二重積分計(jì)算中的積分限的確定

1、二重積分計(jì)算中積分限的確定摘要：二重積分計(jì)算中積分限的確定對(duì)于初學(xué)者是一個(gè)重點(diǎn)更是一個(gè)難點(diǎn)本文旨在 介紹一種二重積分計(jì)算中確定積分限的簡(jiǎn)單易行的方法.關(guān)鍵詞：二重積分累次積分積分限積分次序引言：髙等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，二重積分計(jì)算是個(gè)難點(diǎn)。原因在于將二重積分化為累次 積分時(shí)，對(duì)于積分限的確定學(xué)生難以掌握。本人結(jié)合自己的教學(xué)過(guò)程和自己的學(xué)習(xí)體會(huì)總結(jié) 出一個(gè)口訣，發(fā)現(xiàn)在教學(xué)過(guò)程中效果不錯(cuò)可以很好的幫助學(xué)生解決這一難題。1. 高等數(shù)學(xué)中計(jì)算二重積分的方法在高等數(shù)學(xué)課本中，在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分的步驟為：。(1) 畫(huà)出積分區(qū)域(2) 確左積分區(qū)域是否為X-型或Y-型區(qū)域，如既不是X-型也不是Y-型區(qū)域

2、，則要將 積分區(qū)域化成幾個(gè)X-型和Y-型區(qū)域，并用不等式組表示每個(gè)X-型和Y-型區(qū)域.(3) 用公式化二重積分為累次積分.(4) 計(jì)算累次積分的值.在教學(xué)的過(guò)程中我發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)于此種方法掌握的很不好，尤英是在第二步中，確立積分 區(qū)域從而確定累次積分的積分限是一個(gè)薄弱環(huán)戊下而就本人在教學(xué)中的體會(huì)談?wù)勗谶@方而 的一點(diǎn)心得.2. 教學(xué)過(guò)程中總結(jié)的方法本人的心得可用下而的口訣概括:后積先定限，限內(nèi)畫(huà)條線，先交下限取，后交上限見(jiàn)下 而簡(jiǎn)單解釋一下該口訣，然后以具體的例題加以說(shuō)明.在將二重積分轉(zhuǎn)化為累次積分的時(shí)候 對(duì)于兩個(gè)積分變量必然會(huì)有個(gè)先后額序，這就要求對(duì)后積分的那個(gè)變量我們要根據(jù)積分區(qū)域 確泄英上下限

3、(所謂確泄是指根搦積分區(qū)域圖將其上下限左為常數(shù))確左了這個(gè)變疑的上下 限以后，我們?cè)谟⑸舷孪迌?nèi)畫(huà)一條和上下限平行的直線，該直線沿著坐標(biāo)軸的正方向畫(huà)過(guò)來(lái), 這樣該直線如果和積分區(qū)域總是有兩個(gè)交點(diǎn)，先交的即為另一個(gè)積分變量的積分下限，后交 的即為其積分上限.3. 例題解析例1計(jì)算口驢/.皿$,苴中D是由直線x = 2,y = 1,y = x所用成的區(qū)域.D解:作岀積分區(qū)域D的圖形在這個(gè)例題中我們既可以選擇先對(duì)x積分也可以選擇先對(duì)y積分若我們選擇先對(duì)x積分，那么根據(jù)口訣需要先把后積分的變量y的積分限根據(jù)積分區(qū)域先定下來(lái)從積分區(qū)域圖可以看出y最小取到1最大取到2然后我們?cè)趛的限y = l和=2內(nèi)畫(huà)一條

4、和這兩條直線平行的直線，易見(jiàn)這條線只要畫(huà)在y = 1和y = 2內(nèi)，則其左邊總是和直線x = y相交，從而x的枳分下限即為y,而右邊總是和直線x = 2 相交，從而x的積分上限為2.這樣就完成了二重積分到累次積分的轉(zhuǎn)化：若我們選擇先對(duì)y積分也是可以的。先把后積分的變量x的積分限根據(jù)積分區(qū)域 確泄下來(lái)。從積分區(qū)域圖易見(jiàn)X最小取到1最大取到2。然后在x = 1和x = 2內(nèi)畫(huà)一 條和這兩條直線平行的直線，只要這條線畫(huà)在x = l和x = 2內(nèi).則其下邊總是和y = l相交，而上而總是y = x相交。從而y這個(gè)積分變量的下限為1上限為x°于是該二重積分也可轉(zhuǎn)化為下面的二次積分來(lái)計(jì)算： xy

5、dxdy = f xdx ydy = f - )dx =令_例2 xnxydxdy，其中D是由拋物線y2 =x和直線y = x-2所圍成的區(qū)域。 D解首先作出積分區(qū)域圖在本題中若我們選擇先對(duì)X枳分，則根據(jù)積分區(qū)域圖和上而介紹的口訣可以知 道該二重積分化為二次積分為：JJ xydxdy =厶=+ '（' + 2）' _= 5 彳d-、2 -X在本題中若我們選擇先對(duì)y積分，則根據(jù)積分區(qū)域圖我們先把x的上下限定下 來(lái)，由圖可見(jiàn)x最小取到0最大取到4。但在x = 0和兀=4這兩條直線之間畫(huà)和 他們平行的直線的時(shí)候發(fā)現(xiàn)在尤=1這條直線的左右兩側(cè)情況有所不同：在x = l的 左側(cè)所

6、畫(huà)直線上下均與拋物線y2 =x相交，而右側(cè)所畫(huà)直線下而是與直線y = x- 2相交上而是與拋物線相交。從而本題若選擇先對(duì)y后對(duì)x積分則需要將 積分區(qū)域從直線x = 1處分割成兩半來(lái)處理：Jj* xydxdy = £ ayZxj' _ ydy + jydyD'顯然這樣計(jì)算起來(lái)要比上一種方法復(fù)雜的多！故當(dāng)積分區(qū)域?qū)龠@種情況時(shí)一般 來(lái)講我們會(huì)選擇先對(duì)x后對(duì)y積分。還有的情況恰與這種情況相反，那么我們?yōu)榱?簡(jiǎn)便起見(jiàn)一般會(huì)選擇先對(duì)y后對(duì)x積分。比如：在本題中若我們?nèi)匀贿x擇先對(duì)X積分，則根據(jù)積分區(qū)域圖易知：積分變量y的最 小取到0最大取到4。但是在y = 0不口y= 4這兩條直線

7、之間畫(huà)平行于它們的直線的時(shí) 候會(huì)發(fā)現(xiàn)在直線y = 1的上下兩側(cè)所畫(huà)直線與區(qū)域圖的交點(diǎn)所在的曲線有所不同：在 直線y = l的下側(cè)，所畫(huà)直線左右兩端均與拋物線相交。在直線y = l的上側(cè)，所畫(huà) 直線左端與直線相交右端與拋物線相交。于是二重積分轉(zhuǎn)化為累次積分進(jìn)行計(jì)算時(shí)要 將積分區(qū)域沿直線y = 1分割成兩塊來(lái)處理：下而我們選擇先對(duì)y積分看是否可以起到簡(jiǎn)化訃算的效果：從積分區(qū)域圖可以看到積分變量x最小取到-1最大取到2,在宜線尤=-1和x = 2之間畫(huà)平行于它們的直線時(shí)易見(jiàn)該直線上端總是與直線y = x + 2相交下端總是 與拋物線y = x2相交，從而二重積分化為累次積分如下：= 5-8以上兩個(gè)例

8、題是根據(jù)積分區(qū)域選擇積分次序以簡(jiǎn)化訃算，積分次序的選 擇有時(shí)還要根據(jù)被積函數(shù)來(lái)選擇，比如下面這個(gè)例題：例4：汁算JJx2ev dxdy,英中£）是由直線x = 0, y = 1及y = x所用成的 D區(qū)域。解先畫(huà)岀積分區(qū)域圖若我們選擇先對(duì)x積分，根據(jù)積分區(qū)域圖，積分變量y最小取到0最大取到1,在直線y = 0和y = l之間畫(huà)平行于他們的直線，該直線左端總是與直線x = 0相交右端總是與直線x = y相交，從而二重積分化為累次積分為：|xe' dxdy = Jxdx = y5eY dy =本題中若我們選擇先對(duì)y積分，則有：|x2e' dxdy = J：ev dyD&#

9、39;x由于的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表出，因此我們無(wú)法求出二重積分的值！綜上所述，對(duì)于初學(xué)者在將二重積分轉(zhuǎn)化為累次積分時(shí)，應(yīng)該依 積分區(qū)域和被積函數(shù)的具體情況選擇積分的先后順序，方能達(dá)到簡(jiǎn)化汁算的目 的。參考文獻(xiàn)：【1】杜先能孫國(guó)正。高等數(shù)學(xué)M。安徽大學(xué)出版社，2004【2】華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系。數(shù)學(xué)分析M。髙等教育出版社，2004The integral limit s ascertaining in double integral s calculation(zhaojuan chenhao)(Depar枷ent of Jlathematics, Suzhou College, Suzhou,

10、 Anhui, 234000)Abstract:That dual accumulate points calculates ascertaining that middle accumulate points is restricted to is that a priority also is a difficult, point to the beginner. The main body of this article aim at ascertaining the method simple and easy to do that acciunuhte points is restricted