高二數(shù)學(xué)《直線的傾斜角和斜率》教學(xué)設(shè)計

1、直線的傾斜角和斜率”教學(xué)設(shè)計教學(xué)過程設(shè)計（一）引言在平面幾何里，我們直接依據(jù)圖形中點(diǎn)、線、面的關(guān)系，研究圖形的性質(zhì)?，F(xiàn)在我們采用另一種研究方法：坐標(biāo)法。坐標(biāo)法是在坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，通過代數(shù)運(yùn)算研究幾何圖形性質(zhì)的一種方法。本章首先在平面直角坐標(biāo)系中，給直線插上方程的“翅膀”，通過直線方程研究直線之間的位置關(guān)系：平行、垂直，以及兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)到直線的距離等。解析幾何是17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家笛卡爾和費(fèi)馬共同創(chuàng)立的。解析幾何的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一個重要的里程碑，數(shù)學(xué)從此由常量數(shù)學(xué)進(jìn)入變量數(shù)學(xué)時期。解析幾何由此成為近代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)之一。本課時我們將研究最基礎(chǔ)的知識直線的傾斜角

2、和斜率，并在其學(xué)習(xí)過程中體會和感受解析幾何研究問題的基本方法和思想。（設(shè)計意圖：使學(xué)生了解學(xué)習(xí)的新內(nèi)容的特點(diǎn)及意義。） （二）傾斜角概念的形成問題1 平面幾何中，確定直線的條件是什么？對于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一條直線l，它的位置由哪些條件確定呢？（設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)初中學(xué)過的相關(guān)知識，尋找本課時學(xué)習(xí)內(nèi)容的固著點(diǎn)、生長點(diǎn)。）預(yù)設(shè)的回答：兩點(diǎn)確定一條直線。啟發(fā)引導(dǎo)：還有沒有別的方法？能否利用給定的直角坐標(biāo)系？在學(xué)生一定時間的思考后提出問題2在直角坐標(biāo)系內(nèi)任給一個點(diǎn)，過這個點(diǎn)的直線有無數(shù)條。再給一個什么條件就可以唯一確定一條直線呢？請動手操作一下。預(yù)設(shè)的回答：可能會有“與x軸的

3、交角”“與y軸的交角”等。啟發(fā)性講解：（借助于信息技術(shù)演示）可以發(fā)現(xiàn)，過一個點(diǎn)的直線有無數(shù)條，再借助坐標(biāo)軸，給定直線與坐標(biāo)軸的交角，那么直線就唯一確定了。一般的，我們以水平線x軸為基準(zhǔn)，這也符合我們?nèi)粘１硎疚矬w傾斜程度的習(xí)慣。因此我們約定圖1中的角表示直線的傾斜程度，把它叫做直線的傾斜角。由教師給出直線的傾斜角的定義，指出傾斜角的意義：當(dāng)直線l與x軸相交時，我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角（angle of inclination）圖2中直線l的傾斜角為銳角，直線l的傾斜角為鈍角。當(dāng)直線與x軸平行或重合時，我們規(guī)定它的傾斜角為0o。

4、（這個定義可否這樣給出：當(dāng)直線l與x軸相交時，我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上方向之間所成的最小正（這三個字是否添加要看必修教材教學(xué)的順序，如果是12345的順序，就不需要添加“正”字，如果是14523的順序，則需要添加）角叫做直線l的傾斜角（angle of inclination）當(dāng)直線與x軸平行或重合時，我們規(guī)定它的傾斜角為0o，因此直線的傾斜角的取值范圍為0o<180o（這樣做的原因是，定義簡潔，自明，惟一，可以根據(jù)定義進(jìn)行判斷，而不需要用圖形對定義進(jìn)行補(bǔ)充說明。）追問：由定義，傾斜角的范圍是什么？（設(shè)計意圖：在定義的形成過程中主要上針對個別條直線，研

5、究的重點(diǎn)是定義的形成，通過這個問題引導(dǎo)學(xué)生研究所有直線與其傾斜角的關(guān)系，將定義具體化，全面化，同時得到傾斜角的意義。）預(yù)設(shè)的答案：傾斜角的取值范圍為0o<180o。傾斜角的意義：平面內(nèi)每一條直線都有一個確定的傾斜角，且傾斜程度相同的直線，其傾斜角相等；傾斜程度不同的直線，其傾斜角步等。因此，直線的傾斜角表示平面內(nèi)一條直線的傾斜程度。（三）斜率概念的形成問題3 日常生活中我們經(jīng)常遇到上坡下坡之類的問題，你知道哪些表示傾斜程度的量嗎？這些量與傾斜角有關(guān)系嗎？（設(shè)計意圖：了解學(xué)生的知識經(jīng)驗(yàn)，并引導(dǎo)學(xué)生建立坡度與傾斜角的關(guān)系。）（活動方式：先由學(xué)生在回憶的基礎(chǔ)上做答，教師收集整理，挑選

6、其中合理的成份。之后再在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生建立這個量與傾斜角之間的關(guān)系。）預(yù)設(shè)的復(fù)習(xí)答案：可以用坡度表示斜坡的傾斜程度，如圖3，有坡度（比）=（此處可舉具體的數(shù)字進(jìn)行解釋或復(fù)習(xí)）坡度與傾斜角的關(guān)系預(yù)設(shè)的答案：如圖3所示是斜坡的主視圖，可見，斜坡可以抽象為一條直線，它關(guān)于水平面的傾斜角記為，那么這里的坡度（比）實(shí)際就是“傾斜角的正切值”。小結(jié)講授：把一條直線的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率（slope）。斜率常用小寫字母k表示，即k=tan。問題4 如圖2，直線l的傾斜角=45 o，直線l的傾斜角=135 o，寫出兩條直線的斜率。再選取一些數(shù)據(jù)如傾斜角為：30 o，150 o，

7、60 o，120 o等，計算相應(yīng)直線的斜率。并分析直線的傾斜角不同時，直線的斜率取值是否也不同，在此基礎(chǔ)上總結(jié)斜率的意義。（提示：當(dāng)為銳角時，tan（180 o-）=-tan。）（設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生通過有代表性的具體實(shí)例的分析，利用“提示”中的知識，結(jié)合初中學(xué)過的正切值，了解斜率取值的特點(diǎn)，滲透分類討論點(diǎn)思想總結(jié)出斜率的意義。此處也可以多增加一些角，用計算器計算）（活動方式：由學(xué)生獨(dú)立完成，教師在方法上予以指導(dǎo)分類討論法，并類比傾斜角的意義思考概括。）計算過程：表1：傾斜角30 o45 o60 o135 o120 o150 o斜率     &#

8、160;預(yù)設(shè)的答案：傾斜角是90 o的直線沒有斜率；傾斜角不是90 o的直線都有斜率；傾斜角不同，直線的斜率也不同。斜率大于0的直線的傾斜角為銳角，并且斜率越大傾斜角越大；斜率小于0的直線的傾斜角為鈍角，并且斜率越小傾斜角越大。（此處可以結(jié)合具體計算過程得到的表1進(jìn)行理解。）因此，我們可以用斜率表示直線的傾斜程度。（四）直線斜率的坐標(biāo)計算法問題5：確定直線的兩個條件點(diǎn)和傾斜角（或斜率）中的點(diǎn)可以用坐標(biāo)表示，傾斜角已經(jīng)代數(shù)化為斜率。在引言中已經(jīng)談到，解析幾何的基本方法就是坐標(biāo)法，因此要利用傾斜角和斜率對直線進(jìn)行進(jìn)一步的代數(shù)化的研究必須建立斜率的坐標(biāo)表示方法。根據(jù)斜率定義的過程，你能否將坡度進(jìn)一步

9、坐標(biāo)化，在此基礎(chǔ)上求出斜率的坐標(biāo)表示？（設(shè)計意圖：逐步實(shí)踐坐標(biāo)法。）（活動方式：先由學(xué)生初步坐標(biāo)化，教師引導(dǎo)分類求解。）活動過程：原問題轉(zhuǎn)化為：給定兩點(diǎn)P1(x1,y1), P2(x2, y2)（其中x1x2）的坐標(biāo)，求出直線P1 P2的斜率k。分析：解決這個問題需要分類求解，首先是對于特殊直線，與x軸垂直或平行（重合）的直線進(jìn)行分析求解。對于其他直線分類的依據(jù)是兩點(diǎn)在直線上位置以及直線的傾斜角是銳角還是鈍角。所以二級分類共得到四種不同的情況，如圖4所示。分類求解。解決的具體思路是：先就圖4（1）求解，再變式為圖4（2），比較異同求解；之后就圖4（3）求解，再變式為圖4（4），類比求解?；顒咏Y(jié)

10、果：綜上所述，我們得到經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式是：。追問：上述公式的適用范圍是什么？與所取的點(diǎn)的坐標(biāo)是否有有關(guān)，與所取點(diǎn)的先后順序是否有關(guān)？（設(shè)計意圖：辨析公式。）（五）應(yīng)用理解例1如圖5，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,求直線AB，BC，CA的斜率，并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角。 （設(shè)計意圖：鞏固本課時所學(xué)的基本知識。）例2   在平面直角坐標(biāo)系中，畫出經(jīng)過原點(diǎn)且斜率分別為1，-1，和2的直線。（設(shè)計意圖：通過逆向思維，進(jìn)一步加深對本課時所學(xué)的基本知識的理解，滲透坐標(biāo)法的逆用和數(shù)形結(jié)合思想。）    （六）小結(jié)問題6：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你有哪些收獲？可以從知識，方法，數(shù)學(xué)思想，經(jīng)驗(yàn)等方面談?wù)?。預(yù)設(shè)的回答：知識方面：傾斜角的定義，斜率的定義和利用坐標(biāo)求斜率的公式及其適用范圍；方法：坐標(biāo)法；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，分類討論，化歸等數(shù)學(xué)思想；經(jīng)驗(yàn)：今天所學(xué)的知識都是源于已有的知識經(jīng)驗(yàn)，傾斜角是角概念基礎(chǔ)上學(xué)的，斜率是在坡度概念基礎(chǔ)上進(jìn)一步坐標(biāo)化得到的。所以在學(xué)習(xí)過程中要注意知識間的聯(lián)系。  &#