2018年全國高考新課標(biāo)2卷理科數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試新課標(biāo)2卷理科數(shù)學(xué)1 / 1注意事項(xiàng):2.3. 一、選擇題:1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。作答時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷及草稿紙上無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.A.l+2i / 而(_ 4 - 3551n3 J.D-5 + 51解析：選D2.巳知集合心6,丫），+y/3E£2"62,則A中元素的個(gè)數(shù)為（A. 9B. 8C. 5D. 4解析：選A問題為確定圓面內(nèi)整點(diǎn)個(gè)數(shù)3.函數(shù) f(x) =VB二

2、尸的圖像大致為（解析：選B f(x)為奇函數(shù)，排除A,x>0,f(x)>0,排除D,取x=2,f(2)= ->1,故選B4.巳知向量 a, b 滿足|a|=L a b=-l,則 a (2a-b)=()D. 0A. 4B. 3C. 2解析：選 B a (2a-b) =2az-a b=2+l=35.雙曲線|一稿=l（a>0, b>0）的離心率為遮 則其漸近線方程為（A. y=±V2x土察B. y=±V3xC.)y=± 2 xD. y=解析：選 A e=# c2=3a2 b二/a6.在 A ABC 中，cos；=申,BC=1, AC=5,則

3、 AB=()D. 25A. 4/B.順AB=AC2+BC-2AB BC cosC=32 AB=4也q3解析：選 A cosC=2cos2- -1= - - Z31-4白-焉，設(shè)計(jì)了右側(cè)的程序框圖，則在空白框中應(yīng)填入（）V JLUUA. i=i+l B, i=i+2 C. i=i+3 D. i=i+4解析：選B8.我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶 數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如30=7+23,在不超過30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30 的概率是（）A ± B ± c ± D ±A. 1

4、2小 141518解析：選C不超過30的素?cái)?shù)有2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29共10個(gè)，從中選2個(gè)其和為30的31為7+23, 11+19, 13+17,共3種情形，所求概率為C1UZ io9.在長方體ABCD-ABCD中，AB=BC=1, AA】M，則異面直線AD】與DB1所成角的余弦值為（）解析：選C建立空間坐標(biāo)系，利用向量夾角公式可得，10 .若£6）飛05入-5如*在-,是減函數(shù)，則a的最大值是（）7TTI3 冗A了B. -C.-解析：選A f (x)=/cos(x+：),依據(jù)f (x)=cosx與f (x)=/cos6嚀)的圖象關(guān)系知a的

5、最大值為十。11 .巳知f(x)是定義域?yàn)?-8,+ 8)的奇函數(shù)，滿足f(l - x)= f(l+x).若f(D=2,則f(l)+f+f(3) + -+f(50)=()A. -50B. 0C. 2D. 50解析：選C由f(l-x)= f(l+x)得f(x+2)=-f(x),所以f(x)是以4為周期的奇函數(shù)，且f(T)=-f(l)=-21 f (0) =0, f (1) =2. f (2) =f (0) =01 f (3) =f (-1) =-2, f (4) =f (0) =0； f (1) +f (2) +f (3) +-+f (50) =f (1) +f (2) =212.巳知H, Fz

6、是橢圓C：除名=1(a>b>0)的左，右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過A且斜率為建的 a2 b2b直線上，APRFz為等腰三角形，NFF2P=120。，則C的離心率為()2-3 A1-2氏1- 4（2）你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由.解：（D利用模型,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為A尸一30. 4+13. 5 X 19=226.1 （億元）.利用模型,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為Ay=99+17. 5X9=256. 5 （億元）.（2）利用模型得到的預(yù)測值更可靠.理由如下：（i ）從折線圖可以看出,2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的

7、點(diǎn)沒有隨機(jī)散布在直線y=-30. 4+13. 5t上下. 這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨 勢.2010年相對2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)位于一 條直線的附近，這說明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢，利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)蔑立的線性模型產(chǎn)99+17. 5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化 趨勢，因此利用模型得到的預(yù)測值更可靠.（ii）從計(jì)算結(jié)果看，相對于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元,由模型得到的預(yù)測值226.1億 元

8、的增幅明顯偏低，而利用模型得到的預(yù)測值的增幅比較合理.說明利用模型得到的預(yù)測值更可靠.d上你* T 28現(xiàn)由，巖金叁*中低*一付信*他臺(tái)雙雙由殖可得否.19. （12 分）設(shè)拋物線C：y4x的焦點(diǎn)為F,過F且斜率為k（k>0）的直線1與C交于A, B兩點(diǎn)，|AB|=8.（1）求1的方程；（2）求過點(diǎn)A, B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.解： 由題意得F（l,0）, 1的方程為y=k（x-l）（k>0）.y=k （x-1）設(shè) A（xi,yJ, B（x2,y2）» 由彳得 kY-（2k、4）x+k，）.Iy2=4x2k2+4 =16k2+16>0,故 Xi+xl 匕.2k

9、2+4所以 I AB I = xi+x2+2= V9 +2=8 ,解得 k=T （舍去），k=l.因此1的方程為y=x-l.（2）由（1）得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（3.2）,所以AB的垂直平分線方程為y-2=-（x-3）,即y=-x+5.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為（x°,y。），貝貽y0=-x0+5&。+1)2勺他+16解得x0=3y0=2 或x0=ll、y0=-6因此所求圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16或(x-U)2+(y+6)2=M4.20. (12 分)如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=2PA=PB=PC=AC=4, 0為AC的中點(diǎn).(1)證明：POJ_平面ABC；

10、(2)若點(diǎn)M在棱BC上，且二面角M-PAY為30°,求PC與平面PAM所成角的正弦值.解：(1)因?yàn)锳P=CP=AC=4, 0為AC的中點(diǎn)，所以0PJ_AC,且(二2擊.連結(jié)0B.因?yàn)锳B=BO為MC,所以A ABC為等腰直角三角形，且 0B工AC, 0B=1aC=2.由 OP2+OB2=PB2 0P10B.由 0PI0B,0P±AC 知 0PJ平面 ABC.(2)如圖，以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，段立如圖空間直角坐標(biāo)系.由已知得 0(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0,),P(0,0,2),AP =(0,0,2#)取平面PAC的法向量施=(2,0,0)

11、.設(shè) M(a, 2-a, 0) (0<aW2),則Afi= (a, 4-a, 0).設(shè)平面PAM的法向量為n=(x,y,z).貝于的°,可取n=(m(a-4),由a,-a),ax+ (4 - a) y=0所以cos瀛n>=麗言黑藏.由已知得|cos<5§,n>|=申./福 |(a-4)|243 (a-4) 2+3a2+a2- 24解得a=-4 (舍去)，a=r.所以 n=(- 駕§.又無=(0,2,-2出)，所以 cos<的,n>=. j j ja所以PC與平面PAN所成角的正弦值為好. 421. (12 分)巳知函數(shù)f (x)

12、 =e'-ax2.(1)若 a=l,證明：當(dāng) x20 時(shí)，f (x) 1 ；(2)若f(x)在(0,+8)只有一個(gè)零點(diǎn)，求a.【解析】<1)當(dāng)a=l時(shí)，f(x)Nl等價(jià)于這0.設(shè)函數(shù) g(x) a+De'l,則/(x)=-(x-l)2e'z.當(dāng)x#l時(shí)，g, (x)<0,所以g(x)在(0,+8)單調(diào)遞減.而 g(0)=0,故當(dāng) x，0 時(shí)，g(x)WO,即 f(x)2 1.(2)設(shè)函數(shù) h(x)=l-ax 2屋.f(x)在(0,+8)只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)h(x)在(0,+8)只有一個(gè)零點(diǎn).(i)當(dāng)aW時(shí)，h(x)>0, h(x)沒有零點(diǎn)；(ii)當(dāng)

13、a>0 時(shí)，h' (x) =ax(x-2) e-1.當(dāng) xW (0,2)時(shí)，hz (x)<0；當(dāng) xW(2,+8)時(shí)，h, (x)>0.所以h(x)在(0,2)單調(diào)遞減，在(2,+8)單調(diào)遞增.4a故h=1-號(hào)是h(x)在0,+8)的最小值.ez若h(2)>0,即a<7，h(x)在(0,+8)沒有零點(diǎn)；若h=0,即a等，h(x)在(0,+8)只有一個(gè)零點(diǎn)；若h<0,即a*,由于h(0)=l,所以h(x)在(0,2)有一個(gè)零點(diǎn)，由(1)知，當(dāng) x>0 時(shí)，e-x2,所以 h(4知-/圖>1-故h(x)在(2,4a)有一個(gè)零點(diǎn)，因此h(x)在

14、(0,+8)有兩個(gè)零點(diǎn).綜上，f(x)在(0,+8)只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，a=y.4(二)選考題：共10分。請考生在笫22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22. 選修4一4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程(10分)x=2cos 0(6為參數(shù))，直線1的參數(shù)方程為在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為Jsinex=l+tcos a,y=2+tsina(t為參數(shù)).(1)求C和1的直角坐標(biāo)方程；(2)若曲線C截直線1所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),求1的斜率.【解析】 曲線C的直角坐標(biāo)方程為含白L 4 10當(dāng)cos a W0時(shí)，1的直角坐標(biāo)方程為產(chǎn)tana x+2-tana ,當(dāng)cos a =0時(shí)，1的直角坐標(biāo)方程為x=L(2)將1的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程，整理褥關(guān)于t的方程a+3cos2a)t2+4(2cosa+sina)t-8=0. 因?yàn)榍€C截直線1所得線段的中點(diǎn)(1,2)在C內(nèi)，所以有兩個(gè)解，設(shè)為t】，t2,則ti+tz=O.又由得2cos a+sina =0,于是直線1的斜率k=tan a =-2.23. 選修4一5：不等式選講(10分)設(shè)函數(shù) f (x)=5-|x-a|-|x-2