華科微積分輔導(dǎo)書(shū)習(xí)題答案4

1、習(xí)題4解答(編寫(xiě)：金建華)(4)曲線(xiàn)y3x e- 3x ,.3xe (12X0，顯然3ex(5)函數(shù) f(X)解 f(X)-. 3x3x)e , y- 3x -.3e 3(1y在xo兩側(cè)變號(hào)，故所求點(diǎn)2 、 6x X在區(qū)間6 2X , y344 8x 3x24x2 12x3是凹的(即向上凹)ex 2 , y 0 X (的極大值是-. 3x3x)e2 2(P)為所求3x3e (11 3x)212x (2 x)在X 2兩側(cè)變號(hào)，左正右負(fù)，X2為極大值X 0sin X解12xsin 2xl.側(cè)彳8lim3-X364sin X -13丄/卄lim3 X(用到X-X3，據(jù)臺(tái)勞公式)；36(2)函數(shù)yX3

2、3x2在是單調(diào)減少。解 y3x26x 3x(x2)00 X2，填0,2或(0,2 )；O(3)曲線(xiàn)yO1、填空題：(1) lim2x S3n2xxe 3x的拐點(diǎn)坐標(biāo)是點(diǎn)，極大值為f(2)20 O(6)函數(shù)ax(a0, a 1)的n階麥克勞林多項(xiàng)式是解axex'n a在X 0的Taylor多項(xiàng)式由ex的展式來(lái)寫(xiě):ax 1 X ln a x2 ln2 a2!-Xnl nna n!(7)曲線(xiàn) y xln(e1 / X)的斜漸近方程為lim)X X1 lim In(e ) XX1,lim(yXX) lim x(ln(e1-)X1In(e ) In e1) limx1/Xln(1 lim 一丄)

3、ex1/X故所求為y(8)拋物線(xiàn)y 4xX2在其頂點(diǎn)處的曲率為解 y 42x, y 2，頂點(diǎn)處 x 2, y (2)0 ,y (2)2 ,(9) lim / X dC 2解丨lim1 12J1 X 2J1 X2x1lim（注，用J1 X丄lim4 X此時(shí)，分子=111-X2(10)若 limX Xf(x) f(X0)(X X0)n2 （n為正整數(shù)）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),f（X）在 XX0 處解條件分式最終為正（極限的保號(hào)性）小；n奇時(shí),f（X）(11)曲線(xiàn)yxe,則當(dāng)no(x2)O（X2）更好:2X2.)4為奇數(shù)時(shí),。于是n偶時(shí)，f（Xo）與X Xo同號(hào).f（Xo）非極值.x的拐點(diǎn)為，且該曲線(xiàn)在區(qū)間f

4、（X）在 X=X0處.f(X) f(X0) 0, f (Xo)極上凹，在區(qū)間X小xe , y 2exe X，令 y當(dāng)X 2時(shí)，y 0 ,曲線(xiàn)為凸的；當(dāng)2時(shí)，y0 ,曲線(xiàn)為凹的；拐點(diǎn)為 （2, 2e 2）（12）若f（X）在0,a上二階可導(dǎo)，且(X)又知f（X）在（0, a ）內(nèi)取得極大值,則必有于是f (0) f (a)Ma o設(shè)在點(diǎn)X0極大，則f （X0）f (a)f (a) f (X0)f (0) f (a)f ( ) X0于是(y)(y)(0)X0X0f (0) f (X0)M(X0f ( )1X0a X0) Ma2.選擇題(1)函數(shù)f(x)1 和 g(x) 2x1，在區(qū)間0,1上滿(mǎn)足柯

5、西定理的等于()(A)221212(B)羅爾定理中的三個(gè)條件:(A)f(x)在a,b上連續(xù)，在 a,b內(nèi)可導(dǎo)，且f(a) f(b)是f (x)在a,b內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使得f'( )0成立的(A )必要條件(C)充要條件(B )充分條件(D)既非充分也非必要條件。解充分條件(B)(3)下列函數(shù)中在1,e上滿(mǎn)足拉格朗定理?xiàng)l件的是(A)(A) ln(ln X) (B)In x在1,e滿(mǎn)足(B)設(shè)lim f (x)為未定型，則x x0 g(x)必要條件(B )充要條件充分(C)In x(C)丄ln x(D) ln(2 x)。lim f (x)存在是 limx x0 g (x)x(C)充分條件

6、(5)若在區(qū)間(a,b)函數(shù)f (x)的f(X)0, f (x)(A)(C)單調(diào)減少，曲線(xiàn)上凹 單調(diào)增加，曲線(xiàn)上凹(B)(D)單調(diào)減少,單調(diào)增加,0對(duì)應(yīng)單增，f0對(duì)應(yīng)上凸,于是(6)設(shè)f (x)在(0，+)內(nèi)可導(dǎo)，且(A) f(x) 0(C) f(x)單調(diào)趨向于+解注意在x 0處，函數(shù)可能不連續(xù),(7)設(shè) limx他一罟=1，則在x a (x a)(A)f(x)的導(dǎo)數(shù)存在，且f (a)(C)f(x)取得極小值f(x)x0 g(x)0，則曲線(xiàn)下凹曲線(xiàn)下凹也存在的()既非充分也非必要條f (x)在(a,b)內(nèi)是()D)形為右圖。(x) 0，(B)(D)a處()(D)若f (0)0,則在(0,)內(nèi)有

7、()f(x) 0f (x)的符號(hào)不能確定.反例形為右圖。f (x)的導(dǎo)數(shù)不存在f (x)取得極大值(8)函數(shù)y X4 2x3有（）（B）兩個(gè)極大值一個(gè)極小值，無(wú)極大值（A） 一個(gè)極大值和一個(gè)極小值（C）兩個(gè)極小值（D）y x3（x 2）, 一個(gè)極小值（D）圖形如右設(shè)g（x）在（-上嚴(yán)格單調(diào)減少，f （X）在X x0處有極值，則（）(A)(B)(C)(D)f(x)f(x)f(x)f(x)f（Xo）x0處有極小值X0處有極大值Xo處有最小值Xo處既無(wú)極大值，也無(wú)最小值g( f(X)g（f （xo），故為極小值.（A）(10)曲線(xiàn)y（A）有一個(gè)拐點(diǎn)(B)有兩個(gè)拐點(diǎn)無(wú)拐點(diǎn)（C）有三個(gè)拐點(diǎn)y 1 X (

8、1 X)它在(11)Xe2Xe 1 X (1 X)2X 1兩側(cè)變號(hào)，但設(shè)f （X）在閉區(qū)間_ 2 (1Xx)3e(HV1X)22(1 X)1為無(wú)定義點(diǎn)，故無(wú)拐點(diǎn)（D）21 X2 Xe，(1 X)31,1上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間（-1,1）上可導(dǎo)，且則必有（）（12）若 f（X）0，則f(1)、f (2)、f(2)f（1）的大小關(guān)系為（(A) f (x) M(B)f(x)M(C) f (x) M(D)f(x)M解 f(x) f (x) f (0)f ( ) X M 1選（C）(B)f(2)f(1)f (2)f (1)(C)f (2)f(2)f(1)f (1)(D)f (1)f(2)f(1)f (2)f0

9、 f，故 f (1)f(2)f(1) f ( ) f (2)選(C)解(13)設(shè)f(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且)旦1，則f(0)0,00(B)f(0)是f(X)的極小值(C)(0, f(0)是曲線(xiàn)yf(X)的拐點(diǎn)(D)f(0)不是f(x )的極值,(0, f (0)也不是曲線(xiàn)yf (X)的拐點(diǎn)f (X)f與X同號(hào)，故推出f (X)0.結(jié)合f(0)0，選(B)(14)曲線(xiàn)ye1/x22 1arcta n XX的漸近線(xiàn)有(X 1)( X 2)(A) 1 條(B) 2 條(C)(D) 4 條解 X0時(shí)，y，故得一條垂直漸近線(xiàn)X1 時(shí) arcta n(*)-，非垂2直漸近線(xiàn)，類(lèi)似X2也不是，再X時(shí)，y得水

10、平漸近線(xiàn)。選(f (0)是f(X)的極大值(15)設(shè)函數(shù)f(x)在X Xq連續(xù)，若Xq為f(x)的極值點(diǎn)，則必有 ()(B) f (Xq)0(A) f (Xq)0(C) f (Xq) 0 或 f (Xq)不存在(D) f (Xq)不存在解 選(C)這是兩種情形:3.求下列極限:(1) limx 1 xlnxx 1 (x 1)ln X1 1 ln(1 x) x1(3) lim 1/x100 e 7(4) limx 0xln-x解：使用洛必達(dá)法則要結(jié)合等式變形或等價(jià)變形等化簡(jiǎn)手段。(1 )令 x 1 t，(分子化簡(jiǎn)用到：ln(1 x) x0儀2)，下題也是)x 1 xl nx limX 1 (x

11、1)l nxlimt (1 t) ln(1 t)t 0tln(1 t)(1t)(t gt2 o(t2)(2) lim1x 0 ln(1 x)丄xlimx ln(1 x)x 0 xln(1 x)1 2-xlim x 0(3 )令 u4，化簡(jiǎn)到分式后使用洛必達(dá)法則x50 50 u ulim u e lim 7 uu eulimu50u49limu50! 0(4 )令 t化簡(jiǎn)后使用洛必達(dá)法則x ln(ln _)lim e xx 0exp limx 0ln ln-xlim tIn(lnt)tlimte1 1InT t14.已知f (x)在x0處有三階導(dǎo)數(shù)，且 f(0)0, f(0)0, f (0)2,

12、f (0)3，求極限解一：由f (x)在x0處Taylor公式，得:f(x)3 3 x 3!o(x3),于是limMx 0 x3133-x o(x ) lim 2解二：由洛必達(dá)法則也可以。注意0/0型條件的檢驗(yàn)。2f (x) xf (x) 2xlim lim 一 x 0 x3 x 0 3x2f (x)f (0)x 0(注：最后一步極限只可使用導(dǎo)數(shù)定義，決不可以用洛必達(dá)！因?yàn)槿A導(dǎo)函數(shù)可以不存在)5證明下列不等式7(1)當(dāng) 0 x 1 時(shí)，e2x解：設(shè) f(x) (1x)e2x(1 x)，原不等式f(x)f (x) e2x(12x)1, f (x) 4xe2x(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)減，且f (

13、0)f (x)0f (x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)減，又由f(0)0 ,故在(0,1)內(nèi)f(x)(1x)e2xx21e-1 x(2)當(dāng) xf (x)x _xe =0 x0，因x0為f時(shí) f(X)0 時(shí)，故 f (0)1 是 f(x)f(x) (1x)ex f(0)1，因x1即得x(3)當(dāng) x 5 時(shí)，22 x解：令2xF(x) 2 (xx5)，F(xiàn) (x)因當(dāng)x5 時(shí)，xl n22 4l n22 Ir2xx2 (x 5).x)ex, f(0)1解：作函數(shù)f(x)(1(4)比較J21 和 ln(1162 eJ2)的大小(x)的唯一駐點(diǎn)，且當(dāng)x 0時(shí)f的極大值，也是最大值x 2X(x1 n2 2)(x)(

14、x0，故 F(X)0，從而 F(x)0,當(dāng)x1)F(5)解：因1令 f(x)f (x)1叵1-f(2)In 2-0x20 (x2)則f(x),即得ln(1血)1In xf(2)0 (x 2)112xx1近,ln(1 1J2)與之大小,1 V26.求下列函數(shù)的極值:2(1) f(x) (x 2) (x 1)1.解：f (x)2(x2)(x 1) (x2)23x(x 2) = 0 x 2,x0f (x)6x 6, f (0)60f在x 0處取得極小值，且 f (0)f ( 2)2處取得極大值，且f( 2)0(2) f (x)fC) e；ef (x) ex(2x)(1x) = 0 x2, x 1.

15、f (x) e x(x2x3)f ( 2)3e20 ,f (x)在 x2處取得極小值，且極小值為f(2) 0f (1)3e 10 ,f (x)在 x1處取得極大值，且極大值為f(1)5e 1f(x)2xcx ,x 0x 1,x0lim f (x)x 0limx 02xx2xlarlim ex 01 f(0)lim f (x)x 0limx 0(x 1)1 f(0)3xf(x)在()內(nèi)處處連續(xù).解:解:e2f(x)在x 0處連續(xù)，從而e x(x21) e22x2x(1 In x), x (x).1,xx(,0)01(0-) e1e(-,)ef (x)+不存在一0+f(x)z極大值、極小值z(mì)x 1

16、處，f (x)不可導(dǎo)，令f (x)0在xf (x)的極大值為f (0)1，極小值為由上面的表可知,1e已知f(x)2x32 axbx9有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2，求f(x)的極大值與極小值解：f (x)6x2ax bf (1)62a b0(1)由從中解得a 9,b12f244a b0即得f(x)2x3 9x212x9,f (x)12x 18, f (1)60f (x)在x 1處取得極大值，且f (1)147.226 0,f(x)在x 2處取得極小值，且 f(2)13.&求 f (x)內(nèi)最大值和最小值.解：f (x)x22xe (12x ) = 0 x 0, 1 .lim f (x) lim

17、 xx/ X2xlim 2x exlimx2x2xexlim f(x) limx''xr 0xef(0) 0, f( 1)f(x)在()內(nèi)最大值為9.求下列曲線(xiàn)的漸近線(xiàn):(1) y x32 xx矗32 xx3 x2(x1Vx11lim0,(2)y解：xJ3為垂直漸近線(xiàn).y 0為水平漸近線(xiàn).0.x1，最小值為解: xim1Vx 1xmF 1x 1為垂直漸近線(xiàn)，y 1為水平漸近線(xiàn).10.研究方程xlnx A 0實(shí)根的個(gè)數(shù).x1(0-) e1 e1(-,)ef (x)一0+f(x)極小值z(mì)A -e11 = 0xelim f (x)A, limf(x)解：令 f(x) xl nx A，

18、貝U f (x) ln x(1 )若 A(2)若 01(,e,1(0,-)與(-,ee則在(0,)內(nèi)方程無(wú)根，在e)內(nèi)方程有一根.1/e，則方程在)內(nèi)各有一根.11-,則極小值f () ee程只有一個(gè)實(shí)根.(3)若 A110,在(0,)內(nèi) f (x)0,在(,ee)內(nèi)f (x)0,即方(4)若A 1，則極小值f)0,從而在(0,)內(nèi)f(x) 0,方程無(wú)實(shí)根. ee11設(shè) a1, a2, ,an 滿(mǎn)足 a1a2(1)nanR 0的實(shí)數(shù)，證明a1 cosx a2 cos3xan cos(2 n 1)x0在開(kāi)區(qū)間(0 )內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.，21解：設(shè) f (x) a1 sinx -a2 sin3x3

19、1an sin(2n 1)x 2n 1在0,3內(nèi)滿(mǎn)足Rolle定理?xiàng)l件：f (0)10,fq)a13a2(1)n1yJan 02n 1x(0,)，使得f( )0,即在(0,)內(nèi)有 x滿(mǎn)足2 2a1 cosx a2 cos3xan cos(2n 1)x0(a, b)，使得f()汕()。證：首先由拉格朗日中值定理，得宀f(b) f(a)(a,b)使f()七嚴(yán)12.設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可微，試證存在(a,b)使f(b) f(a) f ()b2 a22兩式聯(lián)手即得。13.設(shè)f(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)0.證明在(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)其次針

20、對(duì)f (x)以及f (x)x2在a,b上，由Cauchy中值定理知，存在使 f( )(1 )f ().證：令 F(x) f (x)(x 1),則F(x)在0,1上滿(mǎn)足R Th條件，則存在(0,1)，使F ( ) 0 即 f ( )(1)f( ) 0 f( ) (1)f ()14.設(shè)0 a b, f (x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可微，證明在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)l_ 使得 f(b) f (a) f ( )ln -.a證：令g(x) In X ,將f (x)及g(x)在a, b上應(yīng)用柯西中值定理，則有Tb :，(a,b)即 f(b) f(a) f ( )lIn b In a 1a15 .設(shè)f (x)在0,1上具有二階導(dǎo)數(shù)，且f(0)f(1) 0,minf (x)1 .證明存在一點(diǎn)0x1則有a)f ( 2)(1 a)2，(0a)于疋若1 8)；f ( 2)8 .由此可得f)8.(01)16.由y 0,x8,yx2所圍成的曲邊三角形 OAB，在曲邊OB(yx2,a8)上求一點(diǎn)C，使得過(guò)此點(diǎn)所作y x2之切線(xiàn)與OA,OB所圍成的三角形面積最大解：設(shè)過(guò)曲線(xiàn)y x2上點(diǎn)c(x,b