高三數(shù)學極限與探索性問題的解題技巧

1、專題九 極限與探索性問題的解題技巧【命題趨向】綜觀歷屆全國各套高考數(shù)學試題，我們發(fā)現(xiàn)對極限的考查有以下一些知識類型與特點：1數(shù)學歸納法客觀性試題主要考查學生對數(shù)學歸納法的實質(zhì)的理解，掌握數(shù)學歸納法的證題步驟(特別要注意遞推步驟中歸納假設的運用和恒等變換的運用)解答題大多以考查數(shù)學歸納法內(nèi)容為主，并涉及到函數(shù)、方程、數(shù)列、不等式等綜合性的知識，在解題過程中通常用到等價轉(zhuǎn)化，分類討論等數(shù)學思想方法，是屬于中高檔難度的題目數(shù)學歸納法是高考考查的重點內(nèi)容之一.類比與猜想是應用數(shù)學歸納法所體現(xiàn)的比較突出的思想，抽象與概括，從特殊到一般是應用數(shù)學歸納法的一種主要思想方法. 在由n=k時命題成立，證明n=k

2、+1命題也成立時，要注意設法化去增加的項，通常要用到拆項、組合、添項、減項、分解、化簡等技巧，這一點要高度注意2. 數(shù)列的極限客觀性試題主要考查極限的四則運算法則、無窮遞縮等比數(shù)列所有項和等內(nèi)容，對基本的計算技能要求比較高，直接運用四則運算法則求極限解答題大多結(jié)合數(shù)列的計算求極限等，涉及到函數(shù)、方程、不等式知識的綜合性試題，在解題過程中通常用到等價轉(zhuǎn)化，分類討論等數(shù)學思想方法，是屬于中高檔難度的題目.數(shù)列與幾何：由同樣的方法得到非常有規(guī)律的同一類幾何圖形，通常相關幾何量構成等比數(shù)列，這是一類新題型3函數(shù)的極限此部分為新增內(nèi)容，本章內(nèi)容在高考中以填空題和解答題為主應著重在概念的理解，通過考查函數(shù)

3、在自變量的某一變化過程中，函數(shù)值的變化趨勢，說出函數(shù)的極限利用極限的運算法則求函數(shù)的極限進行簡單的運算利用兩個重要極限求函數(shù)的極限函數(shù)的連續(xù)性是新教材新增加的內(nèi)容之一.它把高中的極限知識與大學知識緊密聯(lián)在一起.在高考中，必將這一塊內(nèi)容溶入到函數(shù)內(nèi)容中去，因而一定成為高考的又一個熱點.4.在一套高考試題中，極限一般分別有1個客觀題或1個解答題，分值在5分12分之間5.在高考試題中，極限題多以低檔或中檔題目為主，一般不會出現(xiàn)較難題，更不會出現(xiàn)難題，因而極限題是高考中的得分點6.注意掌握以下思想方法 極限思想：在變化中求不變，在運動中求靜止的思想； 數(shù)形結(jié)合思想，如用導數(shù)的幾何意義及用導數(shù)求單調(diào)性、

4、極值等.此類題大多以解答題的形式出現(xiàn)，這類題主要考查學生的綜合應用能力，分析問題和學生解決問題的能力，對運算能力要求較高【考點透視】1理解數(shù)學歸納法的原理，能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題2了解數(shù)列極限和函數(shù)極限的概念3掌握極限的四則運算法則；會求某些數(shù)列與函數(shù)的極限4了解函數(shù)連續(xù)的意義，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有最大值和最小值的性質(zhì)【例題解析】考點1 數(shù)列的極限1.數(shù)列極限的定義：一般地，如果當項數(shù)n無限增大時，無窮數(shù)列an的項an無限地趨近于某個常數(shù)a（即|ana|無限地接近于0），那么就說數(shù)列an以a為極限.注意：a不一定是an中的項.2.幾個常用的極限：C=C（C為常數(shù)）;=0;qn=

5、0（|q|1）.3.數(shù)列極限的四則運算法則：設數(shù)列an、bn，當an=a, bn=b時， （anbn）=ab; 例1. ( 2006年湖南卷）數(shù)列滿足:,且對于任意的正整數(shù)m,n都有,則 ( )A. B. C. D.2考查目的本題考查無窮遞縮等比數(shù)列求和公式和公式 的應用.解答過程由和得故選A.例2（2006年安徽卷）設常數(shù)，展開式中的系數(shù)為，則_.考查目的本題考查利用二項式定理求出關鍵數(shù), 再求極限的能力.解答過程 ，由，所以，所以為1.例3. （2007年福建卷理）把展開成關于的多項式，其各項系數(shù)和為，則等于( )（ ）ABCD2考查目的本題考查無窮遞縮等比數(shù)列求和公式和公式 的應用.解答

6、過程 故選D例4. (2007年天津卷理)設等差數(shù)列的公差是2，前項的和為，則思路啟迪：由等差數(shù)列的公差是2，先求出前項的和為和通項解答過程 故填3小結(jié):1.運用數(shù)列極限的運算法則求一些數(shù)列的極限時必須注意以下幾點：（1）各數(shù)列的極限必須存在；（2）四則運算只限于有限個數(shù)列極限的運算.2.熟練掌握如下幾個常用極限：（1） C=C（C為常數(shù)）;（2） （）p=0（p0）;（3） =（kN *,a、b、c、dR且c0）;（4） qn=0（|q|1）.例5. (2007年重慶卷理)設正數(shù)a, b滿足則（ ）（A）0（B）（C）（D）1解:故選B 小結(jié):重視在日常學習過程中運用化歸思想.考點2 函數(shù)的

7、極限1.函數(shù)極限的概念：（1）如果f（x）=a且f（x）=a,那么就說當x趨向于無窮大時，函數(shù)f（x）的極限是a,記作f（x）=a,也可記作當x時，f（x）a.（2）一般地，當自變量x無限趨近于常數(shù)x0（但x不等于x0）時，如果函數(shù)f（x）無限趨近于一個常數(shù)a,就說當x趨近于x0時，函數(shù)f（x）的極限是a,記作f（x）=a,也可記作當xx0時，f（x）a.（3）一般地，如果當x從點x=x0左側(cè)（即xx0無限趨近于x0時，函數(shù)f（x）無限趨近于常數(shù)a,就說a是函數(shù)f（x）在點x0處的左極限，記作f （x）=a.如果從點x=x0右側(cè)（即xx0）無限趨近于x0時，函數(shù)f （x）無限趨近于常數(shù)a,就說

8、a是函數(shù) f （x）在點x0處的右極限，記作f（x）=a.2.極限的四則運算法則：如果f （x）=a, g（x）=b,那么f（x）g（x）=ab; f（x）g（x）=ab; =（b0）.例6(2007年江西卷理) =( ) A等于0 B等于l C等于3 D不存在考查目的本題主要考查利用同解變形求函數(shù)極限的能力.解答過程 故選B例7(2007年四川卷理) ( )（A）0（B）1（C）（D）考查目的本題主要考查利用分解因式同解變形求函數(shù)極限的能力.解答過程 故選D例8.若f （x）=在點x=0處連續(xù)，則f （0）=_.思路啟迪：利用逆向思維球解.解答過程：f（x）在點x=0處連續(xù)，f （0）=f

9、（x）,f （x）= = =.答案: 例9.設函數(shù)f （x）=ax2+bx+c是一個偶函數(shù),且f （x）=0,f （x）=3,求這一函數(shù)最大值.思路啟迪：由函數(shù)f （x）=ax2+bx+c是一個偶函數(shù),利用f （x）=f （x）構造方程,求出b的值.解答過程：f （x）=ax2+bx+c是一偶函數(shù),f （x）=f （x）,即ax2+bx+c=ax2bx+c.b=0.f （x）=ax2+c.又f （x）= ax2+c=a+c=0, f（x）=ax2+c=4a+c=3,a=1,c=1.f （x）=x2+1.f （x）max=f（0）=1.f （x）的最大值為1.例10.設f（x）是x的三次多項式，

10、已知=1.求的值（a為非零常數(shù)）.解答過程：由于=1,可知f（2a）=0. 同理f（4a）=0. 由，可知f（x）必含有（x2a）與（x4a）的因式，由于f（x）是x的三次多項式，故可設f（x）=A（x2a）（x4a）（xC）.這里A、C均為待定的常數(shù).由=1,即=A（x4a）（xC）=1,得A（2a4a）（2aC）=1,即4a2A2aCA=1. 同理，由于=1,得A（4a2a）（4aC）=1,即8a2A2aCA=1. 由得C=3a,A=,因而f（x）=（x2a）（x4a）（x3a）.=（x2a）（x4a）=a（a）=.例11 a為常數(shù)，若（ax）=0,則a的值是_.思路啟迪：先對括號內(nèi)的的式

11、子變形.解答過程：（ax）= =0,1a2=0.a=1.但a=1時，分母0,a=1.考點3.函數(shù)的連續(xù)性及極限的應用1.函數(shù)的連續(xù)性.一般地，函數(shù)f（x）在點x=x0處連續(xù)必須滿足下面三個條件：（1）函數(shù)f（x）在點x=x0處有定義；（2）f（x）存在；（3）f（x）=f（x0）.如果函數(shù)y=f（x）在點x=x0處及其附近有定義，而且f（x）=f（x0）,就說函數(shù)f（x）在點x0處連續(xù).2.如果f（x）是閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)，那么f（x）在閉區(qū)間a,b上有最大值和最小值.3.若f（x）、g（x）都在點x0處連續(xù),則f（x）g（x）,f（x）g（x）,（g（x）0）也在點x0處連續(xù).若u（x

12、）在點x0處連續(xù),且f（u）在u0=u（x0）處連續(xù),則復合函數(shù)fu（x）在點x0處也連續(xù).例12.f（x）在x=x0處連續(xù)是f（x）在x=x0處有定義的_條件.A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分又不必要思路啟迪：說明問題即可.解答過程：f（x）在x=x0處有定義不一定連續(xù).答案：A例13.f（x）=的不連續(xù)點為( )A.x=0 B.x=（k=0,1,2,）C.x=0和x=2k（k=0,1,2,） D.x=0和x=（k=0,1,2,）思路啟迪：由條件出發(fā)列方程解之.解答過程：由cos=0,得=k+（kZ）,x=.又x=0也不是連續(xù)點,故選D答案：D例14. 設f（x）=當a為

13、_時,函數(shù)f（x）是連續(xù)的.解答過程：f（x）= （a+x）=a, f（x）=ex=1,而f（0）=a,故當a=1時, f（x）=f（0）,即說明函數(shù)f（x）在x=0處連續(xù),而在x0時,f（x）顯然連續(xù),于是我們可判斷當a=1時, f（x）在（,+）內(nèi)是連續(xù)的.小結(jié)：分段函數(shù)討論連續(xù)性,一定要討論在“分界點”的左、右極限,進而斷定連續(xù)性.例15.已知函數(shù)f（x）=函數(shù)f（x）在哪點連續(xù)( )A.處處連續(xù) B.x=1 C.x=0 D.x=思路啟迪：考慮結(jié)果的啟發(fā)性.解答過程：f（x）= f（x）=f（）.答案：D例16.拋物線y=b（）2、x軸及直線AB:x=a圍成了如圖（1）的陰影部分,AB與

14、x軸交于點A,把線段OA分成n等份,作以為底的內(nèi)接矩形如圖（2）,陰影部分的面積為S等于這些內(nèi)接矩形面積之和當n時的極限值,求S的值.思路啟迪：先列出式子.解答過程：S=b（）2+b（）2+b（）2+b（）22=ab=ab=ab.例17.如圖，在邊長為l的等邊ABC中，圓O1為ABC的內(nèi)切圓，圓O2與圓O1外切，且與AB、BC相切,圓On+1與圓On外切，且與AB、BC相切，如此無限繼續(xù)下去,記圓On的面積為an（nN*）. （1）證明an是等比數(shù)列；（2）求（a1+a2+an）的值.解答過程：（1）證明:記rn為圓On的半徑，則r1=tan30=l.=sin30=,rn=rn1（n2）.于是

15、a1=r12=,=（）2=,an成等比數(shù)列.（2）解：因為an=（）n1a1（nN*）,所以（a1+a2+an）=.例18. 一彈性小球自h0=5 m高處自由下落,當它與水平地面每碰撞一次后速度減少到碰前的,不計每次碰撞時間,則小球從開始下落到停止運動所經(jīng)過的路程和時間分別是多少?解答過程：設小球第一次落地時速度為v0,則有v0=10（m/s）,那么第二,第三,第n+1次落地速度分別為v1=v0,v2=（）2v0,vn=（）nv0,小球開始下落到第一次與地相碰經(jīng)過的路程為h0=5 m,小球第一次與地相碰到第二次與地相碰經(jīng)過的路程是L1=2=10（.小球第二次與地相碰到第三次與地相碰經(jīng)過的路程為

16、L2,則L2=2=10（）4.由數(shù)學歸納法可知,小球第n次到第n+1次與地面碰撞經(jīng)過路程為Ln=10（）2n.故從第一次到第n+1次所經(jīng)過的路程為Sn+1=h0+L1+L2+Ln,則整個過程總路程為S=Sn+1=5+10=5+10=20.3（m）,小球從開始下落到第一次與地面相碰經(jīng)過時間t0=1（s）.小球從第一次與地相碰到第二次與地相碰經(jīng)過的時間t1=2=2,同理可得tn=2（）n,tn+1=t0+t1+t2+tn,則t=tn+1=1+2=8（s）.考點4.新考題例19（2007年遼寧卷理）（本小題滿分12分）已知數(shù)列、與函數(shù)、，滿足條件： （I）若，且存在，求的取值范圍，并求（用表示）（I

17、I）若函數(shù)在上是增函數(shù)，證明對任意的，考查目的本小題主要考查數(shù)列的定義，數(shù)列的遞推公式，等比數(shù)列，函數(shù)，不等式等基礎知識，考查運用數(shù)學歸納法解決問題的能力. 解答過程（）解法一：由題設知，可得 由是等比數(shù)列，其首項為，于是 又 解法二：由題設知，可得 由，公比為的等比數(shù)列. 由 所以 解法三：由題設知，即 ， 于是有 得，得 由 所以的等比數(shù)列，于是 又 說明：數(shù)列an通項公式的求法和結(jié)果的表達形式均不唯一，其他過程和結(jié)果參照以上評分標準. （）證明：因為 下面用數(shù)學歸納法證明 （1）當，得 即，結(jié)論成立. （2）假設n = k時結(jié)論成立，即為增函數(shù)，得 ， 進而得 這就是說當n = k +1

18、時，結(jié)論也成立. 根據(jù)（1）和（2）可知，對任意的例20.(2006年廣東卷）已知公比為的無窮等比數(shù)列各項的和為9，無窮等比數(shù)列各項的和為.()求數(shù)列的首項和公比；()對給定的,設是首項為，公差為的等差數(shù)列.求數(shù)列的前10項之和；()設為數(shù)列的第項，求，并求正整數(shù)，使得存在且不等于零.(注：無窮等比數(shù)列各項的和即當時該無窮數(shù)列前n項和的極限)考查目的本題考查運用等比數(shù)列的前n項和公式，從已知的條件入手列方程組求出等比數(shù)列的公比和首項.解答過程 ()依題意可知,()由()知,所以數(shù)列的的首項為,公差,即數(shù)列的前10項之和為155.() =，=當m=2時，=，當m2時，=0，所以m=2.【專題訓練

19、與高考預測】一.選擇題 1.下列極限正確的個數(shù)是=0（0）;qn=0;=1 ; C=C（C為常數(shù)）A.2B.3會 C.4 D.都不正確2.下列四個命題中正確的是A.若an2A2，則anA B.若an0，anA，則A0C.若anA，則an2A2 D.若（anb）0，則anbn3.f（x）=f（x）=a是f（x）在x0處存在極限的( )A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.f（x）=下列結(jié)論正確的是( )A.=f（x） B.=2，不存在C.f （x）=0, 不存在 D.f （x）f （x）5.下列圖象表示的函數(shù)在x=x0處連續(xù)的是( )A. B. C. D

20、.6.若f（x）在定義域a,b上有定義,則在該區(qū)間上( )A.一定連續(xù) B.一定不連續(xù) C.可能連續(xù)也可能不連續(xù) D.以上均不正確7.已知，如果bc0，那么=( )A、 15 B、 C、 D、8.若r為實常數(shù)，則集合A、恰有一個元素B、恰有兩個元素 C、恰有三個元素 D、無數(shù)多個元素9. （C）A1 B1 C D10. 已知，下面結(jié)論正確的是（ ）A.在處連續(xù) B. C. D.二.填空題11.四個函數(shù):f（x）=;g（x）=sinx;f（x）=|x|;f（x）=ax3+bx2+cx+d.其中在x=0處連續(xù)的函數(shù)是_.（把你認為正確的代號都填上）12.下四個命題:f（x）=在0,1上連續(xù);若f（x）是（a,b）內(nèi)的連續(xù)函數(shù),則f（x）在（a,b）內(nèi)有最大值和最小值;=4;若f（x）=則f（x）=0.其中正確命