教師版 高考每日一題⑧其他類(lèi)型題.doc

1、老師版 高考每日一題其他類(lèi)型題22(20_ 課標(biāo)全國(guó)，理 22)(本小題總分值 10 分)選修 4-1：幾何證明選講 如圖，CD 為ABC 外接圓的切線(xiàn)，AB 的延長(zhǎng)線(xiàn)交直線(xiàn) CD 于點(diǎn) D，E，F(xiàn) 分別為弦 AB 與弦 AC上的點(diǎn)，且 BC·AEDC·AF，B，E，F(xiàn)，C 四點(diǎn)共圓 (1)證明：CA 是ABC 外接圓的直徑； (2)假設(shè) DBBEEA，求過(guò) B，E，F(xiàn)，C 四點(diǎn)的圓的面積與ABC 外接圓面積的比值 解：(1)證明：因?yàn)?CD 為ABC 外接圓的切線(xiàn)， 所以∠DCB∠A，由題設(shè)知BC DCFA EA= ， 故CDBAEF，所以

2、∠DBC∠EFA.因?yàn)?B，E，F(xiàn)，C 四點(diǎn)共圓， 所以∠CFE∠DBC， 故∠EFA∠CFE90°.所以∠CBA90°，因此 CA 是ABC 外接圓的直徑 (2)連結(jié) CE，因?yàn)?amp;ang;CBE90°，所以過(guò) B，E，F(xiàn)，C 四點(diǎn)的圓的直徑為 CE，由 DBBE，有 CEDC，又 BC 2 DB·BA2DB 2 ，所以 CA 2 4DB 2 BC 2 6DB 2 .而 DC 2 DB·DA3DB 2 ，故過(guò) B，E，F(xiàn)，C

3、四點(diǎn)的圓的面積與ABC 外接圓面積的比值為12.23(20_ 課標(biāo)全國(guó)，理 23)(本小題總分值 10 分)選修 4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 動(dòng)點(diǎn) P，Q 都在曲線(xiàn) C：2cos ,2sin_ ty t= ìí=î(t 為參數(shù))上，對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為 tα 與 t2α(0α2π)，M 為 PQ 的中點(diǎn) (1)求 M 的軌跡的參數(shù)方程； (2)將 M 到坐標(biāo)原點(diǎn)的間隔 d 表示為 α 的函數(shù)，并判斷 M 的軌跡是否過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn) 解：(1)依題意有 P(2cos &alpha

4、;，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)， 因此 M(cos αcos 2α，sin αsin 2α) M 的軌跡的參數(shù)方程為cos cos2 ,sin sin2_ya aa a= + ìí= +î(α 為參數(shù)，0α2π) (2)M 點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的間隔 2 22 2cos d _ y a = + = + (0α2π) 當(dāng) &

5、amp;alpha;π 時(shí)，d0，故 M 的軌跡過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn) 24(20_ 課標(biāo)全國(guó)，理 24)(本小題總分值 10 分)選修 4-5：不等式選講 設(shè) a，b，c 均為正數(shù)，且 abc1，證明：(1)abbcac≤13； (2)2 2 21a b cb c a+ + ³ .解：(1)由 a 2 b 2 ≥2ab，b 2 c 2 ≥2bc，c 2 a 2 ≥2ca， 得 a 2 b 2 c 2 ≥abbcca.由題設(shè)得(abc) 2 1，即 a 2 b 2 c 2 2ab2bc2ca1.所以 3(abbc

6、ca)≤1，即 abbcca≤13.(2)因?yàn)?2ab ab+ ³ ，22bc bc+ ³ ，22ca ca+ ³ ， 故2 2 2( )a b ca b cb c a+ + + + + ≥2(abc)， 即2 2 2a b cb c a+ + ≥abc.所以2 2 2a b cb c a+ + ≥1.22(20_ 課標(biāo)全國(guó)，理 22)(本小題總分值 10 分)選修 4-1：幾何證明選講 如圖，直線(xiàn) AB 為圓的切線(xiàn)，切點(diǎn)為 B，點(diǎn) C 在圓上，∠ABC 的角平分線(xiàn) BE 交圓于

7、點(diǎn) E，DB 垂直 BE 交圓于點(diǎn) D.(1)證明：DBDC； (2)設(shè)圓的半徑為 1，BC 3 ，延長(zhǎng) CE 交 AB 于點(diǎn) F，求BCF 外接圓的半徑 解：(1)證明：連結(jié) DE，交 BC 于點(diǎn) G.由弦切角定理得，∠ABE∠BCE.而∠ABE∠CBE，故∠CBE∠BCE，BECE.又因?yàn)?DB⊥BE， 所以 DE 為直徑，∠DCE90°， 由勾股定理可得 DBDC.(2)由(1)知，∠CDE∠BDE，DBDC， 故 D

8、G 是 BC 的中垂線(xiàn)，所以 BG32.設(shè) DE 的中點(diǎn)為 O，連結(jié) BO，那么∠BOG60°.從而∠ABE∠BCE∠CBE30°， 所以 CF⊥BF，故 RtBCF 外接圓的半徑等于32.23(20_ 課標(biāo)全國(guó)，理 23)(本小題總分值 10 分)選修 4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 曲線(xiàn) C 1 的參數(shù)方程為4 5cos ,5 5sin_ ty t= + ìí= +î(t 為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，_ 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn) C 2 的極坐標(biāo)方程為 &

9、amp;rho;2sin θ.(1)把 C 1 的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程； (2)求 C 1 與 C 2 交點(diǎn)的極坐標(biāo)(ρ≥0,0≤θ2π) 解：(1)將4 5cos ,5 5sin_ ty t= + ìí= +î消去參數(shù) t，化為普通方程(_4) 2 (y5) 2 25， 即 C 1 ：_ 2 y 2 8_10y160.將cos ,sin_yr qr q= ìí=î代入 _ 2 y 2 8_10y160 得 ρ 2 8&

10、amp;rho;cos θ10ρsin θ160.所以 C 1 的極坐標(biāo)方程為 ρ 2 8ρcos θ10ρsin θ160.(2)C 2 的普通方程為 _ 2 y 2 2y0.由2 22 28 10 16 0,2 0_ y _ y_ y yì + - - + =í+ - =î 解得1,1_y= ìí=î或0,2._y= ìí=î 所以 C 1 與 C 2 交點(diǎn)的

11、極坐標(biāo)分別為π2,4æ öç ÷è ø，π2,2æ öç ÷è ø.24(20_ 課標(biāo)全國(guó)，理 24)(本小題總分值 10 分)選修 4-5：不等式選講 函數(shù) f(_)|2_1|2_a|，g(_)_3.(1)當(dāng) a2 時(shí)，求不等式 f(_)g(_)的解集； (2)設(shè) a1，且當(dāng) _∈1,2 2a é ö-÷êë ø時(shí)，f(_)≤g(_)，求 a 的取值范圍

12、解：(1)當(dāng) a2 時(shí)，不等式 f(_)g(_)化為|2_1|2_2|_30.設(shè)函數(shù) y|2_1|2_2|_3， 那么 y15 , ,212, 1,23 6, 1._ _ _ _ì -<ïïï - -£ £íï- > ïïî 其圖像如下圖從圖像可知，當(dāng)且僅當(dāng) _&isin;(0,2)時(shí)，y0.所以原不等式的解集是_|0_2 (2)當(dāng) _&isin;1,2 2a é ö-÷êë ø時(shí)，f(_)1a.不

13、等式 f(_)&le;g(_)化為 1a&le;_3.所以 _&ge;a2 對(duì) _&isin;1,2 2a é ö-÷êë ø都成立 故2a- &ge;a2，即43a £ .從而 a 的取值范圍是41,3æ ù-çúè û.7 21(20_ 福建，理 21)此題設(shè)有(1)、(2)、(3)三個(gè)選考題，每題 7 分，請(qǐng)考生任選 2 題作答，總分值 14 分假如多做，那么按所做的前兩題計(jì)分作答時(shí)，先用 2B 鉛筆在答題卡上把所選題目

14、對(duì)應(yīng)題號(hào)右邊的方框涂黑，并將所選題號(hào)填入括號(hào)中 (1)(本小題總分值 7 分)選修 4-2：矩陣與變換 直線(xiàn) l：a_y1 在矩陣1 20 1Aæ ö= ç÷è ø對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本€(xiàn) l&prime;：_by1.務(wù)實(shí)數(shù) a，b 的值； 假設(shè)點(diǎn) P(_ 0 ，y 0 )在直線(xiàn) l 上，且0 00 0_ _Ay yæ ö æ ö=ç ÷ ç ÷è ø è ø，求點(diǎn) P 的坐標(biāo) 解：設(shè)直線(xiàn) l：a_y1 上任

15、意點(diǎn) M(_，y)在矩陣 A 對(duì)應(yīng)的變換作用下的像是 M&prime;(_&prime;，y&prime;) 由1 2 20 1_ _ _ yy y y¢ + æ ö æ öæ ö æ ö= =ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷¢è ø è øè ø è ø， 得2 ,._ _ yy y¢ = + ì

16、í¢ =î 又點(diǎn) M&prime;(_&prime;，y&prime;)在 l&prime;上，所以 _&prime;by&prime;1，即 _(b2)y1， 依題意得=1,2=1,abìí+î解得=1,1.abìí= -î 由0 00 0_ _Ay yæ ö æ ö=ç ÷ ç ÷è ø è ø，得0 0 00 02 ,_ _ yy y

17、= + ìí=î解得 y 0 0.又點(diǎn) P(_ 0 ，y 0 )在直線(xiàn) l 上，所以 _ 0 1.故點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(1,0) 8 (2)(本小題總分值 7 分)選修 4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，_ 軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系點(diǎn) A 的極坐標(biāo)為&pi;24æ öç ÷è ø， ，直線(xiàn) l 的極坐標(biāo)方程為 &rho;&pi;cos4qæ ö-ç ÷è øa，且點(diǎn) A 在直線(xiàn) l 上 求

18、 a 的值及直線(xiàn) l 的直角坐標(biāo)方程； 圓 C 的參數(shù)方程為1 cos ,sin_yaa= + ìí=î(&alpha; 為參數(shù))，試判斷直線(xiàn) l 與圓 C 的位置關(guān)系 解：由點(diǎn) A&pi;2,4æ öç ÷è ø在直線(xiàn) &rho;&pi;cos4qæ ö-ç ÷è øa 上，可得 2 a = .所以直線(xiàn) l 的方程可化為 &rho;cos &theta;&rho;sin &thet

19、a;2， 從而直線(xiàn) l 的直角坐標(biāo)方程為 _y20.由得圓 C 的直角坐標(biāo)方程為(_1) 2 y 2 1， 所以圓 C 的圓心為(1,0)，半徑 r1， 因?yàn)閳A心 C 到直線(xiàn) l 的間隔 d12221， 所以直線(xiàn) l 與圓 C 相交 9 (3)(本小題總分值 7 分)選修 4-5：不等式選講 設(shè)不等式|_2|a(a&isin;N _)的解集為 A，且32&isin;A，12Ï A 求 a 的值； 求函數(shù) f(_)|_a|_2|的最小值 解：因?yàn)?2&isin;A，且12Ï A，所以32 <2a - ，且122a - ³ ， 解得12a

20、&le;32.又因?yàn)?a&isin;N _，所以 a1.因?yàn)閨_1|_2|&ge;|(_1)(_2)|3， 當(dāng)且僅當(dāng)(_1)(_2)&le;0，即1&le;_&le;2 時(shí)取到等號(hào)所以 f(_)的最小值為 3.10 22(20_ 遼寧，理 22)(本小題總分值 10 分)選修 41：幾何證明選講 如圖，AB 為 O 的直徑，直線(xiàn) CD 與 O 相切于 E，AD 垂直 CD 于 D，BC 垂直 CD 于 C，EF垂直 AB 于 F，連接 AE，BE.證明：(1)&ang;FEB&ang;CEB； (2)EF 2 AD·BC

21、.解：(1)證明：由直線(xiàn) CD 與 O 相切，得&ang;CEB&ang;EAB.由 AB 為 O 的直徑，得 AE&perp;EB， 從而 &ang;EAB&ang;EBF&pi;2； 又 EF&perp;AB，得&ang;FEB&ang;EBF&pi;2， 從而&ang;FEB&ang;EAB.故&ang;FEB&ang;CEB.(2)由 BC&perp;CE，EF&perp;AB，&ang;FEB&ang;CEB，BE 是公共邊， 得 RtBCE

22、RtBFE，所以 BCBF.類(lèi)似可證：RtADERtAFE，得 ADAF.又在 RtAEB 中，EF&perp;AB，故 EF 2 AF·BF， 所以 EF 2 AD·BC.11 23(20_ 遼寧，理 23)(本小題總分值 10 分)選修 44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系 _Oy 中，以 O 為極點(diǎn)，_ 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系圓 C 1 ，直線(xiàn) C 2 的極坐標(biāo)方程分別為 &rho;4sin &theta;，&pi;cos =2 24r qæ ö-ç ÷è ø.(1)求 C

23、 1 與 C 2 交點(diǎn)的極坐標(biāo)； (2)設(shè) P 為 C 1 的圓心，Q 為 C 1 與 C 2 交點(diǎn)連線(xiàn)的中點(diǎn)直線(xiàn) PQ 的參數(shù)方程為33,12_ t aby tì = +ïí= +ïî(t&isin;R 為參數(shù))，求 a，b 的值 解：(1)圓 C 1 的直角坐標(biāo)方程為 _ 2 (y2) 2 4， 直線(xiàn) C 2 的直角坐標(biāo)方程為 _y40.解2 22 4,4 0_ y_ yì +( - ) =í+ - =î得110,4,_y= ìí=î222,2._y= ì

24、7;=î 所以 C 1 與 C 2 交點(diǎn)的極坐標(biāo)為&pi;4,2æ öç ÷è ø，&pi;2 2,4æ öç ÷è ø.注：極坐標(biāo)系下點(diǎn)的表示不唯一 (2)由(1)可得，P 點(diǎn)與 Q 點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為(0,2)，(1,3) 故直線(xiàn) PQ 的直角坐標(biāo)方程為 _y20.由參數(shù)方程可得 12 2b aby _ = - + .所以1,21 2,2babì=ïïíï -+ =ï î 解得

25、 a1，b2.12 24(20_ 遼寧，理 24)(本小題總分值 10 分)選修 45：不等式選講 函數(shù) f(_)|_a|，其中 a1.(1)當(dāng) a2 時(shí)，求不等式 f(_)&ge;4|_4|的解集； (2)關(guān)于 _ 的不等式|f(2_a)2f(_)|&le;2 的解集為_(kāi)|1&le;_&le;2，求 a 的值 解：(1)當(dāng) a2 時(shí)，f(_)|_4|2 6, 2,2,2 4,2 6, 4._ _ _- + £ ìï< <íï- ³î 當(dāng) _&le;2 時(shí)，由 f(_)&a

26、mp;ge;4|_4|得2_6&ge;4，解得 _&le;1； 當(dāng) 2_4 時(shí)，f(_)&ge;4|_4|無(wú)解； 當(dāng) _&ge;4 時(shí)，由 f(_)&ge;4|_4|得 2_6&ge;4，解得 _&ge;5； 所以 f(_)&ge;4|_4|的解集為_(kāi)|_&le;1 或 _&ge;5 (2)記 h(_)f(2_a)2f(_)， 那么2 , 0,( ) 4 2 ,0 ,2 , .a _h _ _ a _ aa _ a- £ ìï= - < <íï³

27、;î 由|h(_)|&le;2，解得1 12 2a a_- +£ £ .又|h(_)|&le;2 的解集為_(kāi)|1&le;_&le;2， 所以11,212.2aa- ì=ïïí+ï=ï î于是 a3.13 22(20_ 重慶，理 22)(本小題總分值 12 分，(1)小問(wèn) 4 分，(2)小問(wèn) 8 分)對(duì)正整數(shù) n，記 I n 1,2，&bd;，n， ,n n nmP m I k Ikì ü= Î Îí 

28、53;î þ.(1)求集合 P 7 中元素的個(gè)數(shù)； (2)假設(shè) P n 的子集 A 中任意兩個(gè)元素之和不是整數(shù)的平方，那么稱(chēng) A 為“稀疏集”求 n 的最大值，使 P n 能分成兩個(gè)不相交的稀疏集的并 解：(1)當(dāng) k4 時(shí)，7mm Ikì üÎí ýî þ中有 3 個(gè)數(shù)與 I 7 中的 3 個(gè)數(shù)重復(fù)，因此 P 7 中元素的個(gè)數(shù)為 7 _7346.(2)先證：當(dāng) n&ge;15 時(shí)，P n 不能分成兩個(gè)不相交的稀疏集的并假設(shè)不然，設(shè) A，B 為不相交的 稀疏集，使 A&cup;BP n &

29、#202; I n ，不妨設(shè) 1&isin;A，那么因 132 2 ，故 3 Ï A，即 3&isin;B 同理 6&isin;A,10&isin;B，又推得 15&isin;A，但 1154 2 ，這與 A 為稀疏集矛盾 再證 P 14 符合要求，當(dāng) k1 時(shí)，14 14mm I Ikì üÎ =í ýî þ可分成兩個(gè)稀疏集之并，事實(shí)上，只要 取 A 1 1,2,4,6,9,11,13，B 1 3,5,7,8,10,12,14，那么 A 1 ，B 1 為稀疏集，且 A 1

30、&cup;B 1 I 14 .當(dāng) k4 時(shí)，集14mm Ikì üÎí ýî þ中除整數(shù)外剩下的數(shù)組成集1 3 5 13, , , ,2 2 2 2ì üí ýî þ，可分解為下面 兩稀疏集的并：21 5 9 11, , ,2 2 2 2Aì ü= íýî þ，23 7 13, ,2 2 2Bì ü= íýî þ.當(dāng) k9 時(shí)，集14mm

31、Ikì üÎí ýî þ中除正整數(shù)外剩下的數(shù)組成集1 2 4 5 13 14, , , , , ,3 3 3 3 3 3ì üí ýî þ，可分 解為下面兩稀疏集的并：31 4 5 10 13, , , ,3 3 3 3 3Aì ü= íýî þ，32 7 8 11 14, , , ,3 3 3 3 3Bì ü= íýî þ.最后，集14 14, , 1,4,9mC m I k I kkì ü= Î Î ¹í ýî þ且 中的數(shù)的分母均為無(wú)理數(shù)，它與 P 14 中的任 何其他數(shù)之和都不是整數(shù)，因此，令 AA 1 &cup;A 2 &cup;A 3 &cup;C，BB 1 &cup;B 2 &cup;B 3 ，那么 A 和 B 是不相 交的稀疏集，且 A&cup;BP 14 .綜上，所求 n 的最大值為 14.注：對(duì) P 14 的