第十三章 函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

1、第十三章 函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)§13.1 一致收斂性1 討論下列函數(shù)列或函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在所示區(qū)間D上是否一致收斂，并說(shuō)明理由：（1）,，； （2）(3) （4）(5) 解:（1）由于 故（2）因?yàn)?故 （3）當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，只要，就有，從而于是在0,1上的極限函數(shù)為 因故在0，1上不以致收斂（4）易見(jiàn)極限函數(shù)為（i）因?yàn)?所以在上不一致收斂.(ii) 因?yàn)?故(5)易見(jiàn)極限函數(shù)(i)因?yàn)楣?ii)因?yàn)楣试谏喜灰恢率諗?2.證明：設(shè)若對(duì)每一個(gè)正整數(shù)n有則在D上一致收斂于f.證明:因且所以 故 3. 判別下列函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在所示區(qū)間上的一致連續(xù)性：（1） （2）（3） （4）(5) (6) 解：（1

2、），有 令則所以收斂，由 判別法知，在上一致收斂。（2）令，則，有又對(duì)每一個(gè)單調(diào)遞減，且由知，由狄利克雷判別法知在上一致收斂。（3）當(dāng)時(shí)，有，且。因此當(dāng)即時(shí)，收斂，由判別法知在上一致收斂，當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)不一致收斂。（4）因，而收斂，由判別法知在上一致收斂。（5）由萊布尼茨判別法知，在上任意一點(diǎn)，收斂，由于，故在上不一致收斂。（6）當(dāng)時(shí) 故在上不一致收斂。 4.設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂于,函數(shù)在上有界.證明級(jí)數(shù)在上一致收斂于證明：設(shè)，因在上一致收斂于，所以，當(dāng)時(shí)，對(duì)一切有 于是，當(dāng)時(shí)，對(duì)任一，有 故在上一致收斂于。5. 若在區(qū)間I上，對(duì)任何自然數(shù)n,證明當(dāng)在I上一致收斂時(shí)，級(jí)數(shù)在I上一致收斂。證明

3、：因在上一致收斂，所以，當(dāng)時(shí)，對(duì)一切和一切自然數(shù)，都有，從而故在上一致收斂。6. 設(shè)（n=1,2,）是a,b上的單調(diào)函數(shù)，證明：若與都絕對(duì)收斂，則級(jí)數(shù)在a,b上絕對(duì)并一致收斂。證明：因是上的單調(diào)函數(shù)，所以， 由與收斂知：收斂，故在上絕對(duì)并一致收斂。7. 在0,1上定義函數(shù)數(shù)列, =0， , n=1,2.證明：級(jí)數(shù)在0，1上一致收斂，但它不存在優(yōu)級(jí)數(shù)。證明：因 所以，當(dāng)時(shí)，恒有于是，取，則當(dāng)時(shí)，對(duì)一切和一切自然數(shù)，都有，故所給級(jí)數(shù)在上一致收斂。假設(shè)在上存在優(yōu)級(jí)數(shù)，取，則由收斂得知收斂，這與發(fā)散矛盾。故不存在優(yōu)級(jí)數(shù)。§13.2 一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)1 討論下列各函數(shù)列在所定義

4、的區(qū)間上：（a）與的一致收斂性；（b）是否具有定理13.9，13.10，13.11的條件與結(jié)論。（1） （2）(3) 解： （1）（a） 由于從而故與都在a,b上一致收斂。（b）因在a,b上一致收斂，每一項(xiàng)都連續(xù)，所以具有定理13.9，13.10的條件，從而具有定理結(jié)論。又在a,b上一致收斂，每一項(xiàng)在a,b連續(xù)，且在a,b上收斂，所以具有定理13.11的條件和結(jié)論。（2）（a）因?yàn)閺亩杂謴亩拿恳豁?xiàng)在0,1上連續(xù)，的極限函數(shù)在0，1上不連續(xù)，故在0，1上不一致連續(xù)。（b）因在a,b上一致連續(xù)，且每一項(xiàng)連續(xù)，所以具有定理13.9，13.10的條件從而具有定理結(jié)論。由于在0,1上不一致收斂，所

5、以不具有定理13.11的條件。又從而不具有定理13.11的結(jié)論。(3) (a)易見(jiàn)由知在達(dá)到0,1上的最大值，所以故在0,1上不一致收斂。因?yàn)樗缘拿恳豁?xiàng)在0,1上連續(xù)，其極限函數(shù)在0,1上不連續(xù)，故在0,1上不一致收斂。(b)因與在0，1上不一致收斂，所以不滿足定理13.9，13.10，13.11的條件，又得極限函數(shù)在0，1上連續(xù)，故由于在x=0不收斂，所以具有定理13.9的結(jié)論；不具有13.10，13.11的結(jié)論。2.證明：若函數(shù)列在a,b上滿足13.11的條件，則在a,b上一致收斂。證：設(shè)因?qū),b上的任意有所以由在點(diǎn)收斂知，當(dāng)，有 （1）又對(duì)上述當(dāng)時(shí)對(duì)一切有 （2）取則當(dāng)時(shí)，（1），（

6、2）式成立，從而因此3證明定理13.12和13.14。證：（定理13.12）設(shè)為a,b上任意一點(diǎn)，在a,b上一致收斂于則當(dāng)時(shí)，因在a,b上一致收斂于，從而當(dāng)時(shí)，對(duì)一切，有由在a,b上連續(xù)(n=1,2,）知：對(duì)取定的在a,b上連續(xù)，所以對(duì)上述當(dāng)，且時(shí)于是當(dāng)且時(shí)有故和函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，由的任意性知在a,b連續(xù)，定理13.12得證。下證定理13.14。 證 設(shè)在a,b上一致收斂于，由在a,b上連續(xù)及定理13.12知，函數(shù)在a,b上連續(xù)，又由定理13.13知，故兩端關(guān)于求導(dǎo)，得4設(shè),計(jì)算積分解：由M判別法知，在-1，1上一致收斂，顯然(n=1,2,），在-1，1上連續(xù)，由定理13.13知5.設(shè),計(jì)算積分解： 由M判別法知在上一致收斂，顯然（n=1,2，）在上連續(xù)，由定理13.13有6.設(shè)計(jì)算.解 由有對(duì)級(jí)數(shù)，有于是收斂，從而在上一致收斂，顯然（x=1,2,），在上連續(xù)，由定理13.13知7. 證明：函數(shù)在上連續(xù)，且有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)。證 由而收斂，由M判別法知在上一致收斂。又（n=1,2,）在上連續(xù)，從而