常用的地因式分解公式

1、實用標(biāo)準(zhǔn)文案常用的因式分解公式：待定系數(shù)法 ( 因式分解 )待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中的一種重要的解題方法，應(yīng)用很廣泛，這里介紹它在因式分解 中的應(yīng)用在因式分解時，一些 多項式經(jīng)過分析，可以斷定它能分解成某幾個因式，但這幾個因式中的某些系數(shù)尚未確定，這時可以用一些字母來表示待定的系數(shù)由于該多項式等于這幾個因式的乘積， 根據(jù)多項式恒等的性質(zhì)， 兩邊對應(yīng)項系數(shù)應(yīng)該相等， 或取多項式中原有字母的幾個特殊值， 列出關(guān)于待定系數(shù)的方程 ( 或方程組 ) ，解出待定字母系數(shù)的值，這種因式分解的方法叫作待定系數(shù)法精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案例 1 分解因式： x2+3xy+2y2+4x+5y+3分析 由于(x 2+3xy+

2、2y2 )=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式， 那么它的兩個一次項一定是 x+2y+m和 x+y+n 的形式，應(yīng)用待定系數(shù)法即可求出 m和 n，使問題得到解決解 設(shè)x2+3xy+2y2 +4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2 +(m+n)x+(m+2n)y+mn，比較兩邊對應(yīng)項的系數(shù)，則有解之得 m=3，n=1所以原式 =(x+2y+3)(x+y+1) 說明 本題也可用 雙十字相乘法 ，請同學(xué)們自己解一下例 2 分解因式： x4-2x 3-27x 2 -44x+7 分析 本題所給的是一元整 系數(shù)多項式，根據(jù)前面講過的 求根法，若原式有有理根，則只可能是

3、± 1，±7(7 的約數(shù) ) ，經(jīng)檢驗，它們都不是原式的根， 所以，在有理數(shù)集內(nèi)，原式?jīng)]有一次因式如果原式能分解，只能分解為(x 2+ax+b)(x 2 +cx+d) 的形式解 設(shè)原式 =(x 2+ax+b)(x 2+cx+d)=x4+(a+c)x 3+(b+d+ac)x 2+(ad+bc)x+bd ，所以有由 bd=7，先考慮 b=1，d=7 有所以原式 =(x 2-7x+1)(x 2+5x+7) 精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案說明 由于因式分解的唯一性， 所以對 b=-1，d=-7 等可以不加以考慮 本題如果 b=1， d=7 代入方程組后，無法確定 a， c 的值，就必須將 b

4、d=7 的其他解代入方程組，直到求出待定系數(shù)為止本題沒有一次因式， 因而無法運用求根法分解因式 但利用待定系數(shù)法， 使我們找到了二次因式由此可見，待定系數(shù)法在因式分解中也有用武之地求根法 ( 因式分解 )我們把形如 anxn+an-1xn- 1+a1x+a0(n 為非負(fù)整數(shù) ) 的代數(shù)式稱為關(guān)于x的一元多項式，并用 f(x)，g(x) ， 等記號表示，如f(x)=x2-3x+2 ，g(x)=x5+x2+6 ， ，當(dāng) x=a 時，多項式 f(x) 的值用 f(a) 表示如對上面的多項式 f(x)f(1)=12-3×我們把形如 an xn+an-1 xn-1 + +a1x+a0(n 為非

5、負(fù)整數(shù) ) 的代數(shù)式稱為關(guān)于 x 的一元多項式，并用 f(x) ，g(x)， 等記號表示，如f(x)=x 2-3x+2 ， g(x)=x 5+x2+6， ，當(dāng) x=a 時，多項式 f(x) 的值用 f(a) 表示如對上面的多項式f(x)f(1)=1 2- 3×1+2=0；f(-2)=(-2)2- 3×(-2)+2=12 若 f(a)=0 ，則稱 a 為多項式 f(x) 的一個根定理 1( 因式定理 ) 若 a 是一元多項式 f(x) 的根，即 f(a)=0 成立，則多項式 f(x) 有一個因式 x-a 根據(jù)因式定理，找出一元多項式 f(x) 的一次因式的關(guān)鍵是求多項式 f(

6、x) 的根對于任意多項式 f(x) ，要求出它的根是沒有一般方法的， 然而當(dāng)多項式 f(x) 的系數(shù)都是整數(shù)時，即整系數(shù)多項式時， 經(jīng)常用下面的定理來判定它是否有有理根定理 2的根，則必有 p 是 a0 的約數(shù)，q 是 an 的約數(shù)特別地，當(dāng) a0=1 時，整系數(shù)多項式 f(x) 的整數(shù)根均為 an 的約數(shù)精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案我們根據(jù)上述定理， 用求多項式的根來確定多項式的一次因式， 從而對多項式進(jìn)行因式分解 例 2 分解因式： x3-4x 2+6x-4 分析 這是一個整系數(shù)一元多項式，原式若有整數(shù)根，必是 -4 的約數(shù)，逐個檢驗 -4 的約數(shù)：± 1，± 2，±

7、 4，只有32f(2)=2- 4×2+6×2-4=0 ，即 x=2 是原式的一個根，所以根據(jù)定理1，原式必有因式x-2 解法 1 用分組分解法，使每組都有因式(x-2) 原式 =(x 3-2x 2)-(2x 2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2) 解法 2 用多項式除法，將原式除以(x-2) ，所以原式 =(x-2)(x2-2x+2) 說明 在上述解法中，特別要注意的是多項式的有理根一定是-4 的約數(shù)，反之不成立，即 -4 的約數(shù)不一定是多項式的根因此，必須對-4 的約數(shù)逐個代入多項式進(jìn)行驗證例 3 分解因式：

8、9x4-3x 3+7x2 -3x-2 分析 因為 9 的約數(shù)有± 1，± 3，± 9； -2 的約數(shù)有± 1，為：所以，原式有因式9x2-3x-2 解 9x 4-3x 3 +7x2-3x-2 =9x4-3x 3 -2x 2+9x2-3x-2 =x2(9x 3-3x-2)+9x 2-3x-2精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案=(9x 2-3x-2)(x2 +1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)說明 若整系數(shù)多項式有 分?jǐn)?shù)根，可將所得出的含有分?jǐn)?shù)的因式化為整系數(shù)因式，如上題中的因式可以化為 9x2-3x-2 ，這樣可以簡化分解過程總之，對一元高次多項式 f(x) ，

9、如果能找到一個一次因式 (x-a) ，那么 f(x) 就可以分解為 (x-a)g(x) ，而 g(x) 是比 f(x) 低一次的一元多項式， 這樣，我們就可以繼續(xù)對 g(x) 進(jìn)行分解了雙十字相乘法 ( 因式分解 )分解二次三項式時，我們常用十字相乘法對于某些二元二次六項式 (ax2+bxy+cy2+dx+ey+f) ，我們也可以用十字相乘法分解因式例如，分解因式 2x2-7xy-22y2-5x+35y-3 我們將上式按 x 降冪排列，并把 y 當(dāng)作常數(shù)，于是上式可變形為 2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可分解二次三項式時，我們常用十字相乘法 對于某些二元二次六項式22例如，

10、分解因式 2x2-7xy-22y 2-5x+35y-3 我們將上式按 x 降冪排列，并把 y 當(dāng)作常數(shù)，于是上式可變形為2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3) ，可以看作是關(guān)于 x 的二次三項式對于常數(shù)項而言， 它是關(guān)于 y 的二次三項式， 也可以用十字相乘法， 分解為即-22y 2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)再利用十字相乘法對關(guān)于x 的二次三項式分解所以原式 = x+(2y-3) 2x+(-11y+1) 精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案=(x+2y-3)(2x-11y+1)上述因式分解的過程， 實施了兩次十字相乘法 如果把這兩個步驟中的十字相乘圖合并在一起，可得到下圖：它表示的是

11、下面三個關(guān)系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y 2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3 ；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3 這就是所謂的 雙十字相乘法 用雙十字相乘法對多項式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f 進(jìn)行因式分解的步驟是：(1) 用十字相乘法分解 ax2+bxy+cy2，得到一個十字相乘圖 ( 有兩列 ) ；(2) 把常數(shù)項 f 分解成兩個因式填在第三列上，要求第二、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的 ey，第一、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的 dx例 1 分解因式：(1)x 2-3xy-10y 2+x+9y-2 ；

12、(2)x 2-y 2 +5x+3y+4；(3)xy+y 2+x-y-2 ；(4)6x 2- 7xy-3y 2-xz+7yz-2z 2解 (1)原式 =(x-5y+2)(x+2y-1)(2)原式 =(x+y+1)(x-y+4)(3) 原式中缺 x2 項，可把這一項的系數(shù)看成 0 來分解原式 =(y+1)(x+y-2) (4)精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案原式 =(2x-3y+z)(3x+y-2z)說明 (4) 中有三個字母，解法仍與前面的類似筆算開平方對于一個數(shù)的開方，可以不用計算機(jī)，也不用查表，直接筆算出來，下面通過一個例子來說明如何筆算開平方，對于其它數(shù)只需模仿即可例 求 316.4841 的平方根

13、.第一步 , 先將被開方的數(shù)，從小數(shù)點位置向左右每隔兩位用逗號，分段，如把數(shù)316.4841 分段成 3,16.48,41.第二步，找出第一段數(shù)字的初商，使初商的平方不超過第一段數(shù)字，而初商加1的平方則大于第一段數(shù)字，本例中第一段數(shù)字為 3，初商為 1，因為 12=1<3，而 (1+1)2=4>3.第三步，用第一段數(shù)字減去初商的平方，并移下第二段數(shù)字，組成第一余數(shù)，在本例中第一余數(shù)為 216.第四步，找出試商，使 (20 ×初商 +試商 ) ×試商不超過第一余數(shù)，而【 20×初商 +( 試商 +1) 】× ( 試商 +1) 則大于第一余數(shù) .

14、第五步，把第一余數(shù)減去 (20 ×初商 +試商 ) ×試商，并移下第三段數(shù)字，組成第二余數(shù)，本例中試商為 7，第二余數(shù)為 2748. 依此法繼續(xù)做下去，直到移完所有的段數(shù)，若最后余數(shù)為零，則開方運算告結(jié)束 . 若余數(shù)永遠(yuǎn)不為零，則只能取某一精度的近似值 .第六步，定小數(shù)點位置，平方根小數(shù)點位置應(yīng)與被開方數(shù)的小數(shù)點位置對齊 . 本例的算式如下：精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案根式的概念【方根與根式】數(shù) a 的 n 次方根是指求一個 數(shù)，它的 n 次方恰好等于 a.a 的 n次方根記為(n 為大于 1 的自然數(shù) ). 作為代數(shù)式，稱為根式 .n 稱為根指數(shù)，a 稱為根底數(shù) . 在實數(shù)范圍內(nèi)

15、，負(fù)數(shù)不能開偶次方，一個正數(shù)開偶次方有兩個方根，其絕對值相同，符號相反 .【算術(shù)根】正數(shù)的正方根稱為算術(shù)根 . 零的算術(shù)根規(guī)定為 零.【基本性質(zhì)】由方根的定義，有根式運算【乘積的方根】 乘積的方根等于各因子同次方根的乘積；反過來，同次方根的乘積等于乘積的同次方根，即 0,b 0)【分式的方根】分式的方根等于分子、分母同次方根相除，即精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案 0,b>0)【根式的乘方】0)【根式化簡】 0) 0,d 0) 0,d 0)【同類根式及其加減運算】 根指數(shù)和根底數(shù)都相同的根式稱為同類根式，只有同類根式才可用加減運算加以合并 .進(jìn)位制的基與數(shù)字任一正數(shù)可表為通常意義下的有限小數(shù)或無限小

16、數(shù)，各數(shù)字的值與數(shù)字所在的位置有關(guān)，任何位置的數(shù)字當(dāng)小數(shù)點向右移一位時其值擴(kuò)大 10 倍，當(dāng)小數(shù)點向左移一位時其值縮小 10 倍. 例如一般地，任一正數(shù)a 可表為精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案這就是 10 進(jìn)數(shù)，記作 a(10) ，數(shù) 10 稱為進(jìn)位制的基，式中ai 在0,1,2,L,9中取值，稱為 10 進(jìn)數(shù)的數(shù)字，顯然沒有理由說進(jìn)位制的基不可以取其他的數(shù). 現(xiàn)在取 q 為任意大于 1 的正整數(shù)當(dāng)作進(jìn)位制的基，于是就得到q 進(jìn)數(shù)表示(1)式中數(shù)字 ai 在0,1,2,.,q-1 中取值， anan-1 .a 1a0 稱為 q 進(jìn)數(shù) a(q) 的整數(shù)部分，記作 a(q);a-1a-2 . 稱為 a(q)

17、 的分?jǐn)?shù)部分，記作 a(q). 常用進(jìn)位制，除 10 進(jìn)制外，還有 2 進(jìn)制、 8 進(jìn)制、 16 進(jìn)制等，其數(shù)字如下2進(jìn)制 0,18進(jìn)制 0,1,2,3,4,5,6,716進(jìn)制 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9各種進(jìn)位制的相互轉(zhuǎn)換1 q10 轉(zhuǎn)換 適用通常的 10 進(jìn)數(shù)四則運算規(guī)則 ，根據(jù)公式 (1) ，可以把 q 進(jìn)數(shù) a(q) 轉(zhuǎn)換為 10 進(jìn)數(shù)表示 . 例如2 10q轉(zhuǎn)換 轉(zhuǎn)換時必須分為 整數(shù)部分和分?jǐn)?shù)部分進(jìn)行 .對于整數(shù)部分其步驟是：(1)用 q 去除 a(10)，得到商和余數(shù) .精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案(2) 記下余數(shù)作為 q 進(jìn)數(shù)的最后一個數(shù)字 .(3) 用商替換 a(10) 的

18、位置重復(fù) (1) 和 (2) 兩步，直到商等于零為止 .對于分?jǐn)?shù)部分其步驟是：(1) 用 q 去乘 a(10).(2) 記下乘積的整數(shù)部分作為 q 進(jìn)數(shù)的分?jǐn)?shù)部分第一個數(shù)字 .(3) 用乘積的分?jǐn)?shù)部分替換 a(10) 的位置，重復(fù) (1) 和(2) 兩步，直到乘積變?yōu)檎麛?shù)為止，或直到所需要的位數(shù)為止 . 例如：103.118(10)=147.074324.(8)整數(shù)部分的草式 分?jǐn)?shù)部分的草式3pq轉(zhuǎn)換通常情況下其步驟是： a(p) a(10) a(q). 如果 p,q 是同一數(shù) s的不同次 冪，其步驟是： a(p) a(s) a(q). 例如， 8 進(jìn)數(shù) 127.653(8) 轉(zhuǎn)換為 16 進(jìn)

19、數(shù)時，由于 8=23，16=24，所以 s=2，其步驟是：首先把 8 進(jìn)數(shù)的每個數(shù)字根據(jù) 8-2 轉(zhuǎn)換表轉(zhuǎn)換為 2 進(jìn)數(shù) ( 三位一組 ) 127.653(8)=001 010 111.110 101 011(2)然后把 2 進(jìn)數(shù)的所有數(shù)字從小數(shù)點起 ( 左和右 ) 每四位一組分組，從 16-2 轉(zhuǎn)換表中逐個記下對應(yīng)的 16 進(jìn)數(shù)的數(shù)字，即精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案正多邊形各量換算公式n 為邊數(shù) R為外接圓半徑 a 為邊長 爎為內(nèi)切圓半徑為圓心角 S 為多邊形面積重心 G與外接圓心 O重合正多邊形各量換算公式表 各量 正三角形n 為邊數(shù)R 為外接圓半徑a 為邊長爎為內(nèi)切圓半徑為圓心角S 為多邊形面積

20、重心 G與外接圓心 O重合正多邊形各量換算公式表各量 正三角形正方形正五邊形正六邊形正 n 邊形圖形SaR精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案Rar或許你還對作圖感興趣：正多邊形作圖所謂初等幾何作圖問題， 是指使用無刻度的直尺和圓規(guī)來作圖 . 若使用尺規(guī)有限次能作出幾何圖形， 則稱為作圖可能， 或者說歐幾里得作圖法是可能的， 否則稱為作圖不可能 .很多平面圖形可以用直尺和圓規(guī)作出，例如上面列舉的正五邊形、正六邊形、正八邊形、正十邊形等 . 而另一些就不能作出，例如正七邊形、正九邊形、正十一邊形等，這些多邊形只能用近似作圖法 . 如何判斷哪些作圖可能，哪些作圖不可能呢？直到百余年前， 用代數(shù)的方法徹底地解決了這

21、個問題， 即給出一個關(guān)于尺規(guī)作圖可能性的準(zhǔn)則： 作圖可能的充分必要條件是， 這個作圖問題中必需求出的未知量能夠由若干已知量經(jīng)過有限次有理運算及開平方運算而算出 . 幾千年來許多數(shù)學(xué)家耗費了不少的精力，企圖解決所謂“幾何三大問題”：立方倍積問題，即作一個立方體， 使它的體積二倍于一已知立方體的體積.三等分角問題，即三等分一已知角.化圓為方問題，即作一正方形，使它的面積等于一已知圓的面積.后來已嚴(yán)格證明了這三個問題不能用尺規(guī)作圖.精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案代數(shù)式的求值代數(shù)式的求值與代數(shù)式的恒等變形關(guān)系十分密切許多代數(shù)式是先化簡再求值，特別是有附加條件的代數(shù)式求值問題， 往往需要利用乘法公式、 絕對值與算

22、術(shù)根的性質(zhì)、分式的基本性質(zhì)、通分、求值中的方法技巧主要是 代數(shù)式恒等變形的技能、 技巧和方法 下面結(jié)合例題逐一介紹1利用因式分解方法求值因式分解是重要的一種代數(shù)恒等變形，在代數(shù)式化簡求值中，經(jīng)常被采用分析 x 的值是通過一個一元二次方程給出的，若解出 x 后，再求值，將會很麻煩我們可以先將所求的代數(shù)式變形，看一看能否利用已知條件解 已知條件可變形為3x2+3x-1=0 ，所以6x4+15x3 +10x2432322=(6x +6x -2x )+(9x +9x -3x)+(3x+3x-1)+122=(3x +3x-1)(2z+3x+1)+1=0+1=1說明 在求代數(shù)式的值時，若已知的是一個或幾個

23、代數(shù)式的值，這時要盡可能避免解 方程 ( 或方程組 ) ，而要將所要求值的代數(shù)式適當(dāng)變形，再將已知的代數(shù)式的值整體代入，會使問題得到簡捷的解答例 2 已知 a，b， c 為實數(shù)，且滿足下式： a2+b2 +c2=1，求 a+b+c 的值解 將式因式分解 變形如下即所以a+b+c=0或 bc+ac+ab=0精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案若 bc+ac+ab=0，則2222(a+b+c) =a +b +c +2(bc+ac+ab)所以 a+b+c=±1所以 a+b+c 的值為 0，1，-1 說明 本題也可以用如下方法對式變形：即前一解法是加一項，再減去一項；這個解法是將3 拆成 1+1+1，最終都

24、是將式變形為兩個式子之積等于零的形式2利用 乘法公式求值例 3 已知 x+y=m，x3+y3=n，m0，求 x2+y2 的值解 因為 x+y=m，所以3333m=(x+y)=x +y +3xy(x+y)=n+3m·xy，所以求 x2+6xy+y2 的值分析 將 x， y 的值直接代入計算較繁，觀察發(fā)現(xiàn)，已知中 x，y 的值正好是一對共軛 無理數(shù)，所以很容易計算出 x+y 與 xy 的值，由此得到以下解法解 x 2+6xy+y2=x2+2xy+y2+4xy =(x+y) 2+4xy3設(shè)參數(shù)法與換元法求值如果代數(shù)式字母較多， 式子較繁，為了使求值簡便，有時可增設(shè)一些 參數(shù) ( 也叫輔助未

25、知數(shù) ) ，以便溝通數(shù)量關(guān)系，這叫作設(shè)參數(shù)法有時也可把代數(shù)式中某一部分式子，用另外的一個字母來替換，這叫換元法精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案分析 本題的已知條件是以連比形式出現(xiàn)，可引入?yún)?shù) k，用它表示連比的比值，以便把它們分割成幾個等式x(a-b)k ，y(b-c)k ，z(c-a)k 所以x+y+z=(a-b)k (b-c)k+(c-a)k=0u+v+w=1，由有把兩邊平方得222u +v +w+2(uv+vw+wu)=1，即兩邊平方有所以4利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求值若幾個非 負(fù)數(shù)的和為零，則每個非負(fù)數(shù)都為零， 這個性質(zhì)在代數(shù)式求值中經(jīng)常被使用例 8 若 x2-4x+|3x-y|=-4 ，求 yx 的值分析與解 x，