《線段的垂直平分線》中一道題的變式

1、線段的垂直平分線中一道題的變式例 1 如圖1,在厶ABC中，已知 AC=27, BC=23, AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點己，求厶BCE的周長.圖1變式1：如圖2，在厶ABC中，AB的垂直平分線交 AB于點D，交AC于 點 E,若/ BEC=70，則/ A= ?解析：由線段垂直平分線定理得出 AE=BE，可得 ABE是等腰三角形，由 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和 ”可得出/ BEC=2 / A，進而 得出/ A=35 .點評：此題變式求角的計算方法，應(yīng)用了兩個定理 按照同樣的方法，圖2中 也能得出相應(yīng)的結(jié)論：/ AEC=2 / B.變式2：如圖3,在RtAABC中，

2、AB的垂直平分線交 BC邊于點E.若 BE=2, / B =15°求：AC的長.解析：由線段垂直平分線定理得出AE=BE，應(yīng)用變式1的結(jié)論，可求得/ AEC =30。，再應(yīng)用 直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半 ”性質(zhì)，可出求 AC=1.點評：此題為圖形變式，由一般三角形變?yōu)橹苯侨切?，上面我們總結(jié)的結(jié)論不變，然后再應(yīng)用直角三角形的有關(guān)性質(zhì)變式練習(xí)1如圖4,在Rt ABC中，AB的垂直平分線交BC邊于點E.若BE=2,Z B =22.5 求：AC的長.是等腰直角三角形,AE=2，再應(yīng)用勾股定理得AC= 2例2:如圖5,在厶ABC中，AB=AC, BC=12,Z B

3、AC =120° ,AB的垂直平分 線交BC邊于點E, AC的垂直平分線交BC邊于點N.(1) 求厶AEN的周長.(2) 求/ EAN的度數(shù).(3) 判斷 AEN的形狀.MDEN圖5解析：此題圖形為一個頂角是鈍角的等腰三角形， 兩腰的垂直平分線都與底 邊相交，(1)應(yīng)用線段垂直平分線定理得出 AE=BE，AN=NC，因此 AEN的 周長等于BC的長.(2)應(yīng)用變式1的結(jié)論/ AEN=2 / B=60°，/ ENA=2 / C=6C° 所以/ EAN=60 . (3)由(2)知厶AEN是等邊三角形.變式練習(xí)2如圖6,在厶ABC中，AB=AC, BC=12,Z BAC

4、 =130°,AB的垂直平分線交BC邊于點E, AC的垂直平分線交BC邊于點N.(1) 求厶AEN的周長.(2) 求/ EAN的度數(shù).圖6(3) 判斷 AEN的形狀.提示與答案：(1 ) AEN 的周長不變.(2 ) / AEN=2 / B=50°, / ENA=2 / C=50所以/ EAN=80 (3)由(2)知 AEN是等腰三角形.變式練習(xí)3如圖7,在厶ABC中，BC=12,Z BAC =100° ,AB的垂直平分線交 BC邊于 點E, AC的垂直平分線交BC邊于點N.(1) 求厶AEN的周長.(2) 求/ EAN的度數(shù).提示與答案：(1) AEN 的周長不

5、變.(2)Z AEN=2 / B，Z ENA=2 / C，因為/ B+ / C=80 所以/ AEN+ / ENA=160 所以/ EAN=20 .點評：例2和它的兩道變式練習(xí)題中發(fā)現(xiàn)： 三個圖形由特殊到一般，從頂角 是120 °的等腰三角形到頂角是鈍角的一般的等腰三角形到一般鈍角三角形， AEN的形狀也不斷的變化，/ EAN的度數(shù)也變化，但 AEN的周長不變，因 此得出結(jié)論：1) AEN的周長=BC長.2) AEN的形狀變化規(guī)律是由等邊三角 形到等腰三角形到一般三角形，與厶ABC的形狀有關(guān).3) / EAN的度數(shù)與/ BAC 的度數(shù)有關(guān)因為/ EAN=180 -2Z B-2Z C=

6、180 -2 (/ B+ / C ) =180°-2(180°- / BAC ) =2/ BAC -180 ° .從等式中也得出/ BAC必須大于90°.變式練習(xí)4如圖8,AABC中,/ BAC =70 , BC=12,AB的垂直平分線交BC邊于點E, ACM3 / 4N圖8E的垂直平分線交BC邊于點N.求:/EAN的度數(shù).答案：/ EAN=40點評：由上題的方法得出/ AEC+ / BNA =2 / B+2 / C,由平角性質(zhì)可得 ： / AEB+ / CNA=360 -( 2/ B+2Z C ),由三角形內(nèi)角和定理得/ EAN=180 -2 / BAC總評：從上述兩道例題及變式題中得出無論是圖形變化還是題