曲線與方程知識點導(dǎo)學(xué)

1、曲線與方程知識點導(dǎo)學(xué)江蘇省 韓文美在高中數(shù)學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)向?qū)W生滲透、強化并要求其掌握的主要的數(shù)學(xué)思想有：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、等價轉(zhuǎn)化思想及運動變換思想等。不是所有的章節(jié)和內(nèi)容都能把這些相關(guān)的數(shù)學(xué)思想自然地溶到教學(xué)過程中去，而由于“曲線與方程”這一節(jié)在高中數(shù)學(xué)教材中的特殊地位，它把高中數(shù)學(xué)中的解析幾何和代數(shù)這兩個單科知識緊緊地聯(lián)系在一起，為此能把以上數(shù)學(xué)思想溶納進去大半，這不能不引起我們教學(xué)和學(xué)習(xí)的高度重視。幾何，原始的展現(xiàn)是形；解析幾何，主要體現(xiàn)用數(shù)學(xué)研究形。為此，這一節(jié)教材中的“數(shù)形結(jié)合”應(yīng)是所涉及到數(shù)學(xué)思想中最主要的一個，盡管側(cè)重于用“數(shù)”研究“形”，同時對學(xué)生要求

2、用“形”來研究“數(shù)”，解決某些代數(shù)問題起到了有益的啟迪。由于曲線C中有很多的代數(shù)中函數(shù)的圖象，曲線C是點按某種規(guī)律運動而成的，所以在這一節(jié)的教學(xué)中應(yīng)對函數(shù)與方程思想、運動變換思想也加以足夠的重視。由此，“曲線與方程”這一節(jié)的重要性可想而知，下面就三個方面加以分析。一、點、坐標(biāo)、曲線與方程的關(guān)系坐標(biāo)系建立以后，平面上的點M與實數(shù)對建立了一一對應(yīng)關(guān)系，點的運動形成了曲線C；與之對應(yīng)的實數(shù)對的變化，就形成了方程。即這樣，在曲線與方程之間就形成了某種對應(yīng)關(guān)系。這種對應(yīng)關(guān)系表現(xiàn)為：（1）曲線上的點的坐標(biāo)都是這個方程的解；（2）以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點。那么，這個方程叫做曲線的方程；這條曲線

3、叫做方程的曲線（圖形）。曲線與方程建立了上述嚴格的對應(yīng)關(guān)系后，兩者就成為同一關(guān)系的兩種不同表達形式。曲線的性質(zhì)完全地反映在它的方程上；方程的性質(zhì)又反映在它的曲線上。所以，我們就可以通過方程來研究曲線，也可以利用曲線來研究方程，這就是解析幾何處理問題的基本思想數(shù)與形的統(tǒng)一。二、求曲線方程的五個基本步驟（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對表示曲線C上任意一點M的坐標(biāo)；（2）寫出適合條件的點M的集合；（3）用坐標(biāo)表示條件，列出方程；（4）化方程為最簡形式；（5）證明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線C上的點。以上五個步驟簡記為：“設(shè)點、列式、代換、化簡、證明”。求曲線方程時，一般（2）、（5）可以

4、省略。但要注意化簡前后方程的解集的統(tǒng)一性。三、探求曲線的方程的注意點1、求曲線的方程要注意的問題（1）適當(dāng)建立坐標(biāo)系。坐標(biāo)系建立得適當(dāng)，可使運算過程簡單，所得的方程也比較簡單，否則會大大增加運算的繁雜與難度。在實際解題過程中，應(yīng)充分利用圖形的幾何特性。如中心對稱圖形，可利用它的對稱中心作為坐標(biāo)原點；軸對稱圖形，可以利用它的對稱軸為坐標(biāo)軸；條件中若有直角，可考慮將直角的兩直角邊作為坐標(biāo)軸等。（2）條件列出方程。根據(jù)曲線上的點所滿足的條件列出方程是最重要的一環(huán)。應(yīng)認真分析題設(shè)條件，綜合利用平面幾何的知識，列出幾何等式，再利用解析幾何的一些相關(guān)概念、公式、性質(zhì)、定理等將幾何等式坐標(biāo)化，便得曲線的方程

5、，還要將所得方程化簡，使求得的方程是最簡單的形式。（3）證明。還應(yīng)證明上面所求得的方程就是曲線的方程。課本上說“一般情況下，化簡前后方程的解集是相同的，步驟（5）（即證明）可以省略不寫，如有特殊情況，可適當(dāng)予以說明”。不能由此得“不需要證明”的印象，而僅僅是在同解變形的前提下，不要求證明。若化簡過程不是方程的同解變形，就必須注意在變形過程中是產(chǎn)生了增根還是減根，并在所得的方程中加以刪除或補充，此時也可不必寫出證明過程。2、在求解曲線的方程時經(jīng)常會出現(xiàn)的問題是產(chǎn)生多解或是漏解的錯誤，在實際求解過程中要注意：（1）注意動點所滿足的某些隱含條件；（2）注意方程變形的同解性；（3）注意圖形可能的不同位

6、置或字母系數(shù)可能取不同值時的討論等。3、求曲線的方程與求軌跡是有不同要求和區(qū)別的。若是求軌跡，則不僅要求出方程，而且還要說明和討論所求軌跡是什么樣的圖形，在何處等，即圖形的形狀、位置、大小都要加以說明、討論等。四、實例分析以下舉幾個實例加以分析，有別于課本給出的其他例題。例1、下列哪組方程表示相同的曲線（ ）A與 B與C與 D與分析：（A）和（D）中都是因為的取值范圍不同，（B）中因為兩個表達式不同，所以只有（C）是相同的，即所表示的曲線也相同。所以選（C）。例2、方程表示的曲線是（ ）A一條直線和一雙曲線 B兩條直線 C兩個點 D以上答案都不對分析：由方程可得：解得：或，即表示的曲線是兩個點，即選（C）。例3、設(shè)曲線C的方程為，直線的方程為，點P的坐標(biāo)為，那么（ ）A點P在曲線C上，但不在直線上B點P不在曲線C上，但在直線上C點P既在曲線C上，又在直線上D點P既不在曲線C上，又不在直線上分析：把點P的坐標(biāo)為代入曲線C得：，代入直線得：，所以點P不在曲線C上，但在直線上，即選（B）。例4、兩曲線與交于兩點，此兩點間的距離是（ ）A小于 B等于 C等于2 D大于2分析：聯(lián)立可得：或那么此兩點間的距離為：，即選（B）。例5、設(shè)ABC的周長是