【優(yōu)化方案】2017高中數(shù)學(xué)第1章統(tǒng)計(jì)7-8相關(guān)性、最小二乘法應(yīng)用案鞏固提升北師大版必修3

1、【優(yōu)化方案】2017高中數(shù)學(xué)第1章統(tǒng)計(jì)7-8相 關(guān)性、最小二乘法應(yīng)用案鞏固提升北師大版必修3A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1. （2015 高考湖北卷已知變量x和y滿(mǎn)足關(guān)系y= 0.1x +1，變量y與z正相關(guān)下列結(jié)論中正確的是（）Ax與y正相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)Bx與y正相關(guān)，x與z正相關(guān)C. x與y負(fù)相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)D. x與y負(fù)相關(guān)，x與z正相關(guān)解析：選C.因?yàn)閥= 0.1x + 1的斜率小于0，故x與y負(fù)相 關(guān)因?yàn)閥與z正相關(guān)，可設(shè)z = y+, >0，則z=y + = 0.1x + + ,故x與z負(fù)相關(guān).2 某商品的銷(xiāo)售量y（件）與銷(xiāo)售價(jià)格x（元）存在線性相關(guān)關(guān) 系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)（xi, yi）

2、（i = 1, 2，n），用最小二乘 法建立的回歸方程為y= 10x + 200，則下列結(jié)論正確的是（）A. y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B .若 y= 150，貝U x = 35C. 當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)格為10元時(shí)，銷(xiāo)售量為100件D. 當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)格為10元時(shí)，銷(xiāo)售量為100件左右解析：選D.因?yàn)榛貧w方程的斜率一10<0，所以y與x具有負(fù) 相關(guān)關(guān)系，故A錯(cuò)誤；當(dāng)y= 150時(shí)，代入回歸直線方程可得x =5,故B錯(cuò)誤；把x = 10代入求得y= 100，是一個(gè)估計(jì)值， 而不是準(zhǔn)確值，故C錯(cuò)誤，D正確.3已知回歸直線的斜率的估計(jì)值是1.23，樣本點(diǎn)的中心是（4，5），則線性回歸方程是（）A. y = 4

3、 + 1.23xB. y = 5 + 1.23xC. y = 0.08 + 1.23x D . y= 1.23 + 0.08x解析：選C.斜率的估計(jì)值就是b的值，即b = 1.23，又因回歸 直線過(guò)點(diǎn)（4，5），代入選項(xiàng)驗(yàn)證可得.4 設(shè)某大學(xué)的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有 線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）（i = 1，2，n）， 用最小二乘法建立的回歸方程為 y = 0.85x 85.71，則下列結(jié) 論中不正確的是（）A. y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B. 回歸直線過(guò)樣本的中心點(diǎn)（，）C .若該大學(xué)某女生身高增加1 cm，則其體重約增加0.85 kgD. 若該大

4、學(xué)某女生身高為170 cm，則可斷定其體重必為58.79 kg解析：選D.回歸分析受多種因素的影響，預(yù)測(cè)值與真實(shí)值有一定的誤差.5 對(duì)有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量建立的回歸直線方程y = a +bx中，回歸系數(shù)b( )A 不能小于0B 不能大于0C. 不能等于0 D.只能小于0解析：選C.當(dāng)b = 0時(shí)，兩個(gè)變量不具有線性相關(guān)關(guān)系，但b能大于0，也能小于0.6若直線 y = a + bx 是四組數(shù)據(jù)(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9)的回歸直線方程，則a與b的關(guān)系為.解析：因?yàn)?(1 + 2 + 3 + 4)=,=(3 + 5 + 7 + 9) = 6,因?yàn)?a + b，所

5、以 6 = a + b.所以 2a + 5b = 12.答案：2a + 5b = 127.正常情況下，年齡在18歲到38歲的人中，體重y(kg)對(duì)身 高x(cm)的回歸方程為y = 0.72x - 58.2，張紅同學(xué)(20歲)身高 為178 cm，她的體重應(yīng)該在 kg左右.解析：用回歸方程對(duì)身高為178 cm的人的體重進(jìn)行預(yù)測(cè)，當(dāng)x= 178 時(shí)，y = 0.72 X 178-58.2 = 69.96(kg).答案：69.96.已知x, y的取值如下表，x2356y2.74.36.16.9從散點(diǎn)圖分析，y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，且回歸方程為 y=1.02x + a，貝U a =.解析：由表格數(shù)據(jù)

6、，得=4 ,= 5 ;將(4 , 5)代入回歸方 程，得 5 = 1.02 X 4-a，得 a = 0.92.答案：0.928 某工廠對(duì)某種產(chǎn)品的產(chǎn)量與成本的資料分析后有如下數(shù)據(jù)：產(chǎn)量x(千件)2356成本y(萬(wàn)元)78912(1) 畫(huà)出散點(diǎn)圖；(2) 求成本y與產(chǎn)量x之間的線性回歸方程;(3) 預(yù)計(jì)產(chǎn)量為8千件時(shí)的成本.1 *11I1 :屮1I 1 Is3解：(1)散點(diǎn)圖如圖：設(shè)成本y與產(chǎn)量x的線性回歸方程為y= bx + a,=9.b = = = 1.1 ,a = b = 9 1.1 x 4=6所以回歸方程為y= 1.1x + 46(3)當(dāng) x= 8 時(shí)，y = 1.1 x 8H4.6 =

7、 8.8 + 4.6 = 13.4，即產(chǎn)量為 8 千件時(shí)，成本約為13.4萬(wàn)元.9 某研究機(jī)構(gòu)對(duì)高三學(xué)生的記憶力 x和判斷力y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分 析，得下表數(shù)據(jù)：x681012y2356(1) 請(qǐng)畫(huà)出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;iL-Jyo(2) 請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘 法求出y關(guān)于x的線性 回歸方程y= bx + a;(3) 試根據(jù)求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)記憶力為 9的同學(xué)的 判斷力.解：(1)如圖：(2)xiyi = 6X 2+ 8X 3+ 10X 5+ 12X658 ,=9, = = 4,x = 62 + 82 + 102 + 122 = 344 ,b = = = 0.7,a =- b = 4

8、- 0.7 X 9=23 ,故線性回歸方程為y = 0.7x -2.3.由線性回歸方程預(yù)測(cè)，記憶力為9的同學(xué)的判斷力約為4.B能力提升1 .已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表：x123456y021334假設(shè)根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得線性回歸方程為 y = bx + a.若某同學(xué)根 據(jù)上表中的前兩組數(shù)據(jù)(1, 0)和(2, 2)求得的直線方程為y = b' x + a',則以下結(jié)論正確的是 )A. b>b',>a'B. b>b',va'C. bv b',>a' D. bv b',v a'解析：選C.由兩組

9、數(shù)據(jù)(1 , 0)和(2, 2)可求得直線方程為y =2x-2，從而b'=2, a'=2而利用線性回歸方程的公式與已 知表格中的數(shù)據(jù)，可求得b =,a = b =,所以 b v b',a > a'.2.已知變量x與y呈正的線性相關(guān)關(guān)系，且由觀測(cè)數(shù)據(jù)算得 樣本平均數(shù)=3, = 3.5，則由該觀測(cè)數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程 可能是（）A. y = 0.4x + 2.3B. y = 2x 2.4C. y = 2x + 9.5D. y = 0.3x + 4.4解析：選A.由已知得回歸直線的斜率為正，故可以排除選項(xiàng)C和D.因?yàn)闃颖军c(diǎn)的中心在回歸直線上，把點(diǎn)（3，3.5）

10、的坐標(biāo)分 別代入選項(xiàng)A和B中的直線方程進(jìn)行檢驗(yàn)，可以排除B，故選A.3在1907年的一項(xiàng)關(guān)于16艘輪船的研究中，船的噸位區(qū)間 從192 t3 246 t，船員的人數(shù)從5人至32人，由船員人數(shù)y 關(guān)于噸位x的回歸分析得到：y = 9.5 + 0.006 2x，假定兩艘輪 船的噸位相差1 00 0 t，船員平均人數(shù)相差 ，對(duì)于最小的船估計(jì)的船員人數(shù)是，對(duì)于最大的船估計(jì)的船員人數(shù)是 .解析：設(shè)兩艘船的噸位分別為x1，x2，則y1 y2 = 9.5 + 0.006 2x1 （9.5 + 0.006 2x2）=0.006 2X1000 6（人， 即船員平均人數(shù)相差6人.當(dāng) x= 192 時(shí)，y = 9.

11、5 + 0.006 2x 19210（人當(dāng) x = 3 246 時(shí)，y = 9.5 + 0.006 2X3246 29（人.即估計(jì)噸位最大和最小的船的船員數(shù)分別為29人和10人.答案：610294.（選做題）某農(nóng)科所對(duì)冬季晝夜溫差與某反季節(jié)大豆種子發(fā)芽 多少之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究，他們記錄了12月1日至5日的晝夜溫差與每天100顆種子的發(fā)芽數(shù)，數(shù)據(jù)如下表：日期12.112.212.312.412.5溫差x( °C)101113128發(fā)牙數(shù)y（顆）2325302616該農(nóng)科所確定的研究方案是：先從五組數(shù)據(jù)中選取兩組，用剩 下的三組數(shù)據(jù)求回歸方程，再用被選取的兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).（1）若先

12、選取的是12月1日和5日的數(shù)據(jù)，請(qǐng)根據(jù)2日至4日 的三組數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的回歸方程y= bx + a;（2）若由回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過(guò) 2 顆，則認(rèn)為得到的回歸方程是可靠的，試判斷（1）中所得的線性 回歸方程是否可靠？說(shuō)明理由.解：（1）由已知數(shù)據(jù)，求得=12，= 27，由公式b =，求得b = 2.5，再由公式a =一 b得a =一 3 ,所以y關(guān)于x的回歸方程為y = 2.5x-3.當(dāng) x= 10 時(shí)，y= 2.5 X 10- = 22,|22 23|<2 ,同樣，當(dāng) x= 8 時(shí)，y= 2.5 X 8- = 17,|17 16|<2.所以(1)中得到的

13、線性回歸方程是可靠的.【優(yōu)化方案】2017高中數(shù)學(xué)第1章統(tǒng)計(jì)7-8相關(guān)性、最小二乘法應(yīng)用案鞏固提升北師大版必修3A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1. (2015 高考湖北卷已知變量x和y滿(mǎn)足關(guān)系y = 0.1x + 1，變量y與z正相關(guān).下列結(jié)論 中正確的是()A. x與y正相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)B. x與y正相關(guān)，x與z正相關(guān)C . x與y負(fù)相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)D . x與y負(fù)相關(guān)，x與z正相關(guān)解析：選C.因?yàn)閥= 0.1x + 1的斜率小于0,故x與y負(fù)相關(guān).因?yàn)閥與z正相關(guān)，可設(shè)z =y +, >0，貝U z= y+ = 0.1x + + ,故 x 與 z 負(fù)相關(guān).2某商品的銷(xiāo)售量y（件）與銷(xiāo)售價(jià)格x（元）存

14、在線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)（xi, yi）（i = 1, 2，n），用最小二乘法建立的回歸方程為y= 10x + 200，則下列結(jié)論正確的是（）A. y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B .若 y= 150，貝U x= 35C .當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)格為10元時(shí)，銷(xiāo)售量為100件D .當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)格為10元時(shí)，銷(xiāo)售量為100件左右解析：選D.因?yàn)榛貧w方程的斜率10<0，所以y與x具有負(fù)相關(guān)關(guān)系，故A錯(cuò)誤；當(dāng)y = 150 時(shí)，代入回歸直線方程可得x= 5，故B錯(cuò)誤；把x = 10代入求得y= 100，是一個(gè)估計(jì)值，而 不是準(zhǔn)確值，故C錯(cuò)誤，D正確.3. 已知回歸直線的斜率的估計(jì)值是 1.23，樣本點(diǎn)的中心

15、是（4，5），則線性回歸方程是（）A. y = 4 + 1.23xB . y = 5 + 1.23xC . y = 0.08 + 1.23xD . y = 1.23 + 0.08x解析：選C.斜率的估計(jì)值就是b的值，即b = 1.23，又因回歸直線過(guò)點(diǎn)（4，5），代入選項(xiàng)驗(yàn)證 可得.4. 設(shè)某大學(xué)的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù) 據(jù)（xi，yi）（i = 1，2，n），用最小二乘法建立的回歸方程為 y = 0.85x 85.71，則下列結(jié)論 中不正確的是（ ）A. y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B. 回歸直線過(guò)樣本的中心點(diǎn)（，）C .若該大學(xué)某女生身

16、高增加1 cm，則其體重約增加0.85 kgD .若該大學(xué)某女生身高為170 cm，則可斷定其體重必為58.79 kg解析：選D.回歸分析受多種因素的影響，預(yù)測(cè)值與真實(shí)值有一定的誤差.5. 對(duì)有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量建立的回歸直線方程y = a + bx中，回歸系數(shù)b（ ）A .不能小于0B .不能大于0C .不能等于0 D .只能小于0解析：選C.當(dāng)b二0時(shí)，兩個(gè)變量不具有線性相關(guān)關(guān)系，但b能大于0，也能小于0.6. 若直線y = a + bx是四組數(shù)據(jù)（1，3），（2，5），（3，7），（4，9）的回歸直線方程，則a與b 的關(guān)系為.解析：因?yàn)?（1 + 2 + 3 + 4）=，因?yàn)?a+

17、b,所以 6= a + b.所以 2a + 5b = 12.答案：2a + 5b = 127正常情況下，年齡在18歲到38歲的人中，體重y(kg)對(duì)身高x(cm)的回歸方程為y= 0.72x 58.2，張紅同學(xué)(20歲)身高為178 cm，她的體重 應(yīng)該在kg左右.解析：用回歸方程對(duì)身高為178 cm的人的體重進(jìn)行預(yù)測(cè)，當(dāng)x = 178時(shí)，y = 0.72 X 178-58.2=69.96(kg).答案：69.968. 已知x，y的取值如下表，x2356y2.74.36.16.9從散點(diǎn)圖分析，y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，且回歸方程為 y= 1.02x + a，則a=.解析：由表格數(shù)據(jù)，得=4，=

18、5;將(4， 5)代入回歸方程，得5 = 1.02 X 4+，得a =0.92.答案：0.929. 某工廠對(duì)某種產(chǎn)品的產(chǎn)量與成本的資料分析后有如下數(shù)據(jù)：產(chǎn)量x(千件)2356成本y(萬(wàn)兀)78912(1) 畫(huà)出散點(diǎn)圖；(2) 求成本y與產(chǎn)量x之間的線性回歸方程;(3) 預(yù)計(jì)產(chǎn)量為8千件時(shí)的成本.設(shè)成本y與產(chǎn)量x的線性回歸方程為y = bx + a，=4，一 9.b= 1.1 ,a= b = 9 1.1 x 4=4.6.所以回歸方程為y = 1.1x + 4.6.當(dāng)x = 8時(shí)，y= 1.1 x 8*.6 = 8.8 + 4.6 = 13.4，即產(chǎn)量為8千件時(shí)，成本約為13.4萬(wàn)元.10 .某研

19、究機(jī)構(gòu)對(duì)高三學(xué)生的記憶力 x和判斷力y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得下表數(shù)據(jù)：x681012y2356(1)請(qǐng)畫(huà)出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;iyoJ請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘 法求出y關(guān)于x的線性回歸方程y = bx + a;試根據(jù)求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)記憶力為 9的同學(xué)的判斷力.(2) xiyi = 6X 2+ 8x 3+ 10x 5+ 12X65=，=9，= 4，x= 62 + 82 + 102 + 122 = 344，b= = = 0.7，a= b = 4 0.7 x 9=.3，故線性回歸方程為y= 0.7x 2.3.(3) 由線性回歸方程預(yù)測(cè)，記憶力為9的同學(xué)的判斷力約為4.B能力提升1.已知x與y

20、之間的幾組數(shù)據(jù)如下表:x123456y021334假設(shè)根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得線性回歸方程為 y二bx + a.若某同學(xué)根據(jù)上表中的前兩組數(shù)據(jù)(1, 0)和 (2，2)求得的直線方程為y = b' x + a',則以下結(jié)論正確的是)A. b > b',a > a'B. b > b',a v a'C. bv b',a>a'D. bv b',a v a'解析：選C.由兩組數(shù)據(jù)(1 , 0)和(2, 2)可求得直線方程為y= 2x 2，從而b'=2, a'=2而 利用線性回歸方程的公式與已

21、知表格中的數(shù)據(jù)，可求得 b= = ,a= b =，所以 bv b',a > a'.2. 已知變量x與y呈正的線性相關(guān)關(guān)系，且由觀測(cè)數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)二3，二3.5，則由該 觀測(cè)數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能是()A. y = 0.4x + 2.3B. y= 2x 2.4C . y = 2x + 9.5D . y = 0.3x + 4.4解析：選A.由已知得回歸直線的斜率為正，故可以排除選項(xiàng)C和D.因?yàn)闃颖军c(diǎn)的中心在回歸直線上，把點(diǎn)(3, 3.5)的坐標(biāo)分別代入選項(xiàng)A和B中的直線方程進(jìn)行檢驗(yàn)，可以排除 B,故選 A.3. 在1907年的一項(xiàng)關(guān)于16艘輪船的研究中，船的噸位區(qū)間從 192 t3 246 t，船員的人數(shù) 從5人至32人，由船員人數(shù)y關(guān)于噸位x的回歸分析得到：y= 9.5 + 0.006 2x ,假定兩艘輪 船的噸位相差1 00 0 t，船員平均人數(shù)相差 ，對(duì)于最小的船估計(jì)的船員人數(shù)是，對(duì)于最大的船估計(jì)的船員人數(shù)是 .解析：設(shè)兩艘船的噸位分別為x1 ,