2019-2020年高三復(fù)習(xí)理科數(shù)學(xué)(人教A)三管齊下：41空間幾何體的表面積與體積含解析

1、2019-2020年高三復(fù)習(xí)理科數(shù)學(xué)（人教A）三管齊下：41空間幾何體的表面積與體積含解析導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.了解球、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積的計(jì)算公式.2.了解球、柱、錐、臺(tái)的體積的計(jì)算公式.3.培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力和計(jì)算能力，會(huì)利用所學(xué)公式進(jìn)行必要的計(jì)算.4.提高認(rèn)識(shí)圖、理解圖、應(yīng)用圖的能力.課前準(zhǔn)備區(qū)）回扣教材夯實(shí)某硒自主梳理1.多面體的表面積（1）設(shè)直棱柱高為h,底面多邊形的周長為c,則S直棱柱側(cè)=.（2）設(shè)正n棱錐底面邊長為a,底面周長為c,斜高為h',則S正棱錐側(cè)=（3）設(shè)正n棱臺(tái)下底面邊長為a,周長為c,上底面邊長為a',周長為c',斜高為h&#

2、39;,則S正棱臺(tái)側(cè)=.（4）設(shè)球的半徑為R,則S球=.2.幾何體的體積公式（1）柱體的體積V柱體=（其中S為柱體的底面面積，h為高）.特別地，底面半徑是r,高是h的圓柱體的體積V圓柱=<2h.（2）錐體的體積V錐體=（其中S為錐體的底面面積，h為高）.特別地，底面半徑是r,高是h的圓錐的體積V圓錐=武2'3（3）臺(tái)體的體積V臺(tái)體=（其中S',S分別是臺(tái)體上、下底面的面積，h為高）.特別地，上、下底面的半徑分別是r'、r,高是h的圓臺(tái)的體積V圓臺(tái)=1而（r2+rr'+r'2）.3（4）球的體積V球=（其中R為球的半徑）.自我檢測1 .已知兩平行平面

3、%3間的距離為3,PCa,邊長為1的正三角形ABC在平面3內(nèi),則三棱錐P-ABC的體積為（）1A.4C. 61B.2,3D.T2. （2011唐山月考）從一個(gè)正方體中，如圖那樣截去4個(gè)三棱錐后，得到一個(gè)正三棱錐A-BCD,則它的表面積與正方體表面積的比為（）A.5：3B.V2:2C.V3:6D氓:63,設(shè)三棱柱ABCA1B1C1的體積為V,P,Q分別是側(cè)棱AA，CC上的點(diǎn)，且PA=QC1,則四棱錐B-APQC的體積為（）11A-VB-V6411C.oVD.5V324. （2011平頂山月考）下圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是（）L 1 2 12正視圖惻視劇橢規(guī)圖A.

4、9兀B.1071C.11兀D.12兀5. （2011陜西）某幾何體的三視圖如下，則它的體積是（）正視圖側(cè)視圖般視圖2兀兀A-8-5B-8-32兀C.82兀D3課堂活幼區(qū)突破考點(diǎn)研析熱點(diǎn)探究點(diǎn)一多面體的表面積及體積例1三棱柱的底面是邊長為4的正三角形，側(cè)棱長為3,一條側(cè)棱與底面相鄰兩邊都成60。角，求此棱柱的側(cè)面積與體積.變式遷移1（2011煙臺(tái)月考）已知三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都等于2,A1在底面ABC上的射影為BC的中點(diǎn)，則三棱柱的側(cè)面面積為.探究點(diǎn)二旋轉(zhuǎn)體的表面積及體積例2如圖所示，半徑為R的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑AB所在直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周得到一幾何體，求該幾何體的表面積（

5、其中/BAC=30。）及其體積.變式遷移2直三棱柱ABCAiBiCi的各頂點(diǎn)都在同一球面上.若AB=AC=AAi=2,/BAC=120°,則此球的表面積等于.探究點(diǎn)三側(cè)面展開圖中的最值問題例3如圖所示，長方體ABCDA1B1clD1中，AB=a,BC=b,CC1=c,并且a>b>c>0.求沿著長方體的表面自A到Ci的最短線路的長.變式遷移3（2011杭州月考）如圖所示，在直三棱柱ABCAiBiCi中，底面為直角三角形，/ACB=90°,AC=6,BC=CC1=V2.P是BC1上一動(dòng)點(diǎn)，則CP+PA1的最小值是.課堂小結(jié)1 .有關(guān)柱、錐、臺(tái)、球的面積和體積的

6、計(jì)算，應(yīng)以公式為基礎(chǔ)，充分利用幾何體中的直角三角形、直角梯形求有關(guān)的幾何元素.2 .當(dāng)給出的幾何體比較復(fù)雜，有關(guān)的計(jì)算公式無法運(yùn)用，或者雖然幾何體并不復(fù)雜，但條件中的已知元素彼此離散時(shí)，我們可采用“害、"補(bǔ)”的技巧，化復(fù)雜幾何體為簡單幾何體（柱、錐、臺(tái)），或化離散為集中，給解題提供便利.（1）幾何體的“分割”幾何體的分割即將已知的幾何體按照結(jié)論的要求，分割成若干個(gè)易求體積的幾何體，進(jìn)而求之.（2）幾何體的“補(bǔ)形”：與分割一樣，有時(shí)為了計(jì)算方便，可將幾何體補(bǔ)成易求體積的幾何體，如長方體、正方體等.另外補(bǔ)臺(tái)成錐是常見的解決臺(tái)體側(cè)面積與體積的方法，由臺(tái)體的定義，我們在有些情況下，可以將臺(tái)體

7、補(bǔ)成錐體研究體積.精題精練規(guī)范答題（滿分：75分）、選擇題（每小題5分，共25分）1.（2011安彳t）一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為正（主）視圖側(cè)（左）魂圖A.48B.32+8717C. 48+8后D.80.32兀I2 .已知一個(gè)球與一個(gè)正三棱柱的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面相切，若這個(gè)球的體積是二丁，則3這個(gè)三棱柱的體積是（）A.9673B.1673C.24也D.48733 .已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a,長為定值的線段EF在AB上移動(dòng)（EF<a）,若P是A1D1上的定點(diǎn)，Q是C1D1上的動(dòng)點(diǎn)，則四面體PQEF的體積是（）A.有最小值的一個(gè)變量B.有最大值

8、的一個(gè)變量C.沒有最值的一個(gè)變量D. 一個(gè)不變量4. （2010全國）設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長都為a,頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上,則該球的表面積為（）“2A. 必C72B.-ja311C.q出35. （2011北京）某四面體的三視圖如圖所示，該四面體四個(gè)面的面積中最大的是（）正（主）視圖側(cè)（左）視圖A. 8B. 6 .2闞視圖C. 10D. 8V2、填空題（每小題4分，共12分）3 cm6. （2011馬鞍山月考）如圖，半徑為2的半球內(nèi)有一內(nèi)接正六棱錐PABCDEF,則此正六棱錐的側(cè)面積是7. （2011淄博模擬）一塊正方形薄鐵片的邊長為4cm,以它的一個(gè)頂點(diǎn)為圓心，一邊長為半徑畫弧，沿弧

9、剪下一個(gè)扇形（如圖），用這塊扇形鐵片圍成一個(gè)圓錐筒，則這個(gè)圓錐筒的容積等于8. （2011四川）如圖，半徑為R的球。中有一內(nèi)接圓柱.當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差是.三、解答題（共38分）9. （12分）（2011佛山模擬）如圖組合體中，三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)面ABB1A1是圓柱的軸截面，C是圓柱底面圓周上不與A、B重合的一個(gè)點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)時(shí)，求四棱錐A1BCC1B1與圓柱的體積比.10. （12分）A(2011撫順模擬)如圖，四面體ABCD中，ABC與DBC都是邊長為4的正三角形.(1)求證：BCXAD;AD的(2)試問該四面體的體積是否存在最大值？若存

10、在，求出這個(gè)最大值及此時(shí)棱長大?。蝗舨淮嬖?，說明理由.11. (14分)(2011錦州期末)如圖，多面體ABFEDC的直觀圖及三視圖如圖所示，M,N分別為AF,BC的中點(diǎn).(1)求證：MN/平面CDEF;(2)求多面體A-CDEF的體積.41空間幾何體的表面積與體積自主梳理1.(1)ch(2)1nah'1ch'(3)1n(a+a')h''(c+c')h'(4)4tR A 設(shè)正方體棱長為 a,則正四面體棱長AB = V2a,2.(1)Sh(2)122223Sh(3)$(S+>/sS，+S')(4)3tR3自我檢測31. D由題

11、息，Saabc=4,二梭錐的圖h=3, 、，1顯 V三棱錐pabc=§Sh=4. 1-S正四面體表=4X*x(yJ2a)2=2-3a2.;S正方體表=6a；，四面體的表面積與正方體表面積的比為小：3.3. C4.駕3忘二?斗一H2r'D據(jù)三視圖可知該幾何體由球和圓柱體組成，如圖所示，故該幾何體的表面積為S=S圓柱+S球=2兀+6兀+4k12兀5. A由三視圖可知該幾何體是一個(gè)邊長為2的正方體內(nèi)部挖去一個(gè)底面半徑為1,高為2的圓錐，所以V=231X兀X2=8穹，故選A.33課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引對(duì)于斜棱柱表面積及體積的求解必須求各個(gè)側(cè)面的面積和棱柱的高.解決此類斜棱柱側(cè)面積問題

12、的關(guān)鍵：在已知棱柱高的條件下，用線面垂直？線線垂直的方法作出各個(gè)側(cè)面的高，并在相應(yīng)的直角三角形中求解側(cè)面的高.解如圖，過點(diǎn)Ai作AiO,面ABC于點(diǎn)O,連接AO.過點(diǎn)Ai作AiEXAB于點(diǎn)E,過點(diǎn)Ai作AiFXAC于點(diǎn)F,連接EO,FO,易得OELAB,OFXAC,AAi和AB與AC都成60°角，.AiAEAAiAF,/.AiE=AiF.AiO上面ABC,.-.EO=FO.點(diǎn)O在/BAC的角平分線上，延長AO交BC于點(diǎn)D,.ABC是正三角形，BCXAD.BCXAAi. AAi/BBi,，側(cè)面BBiCiC是矩形，三棱柱的側(cè)面積為S=2X3X4Xsin60°+3X4=i2+12

13、m. -AAi=3,AAi與AB和AC都成60°角，3 AE=2./ZBAO=30, .AO=3,AiO=返 三棱柱的體積為丫=¥*16X優(yōu)=1242.變式遷移12.7+4解析如圖所示，設(shè)D為BC的中點(diǎn)，連接AD,AD.ABC為等邊三角形，.1.ADXBC,，BC，平面A1AD, BCXA1A,又.一AA/B1B,BCXB1B,又側(cè)面與底面邊長都等于2,，四邊形BB1C1C是正方形，其面積為4.作DEXAB于E,連接AE,則AB，AE,又.=夜二？=>/3,DE=ADABBD-=3,AB2AE=AD2DE2=2, A1e=aa2-ae2邛，S四邊形ABB1A1=巾,S

14、三棱柱側(cè)=2,7+4.例2解題導(dǎo)引解決這類題的關(guān)鍵是弄清楚旋轉(zhuǎn)后所形成的圖形的形狀，再將圖形進(jìn)行合理的分割，然后利用有關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算.求全面積時(shí)不要忘記“內(nèi)表面解如圖所示，過C作CO1±AB于。1,A在半圓中可得ZBCA=90°,/BAC=30°,AB=2R,“3 ac=V3r,bc=r,2=小,6球=4成2,S圓錐AO1側(cè)=力乎RX他R=3收,S圓錐BO1側(cè)=兀X乎RXR=»kR2, 1'S幾何體表=S球+S圓錐AO1側(cè)+S圓錐BO1側(cè)112.3211+32=卡2+方-求2=-2tR2,11+V3.旋轉(zhuǎn)所得到的幾何體的表面積為2tR2.3卡11

15、 4-3 Q =A 2樂 V 1 - 4 又 =V 圓錐 AO 1=1 AO 1 QO23V圓錐BO1=1BOi£02=1tR2BOi,34 V幾何體=V球一(V圓錐AO1+V圓錐BO1)431353=3tR-2TR=6tR.變式遷移220兀解析在4ABC中，AB=AC=2,ZBAC=120°,可得BC=273,由正弦定理，可得ABC外接圓的半徑r=2,設(shè)此圓圓心為0',球心為0,在RtOBO'中，易得球半徑R=乖,故此球的表面積為4卡2=20兀例3解題導(dǎo)引本題可將長方體表面展開，利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的線段長是兩點(diǎn)間的最短距離來解答.解將長方體相鄰兩個(gè)面展開有下

16、列三種可能,如圖所示.三個(gè)圖形甲、乙、丙中AC1的長分別為：(a+b2+c2=a2+b2+c2+2ab,ajab(b+c2=十2+b2+c2+2bc,Ma+c2+b2=a2+b2+c2+2ac,a>b>c>0,ab>ac>bc>0.故最短線路的長為-a2+b2+c2+2bc.變式遷移35.2解析WBCC1沿BC1線折到面A1C1B上，如圖所示.B連接A1C即為CP+PA1的最小值，過點(diǎn)C作CD垂直A1C1延長線交于D,BCC1為等腰直角三角形, CD=1,C1D=1,A1D=A1C1+C1D=7. A1C=A1D2+CD2=49+1=5也.課后練習(xí)區(qū)1. C

17、由三視圖知該幾何體的直觀圖如圖所示，該幾何體的下底面是邊長為4的正方形；上底面是長為4、寬為2的矩形；兩個(gè)梯形側(cè)面垂直于底面，上底長為2,下底長為4,高為4;另兩個(gè)側(cè)面是矩形，寬為4,長為卜42+12=巾7.所以S表=42+2X4+2X(2+4)X4X2+4X匹X2=48+8匹.2. D由：成3=:3，R=2.，正三棱柱的高h(yuǎn)=4.設(shè)其底面邊長為a,則;當(dāng)a=2,3332a=4.13.，V=*X（4爐）2X4=48颯3. D4.B5. C將三視圖還原成幾何體的直觀圖如圖所示.它的四個(gè)面的面積分別為8,6,10,672,故最大的面積應(yīng)為10.6. 6.7解析取底面中心為O,AF中點(diǎn)為M,連接PO

18、、OM、PM、AO,則PO±OM,AOM±AF,PMXAF,.OA=OP=2,.OM=WPM='4+3=幣.1S側(cè)=6XX2X巾=6巾.7-157. 3兀4 cm,解析圍成圓錐筒的母線長為設(shè)圓錐的底面半徑為r,則27r=12兀><4,4，.r=1,，圓錐的高h(yuǎn)=4212=屈.V圓錐=；，h=%/cm3）.338. 2tR2解析方法一設(shè)圓柱的軸與球的半徑的夾角為%則圓柱高為2RCOS”，圓柱底面半徑為Rsina,，S圓柱側(cè)=2兀Rsina2OSa=2TR2sin2a當(dāng)sin2a=1時(shí)，S圓柱側(cè)最大為2tR2此時(shí)，S球表一S圓柱側(cè)=4kR2-2tR2=2Ti

19、R2.方法二設(shè)圓柱底面半徑為r,則其高為2鄧產(chǎn).S圓柱側(cè)=242yJR2r2,S'圓柱側(cè)=4ttR2r2一：71r，.VR-r人一，m2令S圓柱側(cè)=0,得r=R.當(dāng)0<r<乎R時(shí)，S'>0；當(dāng)gR<r<R時(shí)，S'<0.當(dāng)=%時(shí),S圓柱側(cè)取得最大值2tR2此時(shí)S球表一S圓柱側(cè)=4tR22kR2=2tR2.方法三設(shè)圓柱底面半徑為r,則其高為252r2,S圓柱側(cè)=242jJr2-r2=4N2(r2r2jr2+(R2-r2)2222也)W47t2=2kR2(當(dāng)且僅當(dāng)r2=R2-r2,即r=,R時(shí)取'1當(dāng)r=R時(shí)，S圓柱側(cè)最大為2TR2.此時(shí)S球表一S圓柱側(cè)=4tR2-2kR2=2tR2.9 .解設(shè)圓柱的底面半徑為r,母線長為h,當(dāng)點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)時(shí)，三角形ABC的面積為r2,三棱柱ABCAiBiCi的體積為r2h,三棱錐AiABC的體積為1r2h,四棱錐AiBCCiBi的體積為產(chǎn)h