：斜線和平面所成的角， 是它和平面內(nèi)任何一條直線所成的一切角中的最小角,即若B為線面角，a為斜線與平面內(nèi)任何一條直線所成的角，則有；(3 )確定點(diǎn)的射影位置有以下幾種方法： 斜線上任意一點(diǎn)在平面上的射影必在斜線在平面的射影上； 如果一個(gè)角所在的平面外一點(diǎn)到角的兩邊距離相等，那么這一點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上；如果一條直線與一個(gè)角的兩邊的夾角相等，那么這一條直線在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上；兩個(gè)平面相互垂直，一個(gè)平面上的點(diǎn)在另一個(gè)平面上的射影一定落在這兩個(gè)平面的交線上； 利用某些特殊三棱錐的

33、有關(guān)性質(zhì)，確定頂點(diǎn)在底面上的射影的位置：a. 如果側(cè)棱相等或側(cè)棱與底面所成的角相等，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的外心；b. 如果頂點(diǎn)到底面各邊距離相等或側(cè)面與底面所成的角相等，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的內(nèi)心(或旁心)；c. 如果側(cè)棱兩兩垂直或各組對棱互相垂直，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的垂心；(4 )二面角的范圍在課本中沒有給出，一般是指(0,，解題時(shí)要注意圖形的位置和題目的要求。作二面角的平面角常有三種方法 棱上一點(diǎn)雙垂線法：在棱上任取一點(diǎn)，過這點(diǎn)在兩個(gè)平面內(nèi)分別引棱的垂線，這兩條射線所成的角，就是二面 角的平面角； 面上一點(diǎn)三垂線法：自二面角的一個(gè)面上一點(diǎn)向另一面引垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點(diǎn)(即垂足)，斜足與面上一點(diǎn)連線和斜足與垂足連線所夾的角，即為二面角的平面角； 空間一點(diǎn)垂面法：自空間一點(diǎn)作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平 面角。斜面面積和射影面積的關(guān)系公式：S Seos (S為原斜面面積，S為射影面積，為斜面與射影所成二面角的平面角)這個(gè)公式對于斜面為三角形，任