曲線積分與曲面積分練習(xí)題

1、練習(xí)題(1) (曲線積分與曲面積分)1設(shè)是從點沿曲線到點的弧段, 則第一類曲線積 分的值為_ , 第二類曲線積分的值為_ . 2設(shè)是從點沿曲線到點 的弧段, 則第一類曲線積分的值為_ , 第二類曲線積分的值為_ .3設(shè)有曲線積分 其中L為橢圓 并取正向， 則I 的值為_ .4. 設(shè)是逆時針方向環(huán)繞原點的簡單光滑閉曲線，試計算積分 和.5. 設(shè)有從點到點再到點的折線L. 求積分 .6. 求空間曲線 上從到一段的弧長.7. 計算，其中是螺線 上從點到的一段.8設(shè)曲線積分與路徑無關(guān), 則 _, _, _.9. 驗證是某函數(shù)的全微分，并求此函數(shù)的表達(dá)式.10. 設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，L是上半平面

2、()內(nèi)的有 向分段光滑曲線，其起點為，終點為. 記 (1) 求證：曲線積分與路徑無關(guān)； (2) 當(dāng)時，求的值.11確定常數(shù)，使在右半平面上的向量值函數(shù) 為某二元函數(shù)的梯度.12設(shè)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且 為全微分方程，求.13. 設(shè)在全平面上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù), 且曲線積分 與路徑無關(guān), 又對任意的, , 試求的表達(dá)式.14. 設(shè)是區(qū)域的邊界的正向. 求證： .15. 設(shè)是平面上的一個不含原點的有界閉區(qū)域，其面積為. 又設(shè)曲面 . 求證: 曲面的面積.16計算，其中S為球面17. 計算曲面積分，其中為上半球面 ，為球面外法線的方向余弦.18. 計算 其中是邊長為的正立 方體的表面并取外側(cè).19計算

3、曲面積分 其中為連續(xù)函數(shù)，為平面在第一卦限部分的上側(cè).20計算： 其中是球面：的上半 部 分的下側(cè)。 21. 用化成二重積分和利用Gauss公式這兩種方法來計算第二類曲面積分 ，其中是半球面 ，積分沿的關(guān)于Z軸的上側(cè).22. 計算曲面積分 其中 (1) 是球面的外側(cè); (2) 是半球面的上側(cè);23. 質(zhì)點P沿以AB為直徑的半圓周(位于直徑AB之下)從點A(1, 2)運動到點 B(3, 4). 在這一過程中, 質(zhì)點P受變力作用, 的大小等于點P到原點O的 距離, 的方向垂直于線段OP且與y軸正向的夾角小于, 求變力對質(zhì)點 P所做的功.24設(shè)圓錐面()上分布有質(zhì)量，假設(shè)其上各點的面密度 與該點到原點的距離成正比(比例系數(shù)為), 求的質(zhì)量.25.設(shè)某流速場的速度矢量，求穿過曲面 （）的流量，其中的法線方向