2019-2020年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(陜西預(yù)賽)試題含答案

1、2019-2020年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（陜西預(yù)賽）試題含答案、選擇題（每小題6分，共48分.給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1、已知集合 M =1,2,3,|,10A是M的子集，且A中各元素的和為8,則滿足條件的子集A共有（）A. 8個(gè)B. 7個(gè)C. 6個(gè)D. 5個(gè)2、在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組J_ -v/3x - y - 0（x - J3y + 2之0表示的平面區(qū)域的面積是（y . 0A吏 八.2B. ,3C. 2D. 2x33、設(shè)a,b,C是同一平面內(nèi)的三個(gè)單位向量，且a_Lb,則（Ca）（cb）的最大值是D. 1A.1、24、從1211,20這20個(gè)數(shù)中，任取3個(gè)不同的數(shù)，則這3

2、個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列的概率為1A.一51B.103C.191 D. 385、A,B是拋物線y=3-x2上關(guān)于直線x + y = 0對(duì)稱的相異兩點(diǎn)，則| AB |等于（A. 3B. 4C. 3 2D.6、如圖，在棱長(zhǎng)為則三棱錐M - BCD1的正四面體 ABCD中，G為ABCD的重心,的外接球的表面積為（7、8、A.二3B. 一 二2C.fD.設(shè)函數(shù)f (x) =x3+ax2+bx+c ( a,b,c均為非零整數(shù))f (a) =a3,A. -16設(shè)非負(fù)實(shí)數(shù)A. 2一3f（b）=b ,則c的值是（）M是線段AG的中點(diǎn),北6十/be十/ca的最小值為B. -4C. 4D.16a, b, c 滿足 ab

3、bc ca = a bB. 3C. -3D.22二、填空題（每小題8分，共32分）9、在數(shù)列an中，a4=1,a11=9,且任意連續(xù)三項(xiàng)的和都是15,則a201610、設(shè)m,n均為正整數(shù)，且滿足24m=n4,則m的最小值是.11、設(shè)f(x)、g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且f(x)+g(x)=2x,若又xw1,2,不等式af(x)+g(2x)之0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.設(shè)xwR,則函數(shù)f(x)=|2x1|十|3x2|+|4x3|+|5x4|的最小值為第二試、(本題滿分20分)設(shè)x,y均為非零實(shí)數(shù)，且滿足xsiny cos55xcos ysin 55 9 二=tan20(1)求

4、Y的值；(2)在AABC中，若tanc=y,求sin2A+2cosB的最大值.二、(本題滿分20分)已知直線l:y=J3x+4，動(dòng)圓O:x2+y2=r2(1<r<2),菱形ABCD的一個(gè)內(nèi)角為600,頂點(diǎn)A,B在直線l上，頂點(diǎn)C,D在圓。上，當(dāng)r變化時(shí)，求菱形ABCD的面積S的取值范圍.三、(本題滿分20分)如圖，圓Oi與圓。2相交于P,Q兩點(diǎn)，圓Oi的弦PA與圓。2相切，圓O2的弦PB與圓Oi相切，直線PQ與APAB的外接圓O交于另一點(diǎn)R.求證：PQ=QR.1一.四、(本題滿分30分)設(shè)函數(shù)f(x)=lnx+a(1),a=R,且f(x)的最小值為0,x(1 )求a的值；(2 )已

5、知數(shù)列an滿足a1 = 1 ,an 由=f (an)+2(ne N+),Sn=E十區(qū)】十區(qū)】十I。+bn，其中m表示不超過(guò)m的最大整數(shù).求Sn.五、（本題滿分30分）設(shè)a,b,c為正實(shí)數(shù)，且滿足abc=1,對(duì)任意整數(shù)n之2,證明:2016年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西賽區(qū)預(yù)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說(shuō)明：1 .訐閱試卷時(shí)，清依播本訐分標(biāo)一試第一題只議6分扣0分兩襠：第二題只設(shè)8分或0分兩格；二試第一、二、三題5分為一個(gè)檔次，第四、五題10分為一個(gè)檔次。不要再增加“它中間檔次。2 .加臬先生的解笨方法和本弊軍不同.只關(guān)思珞合理,步履正，在評(píng)點(diǎn)計(jì)可拿累本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)時(shí)分移次評(píng)分。第一試一、選擇題:本題共8小

6、地，每小題6分，共48分.在每小U給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1 .已知集合1,2,3,1O|,A是"的子集.且d中各元京的和為8,則褥足條件的子集.4共有（）A.8個(gè)B.7個(gè)U6個(gè)D.5個(gè)解C元索和為8的子集A行：|8|1,7|,|2,6i,13.51.1.2,51/1,3,41,共6個(gè).B-y<0.2 .在平面直角坐你系中,不等式組X-舟.2,0,表示的平面區(qū)域的面積是（）y>0A亨B.萬(wàn)C.2D.2JT解：B.不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形的內(nèi)部（包括邊界），火中三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是4（-2,0）、。（0.0）、8（1篇）.易知,分。8的面積=3

7、 .設(shè)%人c是同一平面內(nèi)的三個(gè)單位向量,且a_Lb.則（c-G（c-b）的最大值是（）A丘B(yǎng)l-"CG-1D.1tt：A.【方法1】因?yàn)?1,所以a-b=0.S6r顯.設(shè)向量。與。的夾角為乳則（c-a）（e-b）c'-c（a+b）”b«c2-Icl-lablcos=l&.當(dāng)且僅當(dāng)二-l,即0時(shí)等號(hào)成立.故（0）（C-»）的最大值為I后(力法2依題意,不妨設(shè)0=(l,O)、b=(O'l)、CN(cW>,si0,則(C-fl)*(c-ft)=(co»#-1)ccs$*»in0(sind-1)=+(co+sin。)=1-

8、&sin(8+學(xué)).故”in(e孑)=-l時(shí)c-a)(c")取得最大值，最大值為1立4.從1.2.,20這20個(gè)敗中.任取3個(gè)不同的數(shù),則這3個(gè)數(shù)構(gòu)成等是數(shù)列的假率為()A.yB得C-嗚解：D.從這20個(gè)數(shù)中任取3個(gè)數(shù),不同的以法共有弓=1140種.若取出的3個(gè)數(shù)aAc成等差數(shù)列.則。*c=%,所以%c同為奇數(shù),或同為偶數(shù).且%c確定后.6做之而定故所求假率為ps白5.4/是拋物線尸3-上關(guān)于直線”八0對(duì)稱的相異兩點(diǎn),則1481等于()A.3B.4C3&D.4W：G【方法1】因?yàn)辄c(diǎn)火8關(guān)于宜級(jí)”尸。對(duì)你，所以L=l.設(shè)直線,48的方程為y=-6,代人3-,得2一二。.

9、由4=»1-4(5-3)0,得6畢.4設(shè)4(，九)、8(。,力),A8的中點(diǎn)為的(凝,為)，則&與X«-y.從而&*6=6又點(diǎn)M(在直線、八0上，所以-；.6-；=0.即6=1將6=1代人,得/"-2=0,解得/=-2,/=1.所以4(-2.-1)網(wǎng)1,2).故認(rèn)例=3幾【方法2因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于亶線z*y0對(duì)稱,所以可設(shè)4(a»)、8(-4t-a).又點(diǎn)兒打在瓶物成上,所以亡丁解叫或1;I-a»3(-6)lb,一I：os2.不妨設(shè)4(-2,-1)/(1,2),則從m=3幾A6 .如圖I,在校長(zhǎng)為I的iE四面體人成出中.G為48。的重心

10、，"是/'我段4c的中點(diǎn).則三核譙,M-5C0的外接球的表面枳為()/MA兒"B寺C.D.誓IB：B.如圖1,連結(jié)EC.因?yàn)镚為正ABCD的重心.所以4G«L平面8CD.從2016笫 2 黃(共 8 寅而AC在KMGB中,48=1=京x§二則AC=，A爐-BC'=弋.干是.，"G4c=亞在m-WGff中,M8=/MG2”/=§.從而,MC=MB=冬所以ME2MC2=1'=8C所以A/W1MC.m.MCLMD9MDL.MB.所以三校餓M-BCD的外接球的宜涇等于以MBJfCJtD為技的正力體的時(shí)角戰(zhàn)長(zhǎng)設(shè)三校馀W-

11、flCD的外接球半徑為七則2R=QMB專故外接球的表血稅S=4萬(wàn)*=ir.7 .設(shè)函數(shù)/任“"&«均為非零整數(shù)).若/(0)=J=6,則c的值是()A.-16B.-4G4D.16解：D.設(shè)g(«)=/(*)-p二"?+k+c.則由/(")=。'/(5),得g(")=g(6)=0.所以。、6為方程g(x)=0的兩個(gè)根，則。+6口曲=W消去6.得-六1=-(a2*l)(a-l)-三f因?yàn)閏為整數(shù),所以a+1=£1.即。=0(含去)或。=-2.故c=16,8 .設(shè)非負(fù)實(shí)數(shù)a、6、c滿足必+60+<»

12、=。+6+<:>0,則7/+/衛(wèi)+，£的最小值為()A.2B.3C#D.26解八不妨設(shè)由均值不等式.得Yab+-/be7)n("+6)Yob(6+c)-/be*(c4-a)>fca(cJab+aJbe>6>/M(q+6)Tai(fe-¥c)y/bc-(c*a)-/caN2/ab-/ab2Ybcy/ic+2Teay/ca«2(aA+ca)當(dāng)IL僅當(dāng)。=0且a=6時(shí)，等號(hào)成立.乂"3*6c+B=a+6+e>0,所以-/abYbc+-/ca2.由c=0va=b.ab6c+e=a+6+c,得。=6=2tc=0.故當(dāng)a

13、、6、c中有購(gòu)個(gè)為2,一個(gè)為0時(shí).依A*Q取得敢小值為X二、填空題：本題共4小題，短小JS8分，共32分將答案填在題中的橫段上.9 .在數(shù)列a；中,。4=1.a”=9,且任意連續(xù)三項(xiàng)的和都是15,則36=斛：5.依陽(yáng)急，對(duì)任意nwN.a.+a.1*ae<2«aa>l*4-嚴(yán)I5.所以a.1=Q.從而,"!»a43I=Oii=90q=15-al-a2=5.故。場(chǎng)二e»o>=5.10 .設(shè)m/均為正整數(shù)，口滔足24m=廠則m的最小值是.解：54.由H4=24m=2,x3xmJ9m的設(shè)小值為2X3=54.11 .設(shè)，“)/小)分別是定義在R上

14、的奇函和偶函數(shù),且Ax)，G02,若對(duì)”*1.2】不式次x)+g(2x)。0恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.解：18.因?yàn)樗?I-X)&(-X)=2：即-4“)*f(x)=2由、Wg(x)二號(hào)二,MGM號(hào)二由研D，6(2«)30.得a(2'-2”)令W,則由xsl,2,得“借茅，旦2力+2也=，+2.所以由得對(duì)“號(hào)爭(zhēng)他成立.因?yàn)楹瘮?shù)f在怎掌上單調(diào)遞增,所以當(dāng)，時(shí).Q吟).噂所以"這口|J"'-gOoIX設(shè)xwR,則函數(shù)/(%)=-IIM3%-2I+I4X-3I+15”-41的最小值為.12a4/(1)=2lx-yl+3lz-于I+4lx-不

15、I+51%-了I=2(x'"1+3(+xl)*4lx-12l(x-y)-(«-y)l*3l(*-y)-(x-y)l4142=2I-tz-l31-I=1.，/AJ當(dāng)且僅當(dāng)(4-/)("-專)他(“/)(”-今0逐-90.即、4時(shí),等號(hào)成立.故第二試一、(本題滿分20分)xsiny4-ycoe設(shè)人丁均為非零實(shí)數(shù)旦滿足一三5；=tan.ir,.it/uxcc*y»in2016年全H片中“多U震陜者霧久憒賽E超參劣答*第4 «(«««)(1)求十的值;(2)在MAC中，若tanC=j求sin2A*2cosB的最大值

16、.tun晟工解：(1)由已知得5xa9it二Mn.I-工tan20tantan。Q令5Mtan凡則-=tan,BPUn(*y)=n1-tan仇an-y-所以G手=A/得，即子X(jué)AsZ).故工=Un8=tan(A">。)=麗。=1.10分x44(2)由(1)得UmCL因?yàn)?<C<凡所以。=今.從而/券，則乂,亨-2B.15分442所以sinZ44-2co6fi=sin(竽-28)*2c88=-c<m28+2co6»n-2con'fl4-2cosBI=-2(cob8-)2去故當(dāng)=+,即"二孕時(shí),sin24取得最大值為"I&qu

17、ot;.20分二、(本題滿分20分)已知直線1：八屆+4,動(dòng)圓0：/+尸=八1<了<2).菱形48C0的一個(gè)內(nèi)角為60。,頂點(diǎn)人月在直紋/上，頂點(diǎn)C、D在圜。上.當(dāng)，變化時(shí)，求菱形ABCD的面積S的取值范圍.解：因?yàn)榱庑蜛BCD有一個(gè)內(nèi)角為60。,所以dACD或MCD為等邊三角，不妨設(shè)AACD為等邊三角形，如圖2所示.因?yàn)閳A心0到宜線I的足離為2>r,所以直線/與圓0初離.5分設(shè)直線CD的萬(wàn)卷為y6,則貪戕/與CO的距離為d-寫生.又圓心0到直線CD的距離為孚，所以ICD=2"T號(hào))”7577：由d=/ICDI.得亨？圖210分化簡(jiǎn)得川-26+4=3，.因?yàn)?<

18、;r<2,所以3<6'-26*4<12解得-2<6<1.或I<r<4.又S=2Ssg=2x亨IC0l'=2x亨x(%產(chǎn)/=f(6_4)'.15分因?yàn)楹瘮?shù)S=/（6-4）?在（-2.1）和（1.4）上分別單兩遞減，所以菱形ABC。的面枳S的取他范也為（0./而弘冬5,6萬(wàn)）20分三、（本題滿分20分）M3如圖3,財(cái)6與惻。？相交于八Q兩點(diǎn).倒。1的弦E4與IR1?！肯嗲校Z。？的蘢/山與圓儀相切在尊盟£APA8的外接BJ0交于另一點(diǎn)R.求證:PQuQR.證法I:如圖3,連結(jié)分別交PQ、PO于點(diǎn)MJV,則OtO1±

19、;。.且M為PQ的中點(diǎn).連結(jié)Pd、PO】、OO、OO2、OQ、OR,5因?yàn)?少與圓。？相切.所以/乂LP?！庇諴A為冽0,與胭0的公共弦，所以PA±0,0.所以P0J/0。10分同理,POiO】O.所以四邊形PO.OO,為平行四邊形.從而,N為PO的中點(diǎn).乂M為PQ的中點(diǎn),所以MNOQ,即aO1Oe15分因?yàn)椤?O,«LPQ,所以0QLPQ,即儀，摩.又OP=OR,故Q為PR的中點(diǎn)，件PQ=QR.20分證法2：如圖4,連結(jié)*、8Q、AR、8R.因?yàn)镻A與圓02相切，P3與101。，相切，所以乙APQ=48Q.乙/MQ=K8PQ.5分所以A/MQsWQ.所以督,留'即

20、"0=4Q8Q.10分又乙AQR=LAPQ+乙PAQ=LAPQ+LBPQ=XAPB、乙QRA=LPRA乙尸8A,所以（M/fsAR48.同理,AQR0S4RW.15分所以AM/?saqm.明4所暝器嚼，即故/V2=Q*,即PQ=QR.20分四、（本題滿分30分）設(shè)函數(shù)/（X）wR,且“）的最小值為0.（D求0的值;（2）已知數(shù)列滿足"nl,。.,，/3.）+2（nwN.）.設(shè)S.=%-aj,其中析表示不超過(guò)實(shí)數(shù)m的最大整數(shù).求S.2016年全H高中數(shù)學(xué)取賽族內(nèi)真區(qū)假寥鼠0專§答*不6天（再8頁(yè)）解:/=+-亍=寧."0.當(dāng)aWO時(shí)，(幻>0,明/(

21、外在(0.8)上年調(diào)遞增,無(wú)蛀小值,不合題總.當(dāng)"0時(shí)若0<“<",則八")<O;x>a.WJ/(x)>0.所以函數(shù)/(、)在(OR上單調(diào)遞城,在(%8)上單調(diào)遞增所以/(*).=<>)=池-"，1.設(shè)g(")=lna-al(a>0)則g()=-1=aa若0<。<1.則屋(a)>0;若。>1,則，(G<0.所以函數(shù)g(a)在(0.1)上取間遞功.在(I.8)上單調(diào)遞減.所以g(a)Wg(l)=0.當(dāng)11僅當(dāng)。=1時(shí),等號(hào)成立.故當(dāng)0=1時(shí)/(%)取得最小低0.I。分(2)由(I)知4")=1皿*,-1.所以。.|=/(4)+2=ln