小學(xué)奧數(shù)教程之-行程綜合問題教師版(34)全國通用(含答案)

1、行程綜合問題3-3-2.比例解行程問題.題庫學(xué)生版page 18 of 14自 tMIC 教學(xué)目標(biāo)1 .運(yùn)用各種方法解決行程內(nèi)綜合問題。2 .發(fā)現(xiàn)一些綜合問題中，行程與其它模塊的聯(lián)系，并解決奧數(shù)綜合問題。"W蚱 知識精講行程問題是奧數(shù)中的一個難點(diǎn)，內(nèi)容多而雜。而在行程問題中，還有一些尤其復(fù)雜的綜合問題。它們 大致可以分為兩類：行程內(nèi)綜合，把行程問題中的一些零散的知識點(diǎn)綜合在一道題目中，這就是一道行程內(nèi)綜合 題目。例如把環(huán)形跑道和獵狗追兔結(jié)合在一起，把流水行船和發(fā)車間隔結(jié)合起來等等。學(xué)科內(nèi)綜合，這種問題就不只是行程問題了，把行程問題和其它知識模塊里的思想方法結(jié)合 在一起，這種綜合性題目

2、的難度也很大，比如行程與策略綜合等等。本講內(nèi)容主要就是針對這種綜合性題目。雖然題目難度偏大，但是這種題目在杯賽和小升初試題中是 很受偏愛”的。所以很重要。模塊一、行程內(nèi)綜合【例1】 郵遞員早晨7時出發(fā)送一份郵件到對面山里，從郵局開始要走12千米上坡路，8千米下坡路。他上坡時每小時走 4千米，下坡時每小時走 5千米，到達(dá)目的地停留 1小時以后，又從原路返 回，郵遞員什么時候可以回到郵局？【考點(diǎn)】變速問題與走停問題【難度】2星【題型】解答【解析】 法一：先求出去的時間，再求出返回的時間，最后轉(zhuǎn)化為時刻。郵遞員到達(dá)對面山里需時間：12F+8芍=4.6（小時）;郵遞員返回到郵局共用時間：8%+12與+

3、1+4.6 =2+2.4+1+4.6 = 10（小時）郵遞員回到郵局時的時刻是：7+10-12=5（時）.郵遞員是下午5時回到郵局的。法二：從整體上考慮，郵遞員走了（12+8）千米的上坡路，走了（ 12+8）千米的下坡路，所以共用時間為：（12+8） F+ （12+8）與+1=10（小時），郵遞員是下午 7+10-12=5（時）回到郵局的。【答案】5時【例2】 小紅上山時每走 30分鐘休息10分鐘，下山時每走30分鐘休息5分鐘.已知小紅下山的速度是 上山速度的1.5倍，如果上山用了 3小時50分，那么下山用了多少時間？【考點(diǎn)】變速問題與走停問題【難度】2星【題型】解答【解析】上山用了 3小日5

4、0分，即60 3 50 230（分），由230 （30 10） 5巾30,得到上山休息了 5次, 走了 230 10 5 180 （分）.因為下山的速度是上山的1.5倍，所以下山走了 180 1.5 120（分）.由120 30 4知，下山途中休息了 3次，所以下山共用120 5 3 135（分）2小時15分.【答案】2小時15分【例3】 已知貓跑5步的路程與狗跑 3步的路程相同；貓跑 7步的路程與兔跑 5步的路程相同.而貓跑 3步的時間與狗跑 5步的時間相同；貓跑 5步的時間與兔跑7步的時間相同，貓、狗、兔沿著周長為300米的圓形跑道，同時同向同地出發(fā).問當(dāng)它們出發(fā)后第一次相遇時各跑了多少路

5、程?【考點(diǎn)】環(huán)形跑道與獵狗追兔【難度】5星【題型】解答【解析】方法一：由題意，貓與狗的速度之比為9: 25 ,貓與兔的速度之比為 25:49.設(shè)單位時間內(nèi)貓跑 1米，則狗跑 竺米，兔跑 竺米.925狗追上貓一圈需300 25 1675單位時間，94, 49625 兔追上貓一圈需30049 1625單位時間.252貓、狗、兔再次相遇的時間，應(yīng)既是675的整數(shù)倍，又是625的整數(shù)倍.675625的最小公倍數(shù)等于兩個分?jǐn)?shù)中，分子的最小公倍數(shù)除以分母的最大公約數(shù)，即675 625675,62516875一,8437.5 424,22上式表明，經(jīng)過8437.5個單位時間，貓、狗、兔第一次相遇.此時，貓跑

6、了 8437.5米，狗跑了 8437.5竺23437.5米，兔跑了方法二：根據(jù)題意，貓跑 的時間與狗跑25步、兔跑935步的路程與狗跑21步的路程、兔跑 21步的時間相同.498437.5 一 16537.5 米.2525步的路程相等；而貓跑 15步所以貓、狗、兔的速度比為15 ： 25 ：紅，它們的最大公約數(shù)為35 21 2515 25 2115,25,21135,21,2535,21,253 5 5 7即設(shè)貓的速度為1535225,那么狗的速度為3 5 5 725121 3 5 5 7625 ,則兔的速度為213 25 而 ,4 18- 441 .25 3 5 5 73于是狗每跑300 (

7、625 225)-單位時追上貓;4兔每跑300 (441 225) 25單位時追上貓.1835- 5,所以貓、狗、兔跑了 吏單位時，三者相遇. 4,1822貓跑了 75 225 8437.5 米，狗跑了 75 625 23437.5 米，兔跑了 75 441 16537.5 米. 222【答案】16537.5米 【例4】 甲、乙兩人沿 400米環(huán)形跑道練習(xí)跑步，兩人同時從跑道的同一地點(diǎn)向相反方向跑去。相遇后甲比原來速度增加 2米/秒，乙比原來速度減少2米/秒，結(jié)果都用 24秒同時回到原地。求甲原來的速度?！究键c(diǎn)】環(huán)形跑道與變速問題【難度】3星【題型】解答【解析】因為相遇前后甲，乙的速度和沒有改

8、變，如果相遇后兩人和跑一圈用24秒，則相遇前兩人和跑一圈也用24秒。以甲為研究對象，甲以原速 V跑了 24秒的路程與以（V +2 ）跑了 24秒的【答案】例5 【考點(diǎn)】 【解析】【答案】例6 路程之和等于 400米，24V +24 (V +2 ) =400易得V = 71米/秒371米/秒3環(huán)形跑道周長是 500米，甲、乙兩人從起點(diǎn)按順時針方向同時出發(fā)。甲每分跑 120米，乙每分跑100米，兩人都是每跑 200米停下休息1分。甲第一次追上乙需多少分？環(huán)形跑道與變速問題【難度】3星【題型】解答55分。解：甲比乙多跑 500米，應(yīng)比乙多休息 2次，即2分。在甲多休息的 2分內(nèi)，乙又跑了 200米，

9、所以在與甲跑步的相同時間里，甲比乙多跑500+200=700 (米)，甲跑步的時間為 700 +(120 100) = 35 (分)。共跑了 120X35=4200 (米)，中間休息了 4200+2001= 20 (次)，即20分。所以甲第一次追上乙需35+20=55 (分)。55分甲、乙兩人同時同地同向出發(fā)，沿環(huán)形跑道勻速跑步.如果出發(fā)時乙的速度是甲的2.5倍，當(dāng)乙第一次追上甲時，甲的速度立即提高25%,而乙的速度立即減少 20%,并且乙第一次追上甲的B地點(diǎn)與第二次追上甲的地點(diǎn)相距100米，那么這條環(huán)形跑道的周長是 米.【考點(diǎn)】【解析】環(huán)形跑道與變速問題【難度】2星【題型】解答如圖，設(shè)跑道周

10、長為1,出發(fā)時甲速為2,則乙速為5.假設(shè)甲、乙從 A點(diǎn)同時出發(fā)，按逆時針方 向跑.由于出發(fā)時兩者的速度比為2:5 ,乙追上甲要比甲多跑1圈，所以此時甲跑了251 (5 2) 2 乙跑了 5；此時雙萬速度發(fā)生變化，甲的速度變?yōu)?2 (1 25%) 2.5,乙的速度變?yōu)? (1 20%) 4,此時兩者的速度比為 2.5:4 5:8 ;乙要再追上甲一次，又要比甲多跑 1圈，則此次甲跑了 1 (8 5) 5 5 ,這個5就是甲從第一次相遇點(diǎn)跑到第二次相遇點(diǎn)的路程.從33環(huán)形跑道上來看，第一次相遇點(diǎn)跑到第二次相遇點(diǎn)之間的距離，既可能是 5 1 -個周長，又可33能是2 5 1個周長.3 3那么，這條環(huán)形

11、跑道的周長可能為100 2 150米或100 1 300米.3 3300米如圖所示，甲、乙兩人從長為400米的圓形跑道的 A點(diǎn)背向出發(fā)跑步。 跑道右半部分(粗線部分) 道路比較泥濘，所以兩人的速度都將減慢，在正常的跑道上甲、乙速度均為每秒8米，而在泥濘道路上兩人的速度均為每秒 4米。兩人一直跑下去，問：他們第 99次迎面相遇的地方距 A點(diǎn) 還有 米。A【考點(diǎn)】【解析】環(huán)形跑道與變速問題【難度】2星【題型】解答本題中，由于甲、乙兩人在正常道路和泥濘道路上的速度都相同，可以發(fā)現(xiàn)，如果甲、乙各自繞 著圓形跑道跑一圈，兩人在正常道路和泥濘道路上所用的時間分別相同，那么兩人所用的總時間【答案】例8【考點(diǎn)

12、】【解析】也就相同，所以，兩人同時出發(fā)，跑一圈后同時回到A點(diǎn)，即兩人在 A點(diǎn)迎面相遇，然后再從 A點(diǎn)出發(fā)背向而行，可以發(fā)現(xiàn)，兩人的行程是周期性的，且以一圈為周期.在第一個周期內(nèi)，兩人同時出發(fā)背行而行，所以在回到出發(fā)點(diǎn)前肯定有一次迎面相遇，這是兩人第一次迎面相遇，然后回到出發(fā)點(diǎn)是第二次迎面相遇；然后再出發(fā)，又在同一個相遇點(diǎn)第三次相遇，再回到出發(fā)點(diǎn)是第四次相遇 可見奇數(shù)次相遇點(diǎn)都是途中相遇的地點(diǎn)，偶數(shù)次相遇點(diǎn)都是A點(diǎn).本題要求的是第99次迎面相遇的地點(diǎn)與 A點(diǎn)的距離，實際上要求的是第一次相遇點(diǎn)與A點(diǎn)的距離.對于第一次相遇點(diǎn)的位置，需要分段進(jìn)行考慮：由于在正常道路上的速度較快，所以甲從出發(fā)到跑完正常

13、道路時，乙才跑了 200 8 4 100米，此時兩人相距100米，且之間全是泥濘道路，此時兩人速度相同，所以再各跑50米可以相遇.所以第一次相遇時乙跑了100 50 150米，這就是第一次相遇點(diǎn)與 A點(diǎn)的距離，也是第 99次迎面相遇的地點(diǎn)與 A點(diǎn)的距離.150米甲、乙二人在同一條橢圓形跑道上作特殊訓(xùn)練：他們同時從同一地點(diǎn)出發(fā)，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到達(dá)出發(fā)點(diǎn)后立即回頭加速跑第二圈，跑第一圈時，乙的速度是甲速度的2/3.甲跑第二圈時速度比第一圈提高了1/3;乙跑第二圈時速度提高了1/5.已知沿跑道看從甲、乙兩人第二次相遇點(diǎn)到第一次相遇點(diǎn)的最短路程是190米，那么這條橢圓形跑道長多少米？環(huán)形

14、跑道與變速問題【難度】3星【題型】解答【答案】例9一12度為一.如下圖:乙才跑了 2的跑道長度3在乙接下來跑了 1跑道的距離時，甲以“4的速度跑了 12 4 33甲以4的速度，乙以12的速度相對而跑，所以乙跑了1 535遇點(diǎn)逆時針方向距出發(fā)點(diǎn)橢圓形跑道的長度為190400米-圈.所以還剩下-的跑道長度,331214 ；圈.也就是第二次相1圈.即第一次相遇點(diǎn)與第二次相遇點(diǎn)相差819.400 米.403 119金 1 19圈，所以，這條5 8 40如圖3-5,正方形ABCD是一條環(huán)形公路. 已知汽車在 AB上時速是90千米，在BC上的時速是 120千米，在 CD上的時速是60千米，在DA上的時速是

15、 80千米.從CD上一點(diǎn)P同時反向各 發(fā)出一輛汽車，它們將在AB中點(diǎn)相遇.如果從 PC的中點(diǎn)M,同時反向各發(fā)出一輛汽車，它們將 在AB上一點(diǎn)N相遇.問A至N的距離除以N至B的距離所得到的商是多少 ？設(shè)甲跑第一圈的速度為 3,那么乙跑第一圈的速度為 2,甲跑第二圈的速度為 4,乙跑第二圈的速【考點(diǎn)】【解析】圖3-5環(huán)形跑道與變速問題【難度】2星【題型】解答如下圖，設(shè)甲始終順時針運(yùn)動，乙始終逆時針運(yùn)動，并設(shè)正方形ABCD的邊長為單位“1ec千景小IT有甲從P到達(dá)AB中點(diǎn)。所需時間為PDDAAOPD10.5608090608090乙從P到達(dá)AB中點(diǎn)。所需時間為PC60BC BOPD10.5.120

16、9060 120 90有甲、乙同時從P點(diǎn)出發(fā)，則在AB的中點(diǎn)O相遇所以有PD1 _ PC1608060120且有PD=DC-PC=1-PC,代入有1 PC 工 PC 工，解得PC=m. 6080601208所以 PM=MC= ,DP= 3 .168現(xiàn)在甲、乙同時從 PC的中點(diǎn)出發(fā)，相遇在N點(diǎn)，設(shè)AN的距離為x.355有義皿1x16160809060 12所以AN BN13113232 311MDJ60DA80AN8 16601 x80 90905MCCBBN1611 x601209060120.901 x ,一,解得x1.即 AN=1.90323235有甲從M到達(dá)N點(diǎn)所需時間乙從M到達(dá)N點(diǎn)所需

17、時間為31【例10】一條環(huán)形道路，周長為 2千米.甲、乙、丙 3人從同一點(diǎn)同時出發(fā)，每人環(huán)行2周.現(xiàn)有自行車2輛，乙和丙騎自行車出發(fā)，甲步行出發(fā)，中途乙和丙下車步行，把自行車留給其他人騎. 已知甲步行的速度是每小時 5千米，乙和丙步行的速度是每小時4千米，3人騎車的速度都是每小時20千米.請你設(shè)計一種走法，使 3個人2輛車同時到達(dá)終點(diǎn).那么環(huán)行 2周最少要用多少 分鐘？【考點(diǎn)】環(huán)形跑道與變速問題【難度】4星【題型】解答【解析】如果甲、乙、丙均始終騎車，則甲、乙、丙同時到達(dá)，單位“1的路程只需時間 工；乙、丙情況20 類似，所以先只考慮甲、乙，現(xiàn)在甲、乙因為步行較騎車行走單位“1路程，耽擱的時間

18、比為：201203: 4而他們需同時出發(fā)，同時到達(dá)，所以耽擱的時間應(yīng)相等.于是步行的距離比應(yīng)為耽擱時間的倒數(shù)比, 即為4:3;因為丙的情形與乙一樣，所以甲、乙、丙三者步行距離比為4:3:3.因為有3人，2輛自行車，所以，始終有人在步行，甲、乙、丙步行路程和等于環(huán)形道路的周長.于是，甲步行的距離為2X4一二0.8千米；則騎車的距離為 2X2-0.8=3.2千米；4 3 3所以甲需要時間為（08 32） >60=19.2分鐘5 20環(huán)形兩周的最短時間為19.2分鐘.參考方案如下：甲先步行0.8千米，再騎車3.2千米;乙先騎車2.8千米，再步行丙先騎車3.4千米，再步行0.6千米，再騎車0.6

19、千米（丙留下的自行車）；0.6千米.【答案】19.2分鐘【例11】甲、乙兩人在 400米圓形跑道上進(jìn)行 10000米比賽.兩人從起點(diǎn)同時同向出發(fā)，開始時甲的速 度為每秒8米，乙的速度為每秒 6米.當(dāng)甲每次追上乙以后，甲的速度每秒減少2米，乙的速度每秒減少0.5米.這樣下去，直到甲發(fā)現(xiàn)乙第一次從后面追上自己開始，兩人都把自己的速 度每秒增加O.5米，直到終點(diǎn).那么領(lǐng)先者到達(dá)終點(diǎn)時，另一人距終點(diǎn)多少米？【考點(diǎn)】環(huán)形跑道與變速問題【難度】4星【題型】解答【解析】對于這道題只能詳細(xì)的分析逐步推算，以獲得解答.先求出當(dāng)?shù)谝淮渭鬃飞弦視r的詳細(xì)情況，因為甲乙同向，所以為追擊問題.甲、乙速度差為8-6=2米/

20、秒，當(dāng)甲第一次追上乙時，甲應(yīng)比乙多跑了一圈 400米，即甲跑了 400妥>8=1600 米，乙跑了 400+24=1200 米.相遇后，甲的速度變?yōu)?8-2=6米/秒，乙的速度變?yōu)?6-0.5=5 . 5米/秒 顯然，甲的速度大于乙，所以 仍是甲超過乙.當(dāng)甲第二次追上乙前，甲、乙速度差為6-5.5=0.5米/秒，追上乙時，甲應(yīng)在原基礎(chǔ)上再比乙多跑一圈400米，于是甲又跑了 400田.5 8=4800米，乙又跑了 400田.5 5.5=4400米.甲第二次追上乙后，甲的速度變?yōu)?-2=4米/秒，乙的速度變?yōu)?5.5-0.5= 5米/秒.顯然，現(xiàn)在乙的速度大于甲，所以變?yōu)橐页^甲.當(dāng)乙追上甲

21、時，甲、乙速度差為5-4=1米/秒，乙追上甲時，乙應(yīng)比甲多跑一圈400米，于是甲又跑了 400+1 >4=1600 米，乙又跑了 400+1 X5=2000 米.。這時甲的速度變?yōu)?4+0.5=4.5米/秒，乙的速度變?yōu)?+0.5=5.5米/秒并以這樣的速度跑完剩下的全程.在這過程中甲共跑了 1600+4800+1600=8000 米，乙共跑了 1200+4400+2000=7600 米.甲還剩下10000-8000=2000米的路程，乙還剩下 10000-7600=2400米的路程.2400 4004顯然乙先跑完全程，此時甲還剩下2000 4.5 2400 竺0 36M米的路程.5.5

22、1111即當(dāng)領(lǐng)先者到達(dá)終點(diǎn)時，另一人距終點(diǎn)364米.11評注：此題考察了我們的分析問題的能力，也考察了我們對追擊這一基本行程問題的熟練程度【答案】36色米11【例12】某人乘坐觀光游船沿河流方向從A港前行.發(fā)現(xiàn)每隔40分鐘就有一艘貨船從后面追上游船，每隔20分鐘就會有一艘貨船迎面開過.已知A、B兩港之間貨船發(fā)出的間隔時間相同，且船在靜水中速度相同，均是水速的7倍.那么貨船的發(fā)出間隔是 分鐘.【考點(diǎn)】流水行船與發(fā)車間隔【難度】4星【題型】解答【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)解題能力展示，高年級組，初試【解析】設(shè)水速為v,則船速為7v,順?biāo)贋?v,逆水船速為6V.設(shè)貨船發(fā)出的時間間隔為t,則順?biāo)酁?vt ,

23、逆水船距為6vt .設(shè)游船速度為 w ,則有40 8v w v 8vt, 20 6V w v 6Vt.解得 t 28, w 1.4v【答案】28模塊二、學(xué)科內(nèi)綜合【例13】甲、乙兩輛車從 A城開往B城，速度是55于米/小時，上午10點(diǎn)，甲車已行的路程是乙車已 行的路程的5倍：中午12點(diǎn)，甲車已行的路程是乙車已行的路程的3倍.問乙車比甲車晚出發(fā)【考點(diǎn)】行程問題與差倍問題【難度】2星【題型】解答多少小時？【考點(diǎn)】行程問題之?dāng)?shù)列綜合【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯,【解析】行程與和差倍問題路程差不變，畫圖求解圖中粗線是10點(diǎn)到12點(diǎn)2小時走的路程為1份，從圖中可以看出甲比乙多走4份.則乙車比

24、甲車晚出發(fā)8小時.（注，此題所求的是時間差，不需要將速度帶入.）【答案】8小時【例14】 張明和李軍分別從甲、乙兩地同時相向而行。張明平均每小時行5千米；而李軍第一小時行 1千米，第二小時行 3千米，第三小時行 5千米，（連續(xù)奇數(shù)）。兩人恰好在甲、乙兩地的中 點(diǎn)相遇。甲、乙兩地相距多少千米？【考點(diǎn)】行程問題與數(shù)列綜合【難度】2星【題型】解答【解析】因為李軍走的路程為：1 3 5 “I若干個奇數(shù)相加，結(jié)果為中間數(shù) 嚀數(shù)，而張平走的路程為 5X 小時數(shù)，所以知道李軍走的路程為:1 3 5 7 9 25 ,那么兩個人分別走了 25 5 5 （小時）， 所以路程為：25 2 50 （千米）?！敬鸢浮?

25、0千米【鞏固】 甲、乙兩個電動玩具車同時從軌道的兩端相對而行，甲車每秒行5厘米，乙車第一秒行 1厘米，第二秒行2厘米，第三秒行 3厘米，這樣兩車相遇時，走的路程相同。則軌道長 厘 米?！究键c(diǎn)】行程問題與數(shù)列綜合【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級，一試【解析】路程相同，時間相同，甲乙的平均速度是一樣的，1、2、3、4、5、6、7、8、9,乙走了 9秒，距離為1+2+3+4+5+6+7+8+9=45厘米，軌道長 90厘米?！敬鸢浮?0厘米【鞏固】 龜兔賽跑，全程 5.2千米，兔子每小時跑 20千米，烏龜每小時跑 3千米.烏龜不停地跑；但兔 子卻邊跑邊玩，它先跑了 1分鐘然后玩15分鐘

26、，又跑2分鐘然后玩15分鐘，再跑3分鐘然后 玩15分鐘，.那么先到達(dá)終點(diǎn)的比后到達(dá)終點(diǎn)的快多少分鐘？【解析】 烏龜?shù)竭_(dá)終點(diǎn)所需時間為 5.2 -3X60=104分鐘.兔子如果不休息，則需要時間5.2 20 40=15.6分鐘.而兔子休息的規(guī)律是跑1、2、3、分鐘后，休息15分鐘.因為15.6=1+2+3+4+5+0.6，所以兔子休息了 5M5=75分鐘，即兔子跑到終點(diǎn)所需時間為15.6+75=90.6分鐘.顯然，兔子先到達(dá)，先烏龜 104-90.6=13.4分鐘達(dá)到終點(diǎn).【答案】兔子先到達(dá)，先烏龜104-90.6=13.4分鐘達(dá)到終點(diǎn)【例15】科技小組演示自制機(jī)器人，若機(jī)器人從點(diǎn) A向南行走1

27、.2米，再向東行走1米，接著又向南行 走1.8米，再向東行走 2米，最后又向南行走 1米到達(dá)B點(diǎn)，則B點(diǎn)與A點(diǎn)的距離是（）米。（A） 3（B） 4（C） 5（D） 7【考點(diǎn)】行程問題與幾何綜合【難度】2星【題型】選擇【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽【解析】C【答案】C【例16】兩條公路成十字交叉，甲從十字路口南1200米處向北直行，乙從十字路口處向東直行。甲、乙同時出發(fā)10分后，兩人與十字路口的距離相等，出發(fā)后 100分，兩人與十字路口的距離再次相 等，此時他們距十字路口多少米？【考點(diǎn)】行程問題與幾何綜合【難度】2星【題型】解答【關(guān)鍵詞】希望杯，六年級，二試【解析】5400米。解：如右圖所示，出發(fā)后 1

28、0分兩人與十字路口距離相等，相當(dāng)于兩人相距1200米，10分后相遇，兩人的速度和為1200+10=120 （米）.出發(fā)后100分兩人再次與十字路口距離相等，相當(dāng)于兩人相距1200米，100分后甲追上乙。由此推知兩人的速度差為1200+100= 12 （米）。乙每分行（12012）登=54 （米），出發(fā)100分后距十字路口 5400米。北J >.乙T 1 0分，乙甲-1"甲【答案】5400米【例17如圖6,迷宮的兩個入口處各有一個正方形（甲）機(jī)器人和一個圓形機(jī)器人（乙），甲的邊長和【難度】2星【題型】解答乙的直徑都等于迷宮入口的寬度。甲和乙的速度相同，同時出發(fā)，則首先到達(dá)迷宮中心

29、（） 處的是?！究键c(diǎn)】行程問題與幾何綜合【關(guān)鍵詞】希望杯，六年級，一試他們走的直線路程都相等，只是【解析】甲、乙兩機(jī)器人走的路程就是正方形，和圓的中心所走的路程,在拐彎時圓能滾動，如左下圖可以由實線位置滾動到虛線位置，這樣正方形中心在拐彎時走的是 折線部分，圓的中心在拐彎時走的是弧線部分，如右下圖，所以是乙先到達(dá)【答案】乙先到達(dá)【例18】A、B兩地位于同一條河上，B地在A地下游100千米處.甲船從 A地、乙船從B地同時出發(fā)，相向而行，甲船到達(dá) B地、乙船到達(dá) A地后，都立即按原來路線返航.水速為2米/秒，且兩船在靜水中的速度相同.如果兩船兩次相遇的地點(diǎn)相距20千米，那么兩船在靜水中的速度是米/

30、秒.【考點(diǎn)】行程問題與幾何綜合【關(guān)鍵詞】迎春杯，復(fù)賽，高年級組【解析】本題采用折線圖來分析較為簡便.【難度】4星【題型】填空如圖，箭頭表示水流方向，A C E表示甲船的路線，B D F表示乙船的路線，兩個交點(diǎn)M、N就是兩次相遇的地點(diǎn).由于兩船在靜水中的速度相同，所以兩船的順?biāo)俣群湍嫠俣榷挤謩e相同，那么兩船順?biāo)写湍嫠写玫臅r間都分別相同，表現(xiàn)在圖中，就是 BC和DE的長度相同，AD和CF的長度 相同. 那么根據(jù)對稱性可以知道，M點(diǎn)距BC的距離與N點(diǎn)距DE的距離相等，也就是說兩次相遇地點(diǎn)與A、B兩地的距離是相等的.而這兩次相遇的地點(diǎn)相距20千米，所以第一次相遇時，兩船分別走了 100

31、202 40千米和100 40 60千米，可得兩船的順?biāo)俣群湍嫠俣戎葹?0:40 3:2.而順?biāo)俣扰c逆水速度的差為水速的2倍，即為4米/秒，可得順?biāo)俣葹?4 3 2 3 12米/秒，那么兩船在靜水中的速度為 12 2 10米/秒.【答案】10米/秒【例19夜里下了一場大雪，早上，小龍和爸爸一起步測花園里一條環(huán)形小路的長度，他們從同一點(diǎn)同 向行走，小龍每步長 54厘米，爸爸每步長 72厘米，兩人各走完一圈后又都回到出發(fā)點(diǎn)，這時 雪地上只留下60個腳印。那么這條小路長 ?！究键c(diǎn)】行程問題與數(shù)論綜合【難度】4星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，5年級，1試【解析】 爸爸走3步和小龍走4步距離一

32、樣長，也就是說他們一共走7步，但卻只會留下 6個腳印，也就是說每216厘米會有6個腳印，那么有60個腳印說明總長度是 216 10 2160厘米，也就是21.6 米?！敬鸢浮?1.6米【例20】甲、乙兩地相距100千米，張山騎摩托車從甲地出發(fā)，1小時后李強(qiáng)駕駛汽車也從甲地出發(fā)，二人同時到達(dá)乙地。已知摩托車開始的速度是每小時50千米，中途減為每小時 40千米；汽車的速度是每小時80千米，并在途中停留10分鐘。那么，張山騎摩托車在出發(fā) 分 鐘后減速.【考點(diǎn)】行程問題與雞兔同籠【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，高年級，初試【解析】汽車行駛了： 100 80 60行駛了 x分，則減速后行駛了x

33、50 60405x145 x60580 4x1006002075 （分）；摩托車行駛了 ： 75 60 10 145 （分）設(shè)摩托車減速前145 x分，列方程為：所以張山騎摩托車出發(fā) 20分鐘后減速.【答案】20分鐘【例21】甲、乙兩人在河中先后從同一個地方同速同向游進(jìn).現(xiàn)在甲位于乙的前方，乙距起點(diǎn)20米；當(dāng)乙游到甲現(xiàn)在的位置時，甲已離起點(diǎn)98米.問：甲現(xiàn)在離起點(diǎn)多少米 ？【考點(diǎn)】行程問題中的年齡問題【難度】2星【題型】解答【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽【解析】當(dāng)乙游到甲現(xiàn)在的位置時，甲也游了同樣的距離，這距離是（98 20）及=39（米），所以甲現(xiàn)在離起點(diǎn) 39+ 20= 59（米）.【答案】59米

34、【例22】 某人由甲地去乙地， 如果他從甲地先騎摩托車行12小時，再換騎自行車行 9小時，恰好到達(dá)乙地，如果他從甲地先騎自行車 摩托車需要幾小時到達(dá)乙地？【考點(diǎn)】行程問題中的工程問題21小時，再換騎摩托車行 8小時，也恰好到達(dá)乙地,【難度】2星解答問：全程騎【關(guān)鍵詞】華杯賽【解析】對比分析法：萬案一 萬案一 萬案一比萬案一說明 推出騎摩托車12小時8小時多4騎自行車9小時21小時少12 摩托車4小時走的路程=騎自行車12小時走的路程 摩托車1小時走的路程=騎自行車3小時走的路程 整理全程騎摩托車需要 12+9與=15 （小時）【答案】15小時【例23】甲、乙兩人同時從兩地出發(fā)相向而行，相遇后繼

35、續(xù)前進(jìn)，當(dāng)兩人相距2.5千米時，甲走了全程的2 ,乙走了全程的 9。兩地相距多少千米？34【考點(diǎn)】行程問題中的工程問題【難度】2星【題型】解答2 3一，【解析】6千米，解：2.52 3 16 （千米）3 4【答案】6千米【例24】甲、乙二人騎車同時從環(huán)形公路的某點(diǎn)出發(fā)，背向而行，已知甲騎一圈需48分，出發(fā)后30分兩人相遇。問：乙騎一圈需多長時間？【考點(diǎn)】行程問題中的工程問題【難度】2星【題型】解答11【斛析】80分，斛：1 80 （分）。30 48【答案】80分【例25】甲、乙兩站相距不到 500千米，A, B兩列火車從甲、乙兩站相對開出，A車行至210千米處停車，B車行至270千米處也停車，

36、這時兩車相距正好是甲、乙兩站距離的1。甲乙兩站的距離9是多少？【考點(diǎn)】行程問題中的工程問題【難度】2星【題型】解答【解析】432千米。提示：分兩車未相遇與已相遇兩種情況。若未相遇，全程為210 270540 （千米），不合題意;若已相遇，全程為210 270432 （千米），符合題意。【答案】432千米【例26】客車和貨車同時從甲、乙兩地相向開出，客車行完全程需10時，貨車行完全程需 15時。兩車在中途相遇后，客車又行了 90千米，這時客車行完了全程的80%,求甲、乙兩地的距離?！究键c(diǎn)】行程問題中的工程問題【難度】2星【題型】解答【解析】450千米。提示：相遇時客車行了全程的9。55【例27】

37、 小王和小李同時從兩地相向而行，小王走完全程要60分，小李走完全程要 40分。出發(fā)后5分,小李因忘帶東西而返回出發(fā)點(diǎn)，因取東西耽誤了5分，小李再出發(fā)后多長時間兩人相遇？【考點(diǎn)】行程問題中的工程問題【難度】2星【題型】解答1511【解析】18分，解：1 15 18 （分）。6060 40【答案】18分【例28】兩列火車從甲、乙兩地相向而行，慢車從甲地到乙地需要8時，比快車從異地到甲地所需時間48千米，求甲、乙兩地的距離?！绢}型】解答3 : 4,相遇時兩車分別行了全程的 4和世。77多1。一直兩車同時開出，相遇時快車比慢車多行3【考點(diǎn)】行程問題中的工程問題【難度】2星【解析】336千米。解：快、慢

38、車行一個單程所需時間之比為【答案】336千米【例29】甲、乙二人在環(huán)形自行車賽場上訓(xùn)練，已知兩人騎一圈分別需要23秒和27秒。如果兩人同時從起點(diǎn)出發(fā)，背向而行，那么他們再次相遇需要多長時間？如果是同向行，那么甲超過乙需要 多長時間？【考點(diǎn)】行程問題中的工程問題【難度】2星【題型】解答【解析】 背向而行12.24秒，同向而行155.25秒。提示：甲、乙1秒分別騎一圈的 工和。2327【答案】背向而行12.24秒，同向而行155.25秒【例30】甲、乙兩汽車先后從 A地出發(fā)到B地去，當(dāng)甲車到達(dá) A, B兩地中點(diǎn)時，乙車走了全程的 1;5當(dāng)甲車到達(dá)B地時，乙車走了全程的 2。求甲、乙兩車車速之比。3

39、【考點(diǎn)】行程問題中的工程問題【難度】2星【題型】解答【解析】15:14,解：由題意，甲車從中點(diǎn)到 B點(diǎn)行了全程的-,此期間，乙車行了全程的 -,23 5 15兩車速度之比為-O2 15 14【答案】15:14【例31】 大貨車和小轎車從同一地點(diǎn)出發(fā)沿同一公路行駛。大貨車先走1.5時，小轎車出發(fā) 4時后追上了大貨車。如果小轎車每小時多行5千米，那么出發(fā)后 3時就可追上大貨車。問：小轎車實際上每時行多少千米？【考點(diǎn)】行程問題中的工程問題【難度】2星【題型】解答【解析】55千米。解：以大貨車的時速為單位“1；則小轎車的實際時速為 4 1.5，小轎車每時多行5千4米的時速為3 1.5 , 5千米對應(yīng)的

40、分率是 3 1.5 4 1.5。大貨車每時行5 35 41.5 40 33434（千米），小轎車每小時行40 4 1.5 55 （千米）4【答案】55千米【例32】星期天早晨，哥哥和弟弟都要到奶奶家去。弟弟先走5分，哥哥出發(fā)后25分追上了弟弟。如果哥哥每分多走5米，那么出發(fā)后20分就可以追上弟弟。弟弟每分走多少米？【考點(diǎn)】行程問題中的工程問題【難度】2星【題型】解答25 5 6【解析】100米，解：各個的速度是弟弟的 25- 6 （倍）。如果哥哥每分鐘多走 5米，則哥哥的速度是25520 55561.弟弟的竺，2 （倍）。弟弟每分鐘走55 100 （米）2044520【答案】100米【例33】四年級一班在劃船比賽前討論了兩個比賽方案.第一個方案是在比賽中分別以2米/秒和3米/秒的速度各劃行賽程的一半； 第二個方案是在比賽中分別以2米/秒和3米/秒的速度各劃行比賽時間的一半.你認(rèn)為這兩個方案哪個好？【考點(diǎn)】行程問題與策略綜合【難度】2星【題型】解答【解析】第二種方案【答案】第二種方案