定積分的換元積分法和分部積分法

1、第四節(jié)定積分的換元積分法和分部積分法從上節(jié)微積分學(xué)的基本公式知道,求定積分ba f(X)dX的問題可以轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的增量問題從而在求不定積分時應(yīng)用的換元法和分部積分法在求定積 分時仍適用，本節(jié)將具體討論之，請讀者注意其與不定積分的差異內(nèi)容分布圖示疋積分換兀積分法例1例2例3例4例5例6例7例8定積分的分部積只分法例9例10例11例12例13例14例15例16例17例18內(nèi)容小結(jié)課堂練習(xí)習(xí)題5-4返回講解注意：一、定積分換元積分法定理1設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，函數(shù)x二:(t)滿足條件：(1) ( ) =a, C) =b,且 a z(t)乞b;(2) :(t)

2、在 , (或：，:)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有bPf(x)dx 二 f :(t)f： (t)dt .(4.1)a,Z公式(4.1)稱為定積分的換元公式.定積分的換元公式與不定積分的換元公式很類似但是，在應(yīng)用定積分的換元公式時應(yīng)注意以下兩點：(1)用x= (t)把變量x換成新變量t時，積分限也要換成相應(yīng)于新變量t的積分限，且上限對應(yīng)于上限，下限對應(yīng)于下限；(2)求出f (t)f (t)的一個原函數(shù) G(t)后，不必象計算不定積分那樣再把G(t)變換成原變量x的函數(shù)，而只要把新變量t的上、下限分別代入 G(t)然后相減就行了 二、定積分的分部積分法bb budv =uva - vdu或aab bb .u

3、v dx =uvavu dx .aa例題選講：定積分換元積分法例1 (講義例1)計算2 cos5 xsin xdx .例 2 (講義例 2)計算 . a 例12 （講義例10）計算定積分e2xdx.”1/2 _x2dx (a .0).|JT j例 3 (講義例 3)計算：.sin例13 （講義例11）計算定積分|lnx|dx.x_sin5xdx.例4 (講義例4)計算定積分、e_ Jx x2 dx.f 2x +1例5 (講義例5)當(dāng)f(x)在,a上連續(xù)，則aa(1)當(dāng) f(x)為偶函數(shù)，有 J(x)dx =2 0 f (x)dx；a 當(dāng)f(x)為奇函數(shù)，有 f(x)dx = 0.a12例6 (

4、講義例6)計算定積分 (|xjsinx)x dx.1 2x2 xcosx ,例7計算 dx.1 +；1 _X2例8 (講義例7)若f(x)在0, 1上連續(xù)，證明皿2冗2(1) f (sin x)dxf (cos x) dx;xsin x(2) ! xf(sinx)dxf (sin x)dx,由此計算dx.2 0、0 1 +cos x定積分的分部積分法1/2二/4 xdx1 亠cos2x例9 (講義例8)計算定積分Qarcsin xdx.例10 （講義例9）計算定積分:;/2 2例 11 求 Q x2 sin xdx.例14已知2n2 dtJIxt.-1J6例15已知f （x）滿足方程f(x)求x.=3x Y1x2 o f 2(x)dx,求 f (x).皿2 n例16 （講義例12）導(dǎo)出g = sin nxdx（ n為非負整數(shù)）的遞推公式7：.5 x例17計算定積分cos dx.0 2x例18求函數(shù)l（x） = t（1+2lnt）dt在1,e上的最大值與最小值課堂練習(xí)1.求定積分|si nl.-/2