圓的證明與計(jì)算精編版

1、圓的證實(shí)與計(jì)算?專題講解圓的證實(shí)與計(jì)算是中考中的一類重要的問(wèn)題,此題完成情況的好壞對(duì)解決后面問(wèn)題的 發(fā)揮有重要的影響,所以解決好此題比較關(guān)鍵.圓的有關(guān)證實(shí)一、圓中的重要定理：(1) 圓的定義：主要是用來(lái)證實(shí)四點(diǎn)共圓.(2) 垂徑定理：主要是用來(lái)證實(shí)一一弧相等、線段相等、垂直關(guān)系等等 (3) 三者之間的關(guān)系定理：主要是用來(lái)證實(shí)一一弧相等、線段相等、圓心角相等(4) 圓周角性質(zhì)定理及其推輪：主要是用來(lái)證實(shí)一一直角、角相等、弧相等 .(5) 切線的性質(zhì)定理：主要是用來(lái)證實(shí)一一垂直關(guān)系 .(6) 切線的判定定理：主要是用來(lái)證實(shí)直線是圓的切線 .(7) 切線長(zhǎng)定理：線段相等、垂直關(guān)系、角相等 .2.圓中

2、幾個(gè)關(guān)鍵元素之間的相互轉(zhuǎn)化：弧、弦、圓心角、圓周角等都可以通過(guò)相等來(lái)互相轉(zhuǎn)化.這在圓中的證實(shí)和計(jì)算中經(jīng)常用到.二、考題形式分析：主要以解做題的形式出現(xiàn),第1問(wèn)主要是判定切線；第 2問(wèn)主要是與圓有關(guān)的計(jì)算： 求線段長(zhǎng)(或面積)；求線段比；求角度的三角函數(shù)值(實(shí)質(zhì)還是求線段比).知識(shí)點(diǎn)一：判定切線的方法：(1) 假設(shè)切點(diǎn)明確,那么"連半徑,證垂直.常見(jiàn)手法有：全等轉(zhuǎn)化；平行轉(zhuǎn)化；直徑轉(zhuǎn)化；中線轉(zhuǎn)化等；有時(shí)可通過(guò)計(jì)算結(jié)合相似、 勾股定理證垂直；(2) 假設(shè)切點(diǎn)不明確,那么“作垂直,證半徑.常見(jiàn)手法：角平分線定理；等腰三角形三線合一,隱藏角平分線；總而言之,要完成兩個(gè)層次的證實(shí)：直線所垂直的

3、是圓的半徑(過(guò)圓上一點(diǎn))；直線與半徑的關(guān)系是互相垂直.在證實(shí)中的關(guān)鍵是要處理好弧、弦、角之間的相互轉(zhuǎn)化,要善于進(jìn)行由此及彼的聯(lián)想、要總結(jié)常添加的輔助線 .例：方法一：假設(shè)直線l過(guò)OO上某一點(diǎn) A,證實(shí)l是O的切線,只需連 OA,證實(shí)OA ± l就行了,簡(jiǎn)稱“連半徑,證垂直,難點(diǎn)在于如何證實(shí)兩線垂直例1 如圖,在 ABC中,AB=AC,以AB為直徑的.O交BC于D,交AC于E, B為切點(diǎn)的切線交OD延長(zhǎng)線于F.求證：EF與OO相切.例2 如圖,AD是Z BAC的平分線,P為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且 PA=PD.求證：PA與OO相切.證實(shí)一：作直徑AE,連結(jié)EC.AD是Z BAC的平分線,/

4、 DAB= / DAC. . PA=PD,./ 2=Z 1+ Z DAC. Z 2=Z B+ Z DAB ,./ 1 = Z B.又B= / E,Z 1 = Z EAE是.O的直徑,AC ±EC, Z E+ Z EAC=900./ 1 + Z EAC=90 0.即 OA ± PA. PA與.O相切.證實(shí)二：延長(zhǎng)AD交O于E,連結(jié)OA , OE.AD是Z BAC的平分線, BE=CE, c:.OE ± BC./ E+ Z BDE=90 0. . OA=OE ,Z E= / 1. . PA=PD, Z PAD= Z PDA.又.PDA= Z BDE,./ 1 + Z

5、PAD=900即 OA J_ PA. PA與O相切說(shuō)明：此題是通過(guò)證實(shí)兩角互余,證實(shí)垂直的,解題中要注意知識(shí)的綜合運(yùn)用例3 如圖,AB=AC , AB是.O的直徑,O O交BC于D , DM ±AC于M求證：DM與OO相切.例4 如圖,：AB是OO的直徑,點(diǎn) C在OO上,且/ CAB=30 0, BD=OB , D在AB的延長(zhǎng)線上.求證：DC是OO的切線例5 如圖,AB是O的直徑,CD ± AB,且OA2=OD - OP.求證：PC是OO的切線.例6 如圖,ABCD是正方形,G是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn), AG交BD于E,交CD于F.求證：CE與 CFG的外接圓相切.分析：此題圖上

6、沒(méi)有畫出 CFG的外接圓,但 CFG是直角三角形,圓心在斜邊FG的中點(diǎn),為此我們?nèi)?FG的中點(diǎn)O,連結(jié)OC,證實(shí)CE ±OC即可得解.證實(shí)：取FG中點(diǎn)O,連結(jié)OC.ABCD是正方形,BC ± CD, CFG 是 RtA O是FG的中點(diǎn),O是Rt CFG的外心. . OC=OG , ."3=匕 G, . . AD / BC ,Z G= Z 4. . AD=CD , DE=DE ,Z ADE= Z CDE=45°, A ADE CDE (SAS). Z 2+ / 3=900, 例2 : ：如圖, AC , BD與O切于 A、B,且AC / BD,假設(shè)Z CO

7、D=900.Z 1 + Z 2=900.即 CE ± OC. CE與 CFG的外接圓相切方法二：假設(shè)直線l與OO沒(méi)有的公共點(diǎn),又要證實(shí)l是OO的切線,只需作OA ± l,A為垂足,證實(shí) OA是O的半徑就行了,簡(jiǎn)稱："作垂直；證半徑"綜合題例1 :如圖,AB=AC , D為BC中點(diǎn),O D與AB切于E點(diǎn).求證：AC與OD相切.分析：說(shuō)明：證實(shí)一是通過(guò)證實(shí)三角形全等證實(shí)DF=DE的,證實(shí)二是利用角平分線的性質(zhì)證實(shí)DF=DE的,這類習(xí)題多數(shù)與角平分線有求證：CD是OO的切線.證實(shí)一：連結(jié)OA , OB,作OELCD , E為垂足.AC, BD 與.O 相切,A

8、C ± OA , BD ± OB. AC / BD ,.Z 1+ Z 2+ Z 3+ / 4=1800. Z COD=90°,.Z 2+ / 3=90°, / 1 + / 4=900. Z 4+ Z 5=900.Z 1 = Z 5. RtA AOC s Rt BDO.AC OC.OB OD. . OA=OB ,AC OC.OA OD又.CAO= Z COD=900,. AOCs ODC,Z 1 = / 2.又 OA ± AC , OE ±CD, OE=OA.E點(diǎn)在.O上. CD是O的切線.證實(shí)二：連結(jié)OA, OB,作OELCD于E,延

9、長(zhǎng) DO交CA延長(zhǎng)線于F.AC , BD 與.O 相切,AC ± OA , BD ± OB. AC / BD ,Z F= / BDO.又. OA=OB ,. AOFA BOD (AAS). .OF=OD. Z COD=900,. .CF=CD,匕 1 = / 2.又. OA ± AC , OE ± CD,. .OE=OA.E點(diǎn)在.O上.CD是.O的切線.證實(shí)三：連結(jié)AO并延長(zhǎng),作 OEL CD于E,取CD中點(diǎn)F,連結(jié)OF.AC與.O相切,AC ± AO.A CAC / BD ,/ I:.AO ± BD./I / 尸弋BD與O相切于B,

10、.氏了AO的延長(zhǎng)線必經(jīng)過(guò)點(diǎn) B. AB 是O O 的直徑,八八 -BD. AC / BD , OA=OB , CF=DF ,. .OF/ AC ,Z 1 = / COF. Z COD=90°, CF=DF,OF 1CD CF .2Z 2= / COF.Z 1 = / 2. OA ± AC , OE±CD,. .OE=OA.E點(diǎn)在.O上.CD是.O的切線說(shuō)明：證實(shí)一是利用相似三角形證實(shí)Z1 = Z 2,證實(shí)二是利用等腰三角形三線合一證實(shí)71= / 2.證實(shí)三是利用梯形的性質(zhì)證實(shí)Z1 = / 2,這種方法必需先證實(shí) A、O、B三點(diǎn)共線.課后練習(xí):(1)的切線；如圖,A

11、B是O的直徑,BC±AB, AD / OC交O于D點(diǎn),求證:CD 為 O O(2)點(diǎn),連結(jié)如圖,以RtA ABC的直角邊 AB為直徑作O O ,交斜邊 AC于D,點(diǎn)E為BC的中 DE,求證：DE是O的切線.(3)如圖,以等腰 ABC的一腰為直徑作O O,交底邊BC于D,交另一腰于F,假設(shè)DE XAC于E (或E為CF中點(diǎn)),求證：DE是O的切線.(4)如圖,AB是O的直徑,AE平分Z BAF,交O于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作直線ED ± AF,交 AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn) D,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn) C,求證：CD是O的切線.知識(shí)點(diǎn)二：與圓有關(guān)的計(jì)算計(jì)算圓中的線段長(zhǎng)或線段比, 通常與勾股定理、 垂

12、徑定理與三角形的全等、 相似等知識(shí) 的結(jié)合,形式復(fù)雜,無(wú)規(guī)律性.分析時(shí)要重點(diǎn)注意觀察線段間的關(guān)系,選擇定理進(jìn)行線段或者角度的轉(zhuǎn)化. 特別是要借助圓的相關(guān)定理進(jìn)行弧、 弦、角之間的相互轉(zhuǎn)化, 找出所求 線段與線段的關(guān)系,從而化未知為,解決問(wèn)題.其中重要而常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想方法有：(1) 構(gòu)造思想：如：構(gòu)建矩形轉(zhuǎn)化線段；構(gòu)建“射影定理根本圖研究線段( 任意兩條線段可求其它所有線段長(zhǎng))；射影定理：所謂射影,就是正投影. 其中,從一點(diǎn)到一條直線所作垂線的垂足,叫做這點(diǎn)在這條直線上的正投影.一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)在一條直線上的正投影之間的線段,叫做這條線段在這直線上的正投影.由三角形相似的性質(zhì)： 直角三角形中,

13、斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng).每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng).公式Rt ABC中,Z BAC=90° ,AD是斜邊BC上的高,那么有射影定理如下:(1)(AD)2;=BD DC, (AB) 2;=BD BC , (3)(AC) 2;=CD BC . 等積式(4)ABXAC=BCXAD( 可用面積來(lái)證實(shí))%RDC 構(gòu)造垂徑定理模型：弦長(zhǎng)一半、弦心距、半徑; 構(gòu)造勾股定理模型(線段長(zhǎng)度)； 構(gòu)造三角函數(shù)(有角度的情況)； 找不到,找相似(2) 方程思想：設(shè)出未知數(shù)表示關(guān)鍵線段,通過(guò)線段之間的關(guān)系, 特別是發(fā)現(xiàn)其中的相把問(wèn)題分解為假設(shè)干根本圖進(jìn)而找出隱

14、藏的線段之間等關(guān)系建立方程,解決問(wèn)題.(3) 建模思想：借助根本圖形的結(jié)論發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中的線段關(guān)系, 形的問(wèn)題,通過(guò)根本圖形的解題模型快速發(fā)現(xiàn)圖形中的根本結(jié)論, 的數(shù)量關(guān)系.典型根本圖型:圖形1 :如圖1 ： AB是O的直徑,點(diǎn)E、C是OO上的兩點(diǎn),根本結(jié)論有:(1) 在 “AC 平分 Z BAE ； “AD ± CDDC是O的切線三個(gè)論斷中,知二推一.(2)如圖2、3, DE等于弓形BCE的高；DC=AE的弦心距 OF (或弓形A圖1圖2圖3BCE的半弦EF).圖4BG± CD; AD？BG= 1 DG4AE+AB= 2BK= 2AD;2(3) 如圖(4):假設(shè) CK

15、77;AB 于 K,貝U: CK=CD ; BK=DE ; CK= 1 BE=DC -2 / ADC s 刀 ACBAC2=AD？AB(4) 在(1)中的條件、中任選兩個(gè)條件, 于E時(shí)(如圖5),貝U: DE=GB ; DC=CG ; AD+BG=AB.點(diǎn)O是AC上一點(diǎn),圖形 2:如圖：Rt/ABC 中,/ ACB=90以 OC為半徑作.O交AC(1) 在“ BO平分Z CBA ； "BO/ DE ； "AB是O的切線 ；“BD=BC .四個(gè)論斷中, 知一推三.(2) G 是刀 BCD 的內(nèi)心； CG=GD ；/ BCOs/ CDE BO？DE=CO？CE= 1 CE2；2

16、(3) 在圖(1)中的線段 BC、CE、AE、AD中,知二求四.(4) 如圖(3),假設(shè) BC=CE,貝 U:-A = - =tan / ADE; BC : AC： AB=3: 4: 5 ;(在AD 2、中知一推二)設(shè)BE、CD交于點(diǎn)H,那么BH=2EH圖形3：如圖：Rt/ABC中,/ ABC=90 "以AB為直徑作.O交AC于D ,根本結(jié)論有:如右圖：(1) DE切O E是BC的中點(diǎn)；(2)假設(shè) DE 切 O,貝U: DE=BE=CE ;D、O、B、E四點(diǎn)共圓/ CED=2 / ACD CA=4BE 2,DECDBCRBDBACEB圖形特殊化：在(1)的條件下如圖1: DE / A

17、B刀ABC、刀CDE是等腰直角三角形;如圖2:假設(shè)DE的延長(zhǎng)線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F,假設(shè)AB=BFDEEFBEA圖形4：如圖,刀ABC中,AB=AC,以AB為直徑作O.,交BC于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)F, 根本結(jié)論有：(1) DE ±ACDE 切 O;(2) 在DE±AC或DE切.下,有：刀DFC是等腰三角形；EF=EC ;D是 京 的中點(diǎn).與 根本圖形1的結(jié)論重合.連AD ,產(chǎn)生母子三角形.圖形5：以直角梯形 ABCD的直腰為直徑的圓切斜腰于 E,根本結(jié)論有(1) 如圖 1： AD+BC = CD ;Z COD = Z AEB=90° ; OD 平分Z ADC (或

18、 OC 平 分Z BCD);(注：在、及CD是OO的切線四個(gè)論斷中,知一推三)-1 一 AD BC= AB在 “PR ± OB 、"PQ 切 O 、“PQ=PR 中,知二推一 2PRRE=BR RQ=BE 2R=AB2圖形7：如圖,刀ABC內(nèi)接于O O, IABC的內(nèi)心.根本結(jié)論有：(1) 如圖 1, BD=CD=ID ; DI2= DE DA; Z AIB =90° + - Z ACB;(2) 如圖 2,假設(shè)/ BAC=60° ,貝U: BD+CE=BC.,yI VB- E CD=R2;4(2) 如圖2,連AE、CO,貝U有：CO / AE, CO？A

19、E=2R2(與根本圖形 2重合)(3) 如圖 3,假設(shè) EF±AB 于 F,交 AC 于 G,貝U: EG=FG.圖形6：如圖：直線 PRLO O的半徑 OB于E, PQ切O于Q, BQ交直線PQ于R. 根本結(jié)論有：圖形8：,AB是OO的直徑,C是 中點(diǎn),CD ±AB于D. BG交CD、AC 于E、F.根本結(jié)論有：(1) CD = 1bG; BE=EF=CE ; GF= 2DE21(反之,由CD=B朋 BE=E阿得：C是BG中點(diǎn))(2)OE= 1AF , OE / AC;刀 ODEs/ AGF 2BE BG=BD BA假設(shè)D是OB的中點(diǎn),貝U:刀CEF是等邊三角形； BC=

20、CG=AG(3)(4)范例講解:例題1： ABF, / ABf=90° ,以AB為直徑作O O交AP于C點(diǎn),弧CF =CB,過(guò)C作AF 的垂線,垂足為 M MC勺延長(zhǎng)線交 BP于D.求證：CD為.O的切線;(2)BF交 AP于 E,假設(shè) BE=6, EF=2,求旦AF的值.2:F.例題交于求證：假設(shè)竺AB直角梯形ABC, / BCD90 , AB=AD+BCAB為直徑的圓交 BC于E,連OC BDC以.O的切線3 十BF所信,求的值5 DF例題3:如圖,AB為直徑,PB為切線,點(diǎn)C在O上,AC/ OP(1) 求證：PC為.O的切線.(2) 過(guò)D點(diǎn)作DA AB E為垂足,連 AD交BC

21、于G, CG3,卡DG求DB的值.(1)例題4 (2021調(diào)考)：如圖, ABC中,以邊BC為直徑的.O與邊AB交于點(diǎn)D,點(diǎn)E為的中點(diǎn),AF ABC勺角平分線,且 AFL EC(1) 求證：ACO O相切；(2) 假設(shè) AO 6, BO 8,求 EC的長(zhǎng)家庭練習(xí)：1. 如圖,RtA ABC,以AB為直徑作O O交AC于點(diǎn)D, BD=DE,過(guò)D作AE的垂線, F為垂足.(1) 求證：DF為.的切線；(2) 假設(shè)DF=3, OO的半徑為5,求tan BAC的值.2. 如圖,AB為.O的直徑,C、D為.O上的兩點(diǎn),AD=DC,過(guò)D作直線BC的垂線交直線AB于點(diǎn)E, F為垂足.(1) 求證：EF為.的

22、切線；(2) 假設(shè) AC=6 , BD=5,求 sin E 的值.3. 如圖,AB為.的直徑,半徑 OC ± AB, D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),過(guò) D作O的切 線,E為切點(diǎn),連結(jié) CE交AB于點(diǎn)F.(1) 求證：DE=DF ;(2) 連結(jié) AE,假設(shè) OF=1, BF=3,求 tan A的值.4. 如圖,Rt ABC 中,/ 點(diǎn)作O,O交AB于點(diǎn)一點(diǎn)C=90 °, BD 平分Z ABC, E, EF±AC 于點(diǎn) F.以AB上一點(diǎn) O為圓心過(guò) B、D兩(1)求證：O O與AC相切;(2)假設(shè) EF=3 , BC=4,求 tan A 的值.5. 如圖,等腰 ABC中,AB=AC,以AB為直徑作O O交BC于點(diǎn)D , DE ± AC于E.(1) 求證：DE為.的切