微積分函數(shù)、極限、連續(xù)ppt課件

1、1一、什么是高等數(shù)學(xué)一、什么是高等數(shù)學(xué) ?初等數(shù)學(xué) 研究對(duì)象為常量常量, 以靜止觀點(diǎn)研究問(wèn)題.高等數(shù)學(xué) 研究對(duì)象為變量變量, 運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)和辯證法辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué).數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡兒的變數(shù)變數(shù).有了變數(shù) , 運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué),有了變數(shù)，辯證法辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué) ,有了變數(shù) , 微分和積分微分和積分也就立刻成為必要的了,而它們也就立刻產(chǎn)生. 恩格斯恩格斯2哪些主要的科學(xué)問(wèn)題呢?有四種主要類型的問(wèn)題.Archimedes3 第一類問(wèn)題 已知物體移動(dòng)的距離表為時(shí)間的函數(shù)的公式，求物體在任意時(shí)刻的速度和加速度；反過(guò)來(lái)，已知物體的加速度表為時(shí)間的函數(shù)的公式，求速度和距離。4 困難在于：十七世紀(jì)所涉

2、及的速度和加速度每時(shí)每刻都在變化。例如，計(jì)算瞬時(shí)速度，就不能象計(jì)算平均速度那樣，用運(yùn)動(dòng)的時(shí)間去除移動(dòng)的距離，因?yàn)樵诮o定的瞬刻，移動(dòng)的距離和所用的時(shí)間都是 0，而 0 / 0 是無(wú)意義的。但根據(jù)物理學(xué)，每個(gè)運(yùn)動(dòng)的物體在它運(yùn)動(dòng)的每一時(shí)刻必有速度，是不容懷疑的。 第一類問(wèn)題5 求曲線的切線。 這個(gè)問(wèn)題的重要性來(lái)源于好幾個(gè)方面：純幾何問(wèn)題、光學(xué)中研究光線通過(guò)透鏡的通道問(wèn)題、運(yùn)動(dòng)物體在它的軌跡上任意一點(diǎn)處的運(yùn)動(dòng)方向問(wèn)題等。 第二類問(wèn)題6 第二類問(wèn)題 困難在于：曲線的“切線”的定義本身就是一個(gè)沒(méi)有解決的問(wèn)題。 古希臘人把圓錐曲線的切線定義為“與曲線只接觸于一點(diǎn)而且位于曲線的一邊的直線”。這個(gè)定義對(duì)于十七世

3、紀(jì)所用的較復(fù)雜的曲線已經(jīng)不適應(yīng)了。7 第三類問(wèn)題 求函數(shù)的最大最小值問(wèn)題。 十七世紀(jì)初期，伽利略斷定，在真空中以 角發(fā)射炮彈時(shí)，射程最大。 研究行星運(yùn)動(dòng)也涉及最大最小值問(wèn)題。458 困難在于：原有的初等計(jì)算方法已不適于解決研究中出現(xiàn)的問(wèn)題。但新的方法尚無(wú)眉目。 第三類問(wèn)題9 第四類問(wèn)題 求曲線的長(zhǎng)度、曲線所圍成的面積、曲面所圍成的體積、物體的重心、一個(gè)體積相當(dāng)大的物體作用于另一個(gè)物體上的引力。10 困難在于：古希臘人用窮竭法求出了一些面積和體積，盡管他們只是對(duì)于比較簡(jiǎn)單的面積和體積應(yīng)用了這個(gè)方法，但也必須添加許多技巧，因?yàn)檫@個(gè)方法缺乏一般性，而且經(jīng)常得不到數(shù)值的解答。 窮竭法先是被逐步修改，后

4、來(lái)由微積分的創(chuàng)立而被根本修改了。 第四類問(wèn)題111. 分析基礎(chǔ): 函數(shù) , 極限, 連續(xù) 2. 微積分學(xué): 一元微積分3. 向量代數(shù)與空間解析幾何4. 無(wú)窮級(jí)數(shù)5. 常微分方程多元微積分121. 認(rèn)識(shí)高等數(shù)學(xué)的重要性, 培養(yǎng)濃厚的學(xué)習(xí)興趣.2. 學(xué)數(shù)學(xué)最好的方式是做數(shù)學(xué).聰明在于學(xué)習(xí)聰明在于學(xué)習(xí) , 天才在于積累天才在于積累 .學(xué)而優(yōu)則用學(xué)而優(yōu)則用 , 學(xué)而優(yōu)則創(chuàng)學(xué)而優(yōu)則創(chuàng) .由薄到厚由薄到厚 , 由厚到薄由厚到薄 .馬克思馬克思 恩格斯恩格斯要辨證而又唯物地了解自然 ,就必須熟悉數(shù)學(xué).一門科學(xué), 只有當(dāng)它成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí),才能達(dá)到真正完善的地步 .華羅庚華羅庚,),(Rxbxaxba,Rxb

5、xaxba,),(RxaxxaU,0),(RxaxxaUo),()(DxxfyyDf.)0(, 1)0(,0)0(, 1)sgn(xxxxxyo-11.)(, 0)(, 1)(nTtnTttyxoy) 1(1) 10)(2xxxxxf（xyo26且0)0(f,)()(1xcxfbxfa,ba 證明)(xf證證: 令,1xt 則,1tx t ctfbfat)()(1由xcxfbxfa)()(1xcxfbfax)()(1消去),(1xf得)0()(22xxaxbabcxf),()(xfxf顯然, 0)0(f又)(xf故0 x時(shí)其中a, b, c 為常數(shù), 且為奇函數(shù) .為奇函數(shù) .1. 設(shè)27),

6、(, )(xxfy的圖形與,ax 均對(duì)稱, 求證)(xfy 是周期函數(shù).)(babx證證: 由 )(xaf)(xf的對(duì)稱性知),(xaf )(xbf)(xbf于是)(xf)(axaf)(axaf)2(xaf)2(bxabf)2(bxabf)(2abxf故)(xf是周期函數(shù) , 周期為)(2abTy = lnu ， u = tanx 。y = u8 ，u = sinv ， v = 8x+sinx 。37符號(hào)函數(shù)xysgn當(dāng) x 0,1當(dāng) x = 0,0當(dāng) x N 時(shí), 總有記作此時(shí)也稱數(shù)列收斂 , 否則稱數(shù)列發(fā)散 .幾何解釋 :aaa)(axan)(Nn 即),(axn)(Nn axnnlim或

7、)(naxn1Nx2Nxaxn則稱該數(shù)列nx的極限為 a ,) 1(nnxnn證明數(shù)列nx的極限為1. 證證: 1nx1) 1(nnnn1,0欲使,1nx即,1n只要1n因此 , 取, 1N則當(dāng)Nn 時(shí), 就有1) 1(nnn故1) 1(limlimnnxnnnn45,) 1() 1(2nxnn證明.0limnnx證證:0nx0) 1() 1(2nn2) 1(1n11n, ) 1 ,0(欲使,0nx只要,11n即n取, 11N則當(dāng)Nn 時(shí), 就有,0nx故0) 1() 1(limlim2nxnnnn,0111nnnx故也可取1N也可由2) 1(10nnx. 11N 與 有關(guān), 但不唯一.不一定

8、取最小的 N .說(shuō)明說(shuō)明: 取11N4623baab22abnabax證證: 用反證法.axnnlim及,limbxnn且. ba 取,2ab因,limaxnn故存在 N1 , ,2abnax從而2banx同理, 因,limbxnn故存在 N2 , 使當(dāng) n N2 時(shí), 有2banx1. 收斂數(shù)列的極限唯一收斂數(shù)列的極限唯一.使當(dāng) n N1 時(shí), 2ba2ab2ab假設(shè)22abnabbxnbax223ab,2abnbx從而2banx矛盾.因此收斂數(shù)列的極限必唯一.則當(dāng) n N 時(shí), ,max21NNN 取故假設(shè)不真 !nx滿足的不等式47說(shuō)明說(shuō)明: 此性質(zhì)反過(guò)來(lái)不一定成立 . 例如,1)1(n

9、雖有界但不收斂 .數(shù)列Axfx)(lim)()(xAxfAxfx)(lim50XXAAoxy)(xfy A定義定義 . 設(shè)函數(shù)xxf當(dāng))(大于某一正數(shù)時(shí)有定義,若,0X,)(,AxfXx有時(shí)當(dāng)則稱常數(shù)時(shí)的極限,Axfx)(lim)()(xAxf當(dāng)或幾何解釋幾何解釋:AxfA)(XxXx或記作直線 y = A 為曲線)(xfy 的水平漸近線,0 xxf當(dāng))(A 為函數(shù)51x1x11oyxxxgxxf11)(,1)(直線 y = A 仍是曲線 y = f (x) 的漸近線 .Axfx)(lim,0,0X當(dāng)Xx 時(shí), 有 Axf)(Axfx)(lim,0,0X當(dāng)Xx時(shí), 有 Axf)(幾何意義幾何意

10、義 :例如，都有水平漸近線;0yxxxgxf21)(,21)(都有水平漸近線. 1y又如，oxyx21x21點(diǎn)點(diǎn)附近有定義附近有定義x0Axfxx)(lim0)()(0 xxAxf53)(xf在點(diǎn)0 x的某去心鄰域內(nèi)有定義 ,0,0當(dāng)00 xx時(shí), 有 Axf)(則稱常數(shù) A 為函數(shù))(xf當(dāng)0 xx 時(shí)的極限,Axfxx)(lim0或)()(0 xxAxf當(dāng)即,0,0當(dāng)),(0 xx時(shí), 有若記作 Axf)(Axfxx)(lim0幾何解釋幾何解釋:0 x0 xAAAx0 xy)(xfy 極限存在函數(shù)局部有界這表明: 55211lim21xxx證證:Axf)(2112xx21 x故,0取,當(dāng)1

11、0 x時(shí) , 必有2112xx因此211lim21xxx1 xxx1limxxarctanlimxxarctanlim022xxsinlim)1 (lim2xxxxsinlim21)1 (lim22xx5xx1lim0 xx1sinlim0 x1sin Axfxfxx)(lim)0(00)()(0 xxAxfAxfxfxx)(lim)0(00)()(0 xxAxf0, 10, 00, 1sgnxxxxo x y1-1 )00(f)(lim0 xfx1lim0 x1 )00(f)(lim0 xfx1) 1(lim0 xAxfxx)(lim0Axfxx)(lim0Axfxfxxxx)(lim)(l

12、im00Axfxf)0(0(00）610,10,00, 1)(xxxxxxf討論 0 x時(shí))(xf的極限是否存在 . xyo11 xy11 xy解解: 利用定理 3 .因?yàn)?(lim0 xfx) 1(lim0 xx1)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1顯然, )0()0( ff所以)(lim0 xfx不存在 .)2(2)2(2)2(10)(2xaxxaxxxf)(lim)02(2xffx)(lim) 02(2xffx)2(lim22axxa24xx10lim220,)(lim,)(limBxgAxf則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA定理定理 . 若,)(lim,

13、)(limBxgAxf則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA,)(lim,)(limBxgAxf且 B0 , 則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA66.4532lim21xxxx解解: x = 1 時(shí)3245lim21xxxx0312415124532lim21xxxx分母 = 0 , 分子0 ,但因67.125934lim22xxxxx解解: x時(shí),分子.22111125934limxxxxx分子分母同除以,2x則54分母“ 抓大頭抓大頭”原式68為非負(fù)常數(shù) )nmba,0(00mn 當(dāng)mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,

14、0,mn 當(dāng)mn 當(dāng)xxx39lim0)39(lim0 xxxx391lim0 xx61xxx1lim2xxxx211lim= -142lim222xxxx)2)(2()1)(2(lim2xxxxx43701.,)(lim,)(lim不存在存在若xgxf)()(limxgxf是否存在 ? 為什么 ?答答: 不存在 . 否則由)()()()(xfxgxfxg利用極限四則運(yùn)算法則可知)(limxg存在 , 與已知條件矛盾.?321lim2222nnnnnn解解: 原式22) 1(limnnnn)11(21limnn212.問(wèn)71. )1(lim2xxxx解法解法 1 原式 =xxxx1lim211

15、11lim2xx21解法解法 2 令,1xt tttt1111lim2021則原式 =22011limttt111lim20tt 0t72.0)1(lim33xaxx解解 : 令,1xt 則tatt33011lim001atatt3301lim01lim330att故1a因此1sinlim0 xxx741sincosxxx圓扇形AOB的面積1sinlim. 10 xxx證證: 當(dāng)即xsin21x21xtan21亦即)0(tansin2xxxx),0(2x時(shí)，)0(2 x, 1coslim0 xx1sinlim0 xxx顯然有AOB 的面積AOD的面積DCBAx1oxxxcos1sin1故有75

16、當(dāng)20 x時(shí)xxcos1cos102sin22x222x22x0)cos1(lim0 xxxxxtanlimttttx)tan(lim0tttttsinlimcos1lim00= -1ttttanlim0nnn21sin2limnnn2121sinlim=1xxx3sinlim0 xxx33sin3lim0 xxx33sinlim30=377.tanlim0 xxx解解: xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim01例例. 求.arcsinlim0 xxx解解: 令,arcsinxt 則,sintx 因此原式tttsinlim0 1lim0

17、tttsin1xxxxxsin)sin(lim02sin)2cos(21lim0 xxxxx22sin)2cos(lim0 xxxxx22sinlim)2cos(lim00 xxxxxxxcos79nnnRcossinlim2Rn.cos1lim20 xxx解解: 原式 =2220sin2limxxx212121例例. 已知圓內(nèi)接正 n 邊形面積為證明: .lim2RAnn證證: nnAlimnnnnRnAcossin22R說(shuō)明說(shuō)明: 計(jì)算中注意利用1)()(sinlim0)(xxx20sinlimx2x2x21exxx)11 (limexxx10)1 (lim81exxx)1(lim1證證:

18、 當(dāng)0 x時(shí), 設(shè), 1nxn則xx)1 (111)1 (nnnn)1 (11nnn)1 (lim11 limn111)1 (nn111ne11)1 (limnnn1)1(lim11）（nnnneexxx)1(lim182當(dāng)x, ) 1( tx則,t從而有xxx)1 (lim1) 1(11)1 (limttt) 1(1)(limtttt11)1 (limttt)1 ()1(lim11tttte故exxx)1 (lim1說(shuō)明說(shuō)明: 此極限也可寫為ezzz1)1 (lim0時(shí), 令31(limxxxx）3)1(lim)1(limxxxxxxxxxx)11 (lime1xxx)21 (lim22)2

19、1 (limxxx2 e1)11 (limxxxxxx)211 (lim212)211(limxxx21e84limx.)cos(sinlim11xxxx解解: 原式 =2)cos(sinlim211xxxx2)sin1 (lim2xxx)sin1(2xexx22sinx2sin185例例. 求.1lim0 xaxx 解解: 令,1 xat則, )1(log txa因此原式)1(loglim0 ttat 1lim0 t)1(log1 ttaealog1 且0,0tx有有tatt10)1(loglim1 86lim0 x.)(coslim2csc0 xxx 解解: 原式 =xxx2sin1)1(

20、cos1lim0 xxx2sin1)2sin21(lim2 )2sin21(2x 21 e2cos212x 2sin212x 0)(lim0 xfxx, 0) 1(lim1xx, 01limxx, 03lim20 xxx,3lim20 xxx.313sinlim0 xxx91其中 為0 xx 時(shí)的無(wú)窮小量 . Axfxx)(lim0 Axf)(,證證:Axfxx)(lim0,0,0當(dāng)00 xx時(shí),有 Axf)(Axf)(0lim0 xx對(duì)自變量的其它變化過(guò)程類似可證 .0)()(lim)1(0 xgxfxx)()(lim)2(0 xgxfxx0)()(lim)3(0kxgxfxx94)(o0

21、x時(shí)3x26xxsin;xxtan;xxarcsinx20cos1limxxx220sin2limxx又如又如 ，22)(4x21故0 x時(shí)xcos1是關(guān)于 x 的二階無(wú)窮小,xcos1221x且03lim20 xxx,3lim20 xxx即, 639lim23xxx2211xax),0(1122xxax22011limxaxx) 11(11lim2220axxaxx2a, 1),()(),()(2121xgxgxfxf)()(lim22xfxg)()(lim)()(lim2211xfxgxfxg.3sinlim30 xxxx0 xxxxxxxxx3lim3sinlim303031lim20

22、xx.3198.sintanlim30 xxxx30limxxxx原式30)cos1 (tanlimxxxx2132210limxxxx例例1. 求解解: 原式 231x221x.1cos1)1 (lim3120 xxx解解:,0時(shí)當(dāng)x1)1 (312 x231x1cosx221x0limx原式32,)(lim0 xfxx0lim0yxx0f(x0)x0+xf(x0+x)yf(x)xxxysin)sin(2sin)2cos(2xxxyx0lim2sinlim)2cos(lim200 xxxxx, 0)()(lim00 xfxfxx)()(lim00 xfxfxx)lim()()(lim000

23、xfxfxfxxxx)()(lim)(lim)(0000 xfxfxfxxfxxxx連續(xù)在1081) 1 (1)(lim1fxfx顯然1x為其可去間斷點(diǎn) .1,1,)(21xxxxfyxoy2110,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11, 1)0(f1)0(f0 x為其跳躍間斷點(diǎn) .,1sin)(xxfyxxgytan)( x=0=0為振蕩間斷點(diǎn)為振蕩間斷點(diǎn)為無(wú)窮間斷點(diǎn)為無(wú)窮間斷點(diǎn)xyxy1sin0 xytan2xyo2x1101. 求的間斷點(diǎn), 并判別其類型.解解:) 1)(1(sin)1 ()(xxxxxxf) 1)(1(sin)1 (lim1xxxxxx1sin21 x = 1

24、為第一類可去間斷點(diǎn))(lim1xfx x = 1 為第二類無(wú)窮間斷點(diǎn), 1)(lim0 xfx, 1)(lim0 xfx x = 0 為第一類跳躍間斷點(diǎn)xexyln112xy1sin是由連續(xù)函數(shù)鏈),(,sinuuy,1xu *Rx因此xy1sin在*Rx上連續(xù) .復(fù)合而成 ,xyoxy1sin113設(shè))()(xgxf與均在,ba上連續(xù), 證明函數(shù))(, )(max)(xgxfx 也在,ba上連續(xù).證證:21)(x)()(xgxf)()(xgxf)()()(21xgxfx)()(xgxf根據(jù)連續(xù)函數(shù)運(yùn)算法則 , 可知)(, )(xx也在,ba上連續(xù) .)(, )(min)(xgxfx 115.)1 (loglim0 xxax解解: 原式xxax1)1 (loglim0ealogaln1例例. 求.1lim0 xaxx解解: 令, 1xat則, )1 (logtxa原式)1 (loglim0ttataln說(shuō)明說(shuō)明: 當(dāng), ea 時(shí), 有0 x)1ln(x1xexx116.)21 (limsin30 xxx解解:原式ex0lim)21ln(sin3xxex0limx36e說(shuō)明說(shuō)明: 若,0)(lim0 xuxx則有)()(1lim0 xvxxxu,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxx