北京市東城區(qū)2019-2020學年度第二學期高三數(shù)學試題

1、北京市東城區(qū)2019-2020學年度第二學期高三數(shù)學試題2020.5本試卷共4頁，共150分。考試時長120分鐘?？忌鷦毡貙⒋鸢复鹪诖痤}卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y束后,將答題卡一并交回。第一部分（選擇題共40分）(A)(2)(A)(C)(A)(4)(A)選擇題共已知集合1, 0(-1,210小題，每小題4分,0,1函數(shù)f (x)(,-1)U1,+ )已知1+aii (a R),則 a共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1, 01, 2,那么AI(C)(B)(D)1, 01, 22,+ )(,-1)U2,+(D)若雙曲線(B)2 y2也1(b b0)(B)(C)(D)

2、的一條漸近線與直線如圖所示，某三棱錐的正（主）視圖、俯視圖、側（左）圖均為直角三角形，則該三棱錐的體積為(A) 4(B) 6(C) 8(D)12(6)已知x 1 ,那么在下列不等式中，不 成立的是2x1平行，則b的值為(A)x2 1 0(B)(C)sin x x 0(D)(C)(D)俯視cosx19(7)在平面直角坐標系中，動點 M在單位圓上按逆時針方向彳勻速圓周運動，每12分鐘轉動一周.若點M的初始1.33分鐘時，動點M所處位置的坐標是位置坐標為(-,X_),則運動到2 2(A)(B)13(2，V)(C)(D)(唱J22(8)已知三角形 ABC ,那么“um uuu AB+ACumABuuu

3、 AC”是“三角形ABC為銳角三角形”的(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件OM(9)設O為坐標原點，點A(1,0),動點P在拋物線y2, x 0. 2x上，且位于第一象限，M是線段PA的中點，則直線的斜率的范圍為(A) (0, 1(B)(0,(C) (0,(D),2右(10)假設存在兩個物種，前者有充足的食物和生存空間，而后者僅以前者為食物，則我們稱前者為被捕食者,后者為捕食者. 者的數(shù)量以 正確的是：現(xiàn)在我們來研究捕食者與被捕食者之間理想狀態(tài)下的數(shù)學模型y(t)表示.下圖描述的是這兩個物種隨時間變化的數(shù)量關系，.假設捕食者的數(shù)量以 x(t

4、)表示，被捕食 其中箭頭方向為時間增加的方向.下列說法(A)若在ti,t2 時刻滿足：y(ti)=y(t2)，則 x(ti)=x(t2)；(B)(C)(D)如果y(t)數(shù)量是先上升后下降的，那么 x(t)的數(shù)量一定也是先上升后下降；被捕食者數(shù)量與捕食者數(shù)量不會同時到達最大值或最小值；5a MME七于京被捕食者數(shù)量與捕食者數(shù)量總和達到最大值時, 也會達到最大值.被捕食者的數(shù)量第二部分(非選擇題共110分)二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。(11)已知向量a (m,1), b (1, 2), c (2,3),若a b與c共線，則實數(shù) m=.(12)在(x 2)6的展開式中常數(shù)項為一( 用數(shù)

5、字作答) x(13)圓心在x軸上，且與直線11 ：y x和l2：y x 2都相切的圓的方程為 .(14) VABC是等邊三角形， 點D在邊AC的延長線上，且AD 3CD , BD 2/7 ,則CD , sin ABD、一a(x 1), x 0,(15)設函數(shù)f (x) Y a a Y給出下列四個結論：x a a x對a 0 , t R 使得f (x) t無解；對t 0,a R,使得f(x) t有兩解；當a 0時，t 0,使得f (x) t有解；當a 2時，t R ,使得f (x) t有三解.其中，所有正確結論的序號是 _注：本題給出的結論中，有多個符合題目要求。全部選對得5分，不選或有錯選得0

6、分，其他得3分三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。(16)(本小題14分)如圖，在四棱錐 P-ABCD中，PD 面ABCD ,底面ABCD為平行四邊形， AB AC , AB AC 1 , PD 1.(I)求證：AD平面PBC;(n)求二面角 D PC B的余弦值的大小(17)(本小題14分)已知函數(shù) f (x) asin(2x ) 2 cos2 (x )(a 0),且滿足 6'6''(I)求函數(shù)f (x)的解析式及最小正周期；(n)若關于x的方程f(x) 1在區(qū)間0,m上有兩個不同解，求實數(shù) m的取值范圍.從f(x)的最大值為1 ,f

7、(x)的圖象與直線y3的兩個相鄰交點的距離等于兀，f(x)的圖象過點(一,0)這三個條件中選擇一個，補充在上面問題中并作答6注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分。(18)(本小題14分)中國北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)是中國自行研制的全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)，預計2020年北斗全球系統(tǒng)建設將全面完成.下圖是在室外開放的環(huán)境下，北斗二代和北斗三代定位模塊，分別定位的 50個點位的橫、縱坐標誤差的值，其中“g”表示北斗二代定位模塊的誤差的值，“+”表示北斗三代定位模塊的誤差的值.(單位：米)(I)從北斗二代定位的50個點位中隨機抽取一個，求此點橫坐標誤差的值大于 10米的概率；(n )從圖中A, B,C,

8、D四個點位中隨機選出兩個， 記X為 其中縱坐標誤差的值小于4的點位的個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；(m)試比較北斗二代和北斗三代定位模塊縱坐標誤差的 方差的大小.(結論不要求證明)2 1-5B_2,-8 .-101C + D專+算 +)+ +12+ + + +, + +,+ + + +(19)(本小題14分)22已知橢圓E:冬 冬 1(a b 0),它的上，下頂點分別為a2 b2正方形，且面積為 2.A, B,左，右焦點分別為 F1, F2,若四邊形AFBF2為(I )求橢圓E的標準方程;(n)設存在斜率不為零且平行的兩條直線1i, l2,與橢圓E分別交于點C, D,M,N ,且四邊形CDMN

9、是菱形，求出該菱形周長的最大值(20)(本小題15分)已知函數(shù) f(x) x(ln x ax) ( a R).(I)若a 1 ,求曲線y f (x)在點(1, f (1)處的切線方程;(n )若f (x)有兩個極值點，求實數(shù) a的取值范圍；(出)若a 1 ,求f (x)在區(qū)間0,2a上的最小值.(21) (本小題14 分)數(shù)列A：x1，x2，x3，L ，xn，L ， 對于給定的t(t1，t N+) ， 記滿足不等式：xnxtt (n t)( nN+，n t)的 t* 構成的集合為T(t) .(I)若數(shù)列A: xn=n2 ,寫出集合T(2);(n)如果T(t)(t N + , t 1)均為相同的

10、單元素集合，求證：數(shù)列Xi, X2,L , XnL為等差數(shù)列；( III) 如果 T(t) (t N+， t 1)為單元素集合，那么數(shù)列x1， x2，L， xn， L 還是等差數(shù)列嗎？如果是等差數(shù)列，請給出證明；如果不是等差數(shù)列，請給出反例.北京市東城區(qū)2019-2020 學年度第二學期高三綜合練習(一)數(shù)學參考答案及評分標準2020.5-、選擇題(共(1) D(6) D二、填空題(共(4) D(5) A(9) C(10) C10小題，每小題(2) B(7) C5小題，每小題4分，共40分)(3) A(8) B5分，共25分)221(11) 3(12) 160(13) (x 1)2 y2 2(

11、14) 2,3 2114(15)三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。(16)(本小題14分)解：(I)如圖，因為 四邊形ABCD為平行四邊形，所以 AD / BC ,因為 BC 平面PBC , AD 平面PBC ,所以 AD 平面PBC . 6分(n)取C為坐標原點，過點 C的PD平行線為z軸，依題意建立如圖所示的空間直角坐標系C- xyz .由題意得，P(0, 1,1), A(1,0,0), C(0,0,0) , B(1,1,0).所以 PC (0,1, 1) , CB (1,1,0), AC ( 1,0,0).設平面PBC的法向量為n (x, y, z),

12、則nPC0,即yZ0,xy0.nCB0,令 y 1 ,則 x 1 , z 1 .所以 n (1, 1, 1).因為ABCD為平行四邊形，且 AB AC ,所以CD AC .因為PD 面ABCD ,所以PD AC .又因為CD I PD D ,所以AC 面PDC .uuu所以平面PDC的法向量為AC=( 1,0,0),uuu所以 cos n, ACuuun ACuuu|n| AC|由題意可知二面角D PCB的平面角為鈍角,所以二面角D PC B余弦值的大小為14分(17)(本小題14分)解：(I )因為f (x) asin(2x 一 6cos2(x6)所以因為asin(2x ) 6一兀asin(

13、2x ) 6(a 1)sin(2xcos(2xcos(2x函數(shù)f (x)的最小正周期T若選,若選,-) + - 162Tt0 ,所以函數(shù)f (x)的最大值和最小值分別為a, a 2.選，(aa 1 ,函數(shù) f(x) 2sin(2 x -) 63為函數(shù)f(x)的最小值，從而a_ 兀兀一 ,1)sin(2 ) 1 1 ,從而 a 16 6(n)由(I)知函數(shù) f (x)的最大值為1 ；因為所以函數(shù) f(x) 2sin(2x -) 6一.汽,函數(shù) f (x) 2sin(2x ) 1 61；關于x的方程f (x)0,m時,5支< 2m21在區(qū)間Qm上有兩個不同解,(18)(本小題14分)汽2x

14、6:9支汽-,2m6一 4兀解得一3實汽6.7支m 一 .3數(shù) m14分解(I)由圖知，在北斗二代定位的50個點中，橫坐標誤差的絕對值大于10米有3個點,所以從中隨機選出一點，此點橫坐標誤差的絕對值大于10米的概率為-0.06.50(n)由圖知，A, B, C, D四個點位中縱坐標誤差值小于4的有兩個點：C, D.所以X所有可能取值為0,1,2.P(X 0)C20C42P(X1)c2c2C42P(X2)C；C42X012P121636所以X的分布列為、r121所以X的期望EX 0 - 1 - 2 - 1.636(ID)北斗二代定位模塊縱坐標誤差的方差大于北斗三代12分14分(19)(本小題14

15、分)22解：(I)因為 E:x2與a b1(a b 0),所以a2b2 c2.因為 四邊形AF1BF2為正方形，且面積為 2,1所以 2b 2c (2b) (2c) 2 .2所以 b c 1 , a2 b2 c2 2.2所以橢圓E:工y2 1.2(n )設平行直線 l1:y kx m , l2: y kx m ,2不妨設直線y kx m與2 y2 1交于C x1, y1 , D x2, y2 ,2x 2 , y122由 2 y ，得 x 2 kxm 2,y kx m化簡彳導:2k2 1 x2 4kmx 2m2 2 0 ,其中2222(4 km) 4 (2 k 1) (2 m 2) 16k222

16、8m 8 0 ,即 m 2k 1.所以XiX24km2，2k 1X1X22m2 22k2 1由橢圓的對稱性和菱形的中心對稱性，可知OC OD ,所以 x1x2 y1y2 0 , y1 kx m, y2 k% m , /. 2,2X1X2 yi y2 1kxiX2kmx(X2 m 2m2 2 1 k2 4k2m2 m2 2k2 1 2?12k2m2 2m2 2k2 2 4k2m2 2k2m2 m2，2?12_ 2_3m 2k 22 2k 1所以 3m2 2k2 2.|CD 產(1 k2)(X1 X2)2 4/22 2I 22 16k2m28(m2 1)(2k2 1)22k2 1 (1 k2)(3

17、2k2 8)3(2k2 1)28+8i?3 3(2k2 1)28 +213(4k2 4)k83(4 2、4k2 kJ)=3 214分所以當且僅當k 5時，|CD|的最大值為瓜 此時四邊形CDMN周長最大值為473 .(20)(本小題15分)解：(I)當 a 1 時，f (x) ln x 2x 1,所以f (1)1.又因為f(1)1,所以切線方程為y 1 x 1 ,即x y 0.(n) f (x) In x 2ax 1,設 g(x) In x 2ax 1,當a w 0時，易證g（x）在0,+ 單調遞增，不合題意.0,得x1 2a , x12a，,1在0,，上單調遞增, 2a所以1+ 2a時，g

18、x 0,12a上單調遞減,依題意，函數(shù)則g2aln12a1 ,處取得極大值2alnA .2aln x2ax1有兩個零點,0,12a1,又由于一，g 2a2a12a1g(e2a2a12 e2a12a2a(A22)2 111 10a 0實數(shù)a的取值范圍為有兩個極值點13分（出）由（n）可知，當 a 1時,g(x)11一 ln 一2a2a所以f x在（0,+ ）上單調遞減,f x在區(qū)間0,2a上的最小值為f（2a） 2a（ln 2a2a* 2).15分（21）（本小題14分）2*解：(I)由于A: Xn = n , T(2)為滿足不等式Xn Xt t (n t)( n N + )的t構成的集合，所以 有：n2 4 t (n 2)( n N + , n t) ，當 n 2時，上式可化為n+2 t ，所以 5 t .當 n=1 時，上式可化為3 t .所以T(2)為3,5. 4分(n)對于數(shù)列A:&X2,X3,L,Xn,L,若T(t)( tN+,t1)中均只有同一個元素，不妨設為 a.下面證明數(shù)列A為等差數(shù)列.當n=t +1時，有Xt 1 Xt a( t 1)L L (1)；當 n=t 1時，有Xt Xt 1 a( t 1)L L (2)；由于 (1) ， (2) 兩式對任意大于1 的整數(shù)均成立，所