最全經(jīng)典不等式證明的基本方法.

1、不等式和絕對值不等式一、不等式1、不等式的基本性質(zhì)：a 傳遞性： a b, b c a c、對稱性：abb、 a b, cR， a+cb+c、 a b，c 0， 那么 ac bc；a b， c0，那么 ac bc、 a b0， c d 0 、 ab0，那么 anbn.（條件、 a b 0 那么那么， ac bdnN ,n2）（條件nN ,n2）2、基本不等式定理 1如果 a, b R, 那么a2+b 2 2ab.當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時(shí)等號成立。定理 2（基本不等式）如果 a， b0 ，那么abab2當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時(shí)，等號成立。即兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均。結(jié)論：已知 x, y 都

2、是正數(shù)。（ 1）如果積 xy 是定值 p，那么當(dāng) x=y 時(shí)，和 x+y 有最小值 2p ；12（ 2）如果和 x+y 是定值 s，那么當(dāng) x=y 時(shí)，積 xy 有最大值s4小結(jié)：理解并熟練掌握基本不等式及其應(yīng)用，特別要注意利用基本不等式求最值時(shí)，一定要滿足“ 一正二定三相等”的條件。3、三個(gè)正數(shù)的算術(shù) -幾何平均不等式定理 3 如果 a,b, cR ，那么 a b c3 abc，當(dāng)且僅3當(dāng) a b c時(shí)，等號成立。即：三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均。把基本不等式推廣到一般情形：對于n個(gè)正數(shù)a1 ,a2 , an ,它們的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均，即：a1a2ann a1a2an

3、,n當(dāng)且僅當(dāng)a 1a2an時(shí)，等號成立。二、絕對值不等式1、絕對值三角不等式實(shí)數(shù) a 的絕對值 |a|的幾何意義是表示數(shù)軸上坐標(biāo)為a 的點(diǎn) A 到原點(diǎn)的距離：1任意兩個(gè)實(shí)數(shù) a,b 在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)分別為 A 、B，那么 |a-b|的幾何意義是 A 、B 兩點(diǎn)間的距離。定理 1如果 a, b 是實(shí)數(shù)，則|a+b| |a|+|b| ， 當(dāng)且僅當(dāng)ab 0 時(shí)，等號成立。 （絕對值三角不等式）如果 a, b 是實(shí)數(shù)，那么|a|-|b| |a b| |a|+|b|定理 2如果 a, b, c 是實(shí)數(shù)，那么|a-c| |a-b|+|b-c|， 當(dāng)且僅當(dāng) (a-b)(b-c) 0 時(shí)，等號成立。2、絕對值

4、不等式的解法（ 1）|ax+b| c 和 |ax+b|c(c0) 型不等式的解法：換元法：令 t=ax+b, 轉(zhuǎn)化為 |t| c 和 |t| c 型不等式，然后再求x，得原不等式的解集。分段討論法：| axb |c( c0)axb0 或 ax b0caxbc(axb)| axb |c( c0)axb0 或 ax b0caxbc(axb)（2）x a x bc和 x a x b c型不等式的解法用絕對值不等式的幾何意義零點(diǎn)分區(qū)間法構(gòu)造函數(shù)法2典型例題例 1 解不等式例 2 解不等式|x+3|-|x-3|3 。例 3 解不等式|x 2-3|x|-3|1 。例 4 求使不等式|x-4|+|x-3|b

5、,bc ac，找到不等號的兩邊的中間量，從而使不等式成立。注意： 應(yīng)用放縮法時(shí)，放大（縮?。┮欢ㄒm當(dāng)。規(guī)律方法指導(dǎo)1、不等式證明的常用方法：比較法，綜合法，分析法，反證法，放縮法，換元法等。2、反證法的證明步驟：否定結(jié)論：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即結(jié)論的反面成立；推出矛盾：由結(jié)論反面成立出發(fā)，通過一系列正確的推理，導(dǎo)出矛盾；否定假設(shè)：由正確的推導(dǎo)導(dǎo)出了矛盾，說明假設(shè)不成立；肯定結(jié)論：原命題正確。3、放縮法的常用技巧：在恒等式中舍掉或者加進(jìn)一些項(xiàng)；在分式中放大或縮小分子或分母；例如：應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性、有界性等性質(zhì)進(jìn)行放縮；例如： f(x) 為增函數(shù)，則f(x-1)f(x)0, b0, a b,

6、a+b0, (a-b)20,，.總結(jié)升華： 作差，變形（分解因式、配方等） ，判斷差的符號，這是作差比較法證明不等式的常用方法。舉一反三：【變式 1】證明下列不等式：(1)a2 +b2+2 2(a+b)6(2)a2 +b2+c 2+32(a+b+c)(3)a2 +b2 ab+a+b-1【變式 2】已知 a， b， x， y，且 a+b=1，求證： ax2+by2 (ax+by) 22、用作商比較法證明下列不等式：（ 1）(a ，b 均為正實(shí)數(shù)，且a b)（ 2）（ a，b， c，且 a， b， c 互不相等）證明：（ 1） a3+b 30, a2b+ab20.， a, b 為不等正數(shù)，（ 2）

7、證明：不妨設(shè) abc，則所以，總結(jié)升華：當(dāng)不等號兩邊均是正數(shù)乘積或指數(shù)式時(shí)，常用這種方法， 目的是約分化簡. 作商比較法的基本步驟 :判定式子的符號并作商 變形 判定商式大于 1 或等于 1 或小于 1 結(jié)論。7舉一反三：【變式 1】已知 a2， b2，求證： a+b6abc 證明：2222法一： 由 b +c 2bc, a0,得 a(b +c ) 2abc，2222同理 b(c +a ) 2abc， c(a +b ) 2abc a,b,c 不全相等，上述三個(gè)等號不同時(shí)成立，三式相加有： a(b2+c2)+b(c 2+a2)+c(a2+b 2)6abc.法二： a， b， c 是不全相等的正數(shù)

8、， a(b2+c2 ), b(c2+a2), c(a2 +b2)均為正數(shù)，由三個(gè)數(shù)的平均不等式得：a(b2 +c2)+b(c 2+a2)+ c(a 2+b2)不等式成立.總結(jié)升華： 綜合法是由因?qū)Ч?，從已知出發(fā)，根據(jù)已有的定義、定理，逐步推出欲證的不等式成立。舉一反三：【變式 1】 a , b, m R+ ，且 ab0，求證：.8思路點(diǎn)撥： 不等號左邊是一個(gè)各項(xiàng)皆正的“和的形式” ，但左側(cè)是兩項(xiàng)而右側(cè)都出現(xiàn)了特征數(shù)“ 3” .因此啟發(fā)我們將左側(cè)拆成 3 項(xiàng)的和利用平均值定理 .證明：， ab0, a-b0, b0,（當(dāng)且僅當(dāng)，即 a=2，b=1 的等號成立）舉一反三：【變式】 x, y,z R

9、+, 求證：類型三：分析法證明不等式5、已知 a,b0，且 2ca+b，求證：證明： 要證，只需證：即證：， a2-2ac+c2 c2-ab，即證 a2+ab0，只需證 a+ba2b+ab2(a，b 均為正數(shù)，且ab)9【變式 2】 a , b, m R+ ，且 a0 ，y0 ， xy，求證：類型四：反證法證明不等式6、已知 a,b,c (0,1)，求證： (1-a)b,(1-b)c,(1-c)a ，至少有一個(gè)不大于。思路點(diǎn)撥： 此題目若直接證，從何處入手？對于這樣正面情況較為復(fù)雜的問題，可以考慮使用反證法。證明： 假設(shè)原結(jié)論不成立，即，則三式相乘有： 又 0a,b,c0 ， ab+bc+ca

10、0， abc0，求證： a,b,c0類型五：放縮法證明不等式7、若 a,b,c,dR+ ，求證：思路點(diǎn)撥： 記中間 4 個(gè)分式之和的值為 m，顯然，通過通分求出 m 的值再與 1、2 比大小是困難的，可考慮運(yùn)用放縮法把異分母化成同分母。證明： 記 a,b,c,d R+， 1m2 ，即原式成立?？偨Y(jié)升華： 證后半部分，還可用“糖水公式”，即進(jìn)行放縮。常用的放縮技巧主要有： f(x) 為增函數(shù)，則 f(x-1)f(x)2 時(shí)，求證： logn(n-1)log n(n+1)2， b2，求證： a+bab證明： 令 y=f(a)=a+b-ab=(1-b)a+b ， 1-b2 時(shí)， f(a)f(2)=2-b0 a+b0， b0 ，求證：思路點(diǎn)撥： 由于 a0，b0 ，所以求證的不等式兩邊的值都大于零，本題用作差法，作商法和綜合法，分析法給出證明。證明：12證法一： 作差法 a,b0， a+b0,ab0，得證。證法二： 作商法 a0