空間向量及其運算B

1、9.6空間向量及其運算(B)【教學(xué)目標(biāo)】(1) 了解空間向量基本概念；掌握空間向量的加、減、數(shù)乘、及數(shù)量積的運算；了解空間向 量共面概念及條件；理解空間向量的基本定理。(2)理解空間直角坐標(biāo)系的概念，會用坐標(biāo)來表示向量；理解空間向量的坐標(biāo)運算；會用向 量工具來解決一些立體幾何問題?！局R梳理】1、共線向量定理：對空間任意兩個向量a,b (b 0),a b的充要條件是存在實數(shù)使 ab。顯然 a/b,b/c,則a/c。2、直線的向量參數(shù)表示式：點P在直線L上的充要條件是存在實數(shù)t，使 OP OAta ( a是直線L的方向向量)yOB，則 x+y=1?；?OP =(1 t) OA tOB。若有 OP

2、 =x OA3、共面向量定理：兩個向量a,b不共線，則向量 p與向量a,b共面的率要條件是存在實數(shù)對x，y使p = xa yb。推論：空間一點P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x，y使得:MP xMA yMB，或?qū)臻g任意一點O 有：OP OM xMA yMB。4、空間向量的基本定理：如果三個向量a,b,c不共面，那么對空間任意一向量p，存在惟一有序?qū)崝?shù)對 x、y、z使得 p = xa yb zc。推論：設(shè) 0、A、B、C是不共面的四點，則對空間任意一點P，都存在惟一的三個有序?qū)崝?shù)x、y、z使OP=xOA yOB + zOC。特別地，當(dāng)x+y+z=1時，則必有P、A、B、C四點共面。

3、5、定義:a?ba b cos a,b/ - :a ? b，或cos a,b | ，用于求兩個向量的數(shù)量積或夾角;6、a b a?b 0，用于證明兩個向量的垂直關(guān)系；7、甘 a?a，用于求距離?！军c擊雙基】1在以下四個式子中正確的有a+b c, a (b c), a (b c), |a b|=|a|b|A.1個B.2個C.3個D.0個解析：根據(jù)數(shù)量積的定義，b c是一個實數(shù)，a+b - c無意義實數(shù)與向量無數(shù)量積，故a - (b - c)錯，|a b|=|a|b|cos a, b |,只有 a (b - c)正確.答案：A2設(shè)向量a、b、c不共面，則下列集合可作為空間的一個基底的是A. a+b

4、，b a, aB.a+b, b a, bC.a+b, b a, cD. a+b+c, a+b, c解析：由已知及向量共面定理，易得a+b, b a, c不共面，故可作為空間的一個基底，故選C.答案：C3. 在平行六面體 ABCD A B C D中，向量 AB、AD、BD是A.有相同起點的向量B.等長的向量C.共面向量D.不共面向量解析： AD AB = B D = BD , AB、AD、BD 共面.答案：C4. 已知 a= (1, 0), b= (m, m) (m 0),貝9 a, b =.答案：455. 已知四邊形 ABCD中，AB=a 2c, CD =5a+6b 8c,對角線AC、BD的中

5、點分別為E、F，貝U EF =.解析： EF = EA+AB+BF ,又 EF = EC +CD + DF ,兩式相加，得 2EF = ( EA+ EC ) + ( AB + CD ) + ( BF + DF ). E是AC的中點，故 EA+ EC =0.同理，BF + DF =0. 2 EF = AB + CD = (a 2c) + (5a+6b 8c) =6a+6b 10c. EF =3a+3b 5c.答案：3a+3b 5c【典例剖析】【例1書】在平行四邊形 ABCD中，AB=AC=1, / ACD=90 ,將它沿對角線 AC折起，使AB 與CD成600角，求B、D間的距離。【例2書】在棱

6、長為1的正方體求證：(1) BD1丄平面ACB1；1(2)BE=2 ED1例 3.在正三棱柱 ABC A1B1C1 中，(1)已知 AB1 BC1，求證：AB1 A1 C ；當(dāng) AB=2 , AA1=4 時，求異面直線 BC1與A1C所成角的余弦值.則 AB1 =a+c, BC 1 = b a+ c,即 c2 a2+a b=0.x2+丄 x2=0,. x2=2h2.2解：設(shè) AB =a， AC =b， AA1 =c，t AB1 BC1(a+c) (b a+c)=0,又設(shè)AB = AC=x,AAj = h，貝V h2AB1 A1C =(a+c) (b c)=a b c2= 1 x2h2= h2

7、h2=0. BC； = AC=JR , bC1 AC=(b a+c) (b c)=b2 c2 a b= 14設(shè)異面直線BC1與A1C所成的角為，_lIbc1 Ac則 cos =|cos|=BC1A1C710Ai C =b c.即異面直線BC1與A1C所成角的余弦值為10例4.已知空間四邊形 OABC中，AOB BOCAOC,且 OAOB OC, M ,N 分別是OA, BC的中點，G是MN中點求證：OGBC分析：要證OG BC ,只須證明OG BC 0即可.而要證OG BC0 ,必須把OG, BC用一組已知的空間基向量來表示又已知條件為AOBBOC AOC,且OA OB OC,因此可選OA,O

8、B,OC為已知的基向量證明：連結(jié)ON ,由線段中點公式得：OG 1(OM ON)11 1 1 -OA-(OBOC)-(OAOB224OC)，又 BC OC OB,OG BC -(OA4OBOC)(OC OB)1 -(OA OC OB 41 2 -(OA OC OC4OC2OCOA OBOA OC|oa| |oc 2 OA OB OB OC OB)2OB )cos AOC, OA OBOA OB cos AOB,且|ocOB|OA,AOB AOC ,OG BC 0, OGBC說明：在證明兩直線垂直或兩異面直線所成的角時在具體的過程中，要注意向量轉(zhuǎn)化時的選擇,不妨考慮用向量來解決；,盡可能簡潔C中的一組基向量共面.C1 D11 1CiO-(b a)證明：設(shè)CiBi a,CiDi b,CCi c,因為BiBCCi為平行四邊形，iBiCc a,又 0是 BiDi 的中點，GO (a b),ODiDi D / CCi, Di DCCi,D1D C1C,OD OD1 D1Da) c,若存在實數(shù)x, y,使B1CxODyOCi(x, yR）成立，則1 khc a x (b a) c2i 2(ab)ii2(x y)a 2(xy)bxc2(x1因為a,b,c不共線， (x2x iy)y)0，BiC OD 0Ci,