圓錐曲線知識點(詳實而完備)總結(jié)版

1、直線圓圓錐曲線，基礎(chǔ)知識橢圓雙曲線拋物線定義與兩個定點的距離的與兩個定點的距離的與一個定點和一條定和等于常數(shù)差的絕對值等于常數(shù)直線的距離相等標(biāo)準(zhǔn)方程X2 y2a b2 2 （或詁+4 J,2 2x y _1 孑卞-12 2（或占-右=1）y2 =2 px2（或 X =2p y）X =acos0（X=a sece廠2x=2 pt參數(shù)方程y =bsi n 6y= bta n8J=2 ptfx =bsi n0（或 iy =acosJ（x= b ta n0 （或 iy =asefx = 2pt（或 «2 ）2 pt隹占八'、八、（±c,0）或（0, ±c）（

2、77;c,0）或（0, ±c）（上,0）或（0,上）2 2正數(shù)a,b,c.c2 =a2 -b2c22丄門=a +bP的關(guān)系（a Ab >0）（a :>0, b :>0 ）離心率e<1ae= >1 ae =1準(zhǔn)線2 2 aaX = ±（或 y = ±）cc2 2 aaX = ±（或 y = ±）ccX =-呂（或 y = - ）2 2漸近線bby = ± X （或 X = ± y ）aa|P F1I =a +ex）PF1=ex0 a|PF 1 =X0 埠|p F2 =a -ex0PF21 = -e

3、x0 +a（或 |PF "0+衛(wèi)）2焦半徑（或 |p F1I =a+ey0（|PF1I = ey0 -a,|p F2卜a-ey。）PF2I 二yy。+a）,（點P在左或卜支）統(tǒng)一定義到定點的距離與到定,（注:焦點要與對應(yīng)的距離之比等于定值的點的集合準(zhǔn)線配對使用）二，跟蹤訓(xùn)練AO丄BO （如圖4y ”1-1, （05廣東）在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，拋物線 y=x2上異于坐標(biāo)原點 0的兩不同動點 A、B滿足 所示）.（1）求 AOB的重心G （即三角形三條中線的交點）的軌跡方程；（n）A AOB的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由.2, （ 05廣東）在平面

4、直角坐標(biāo)系中，已知矩形 ABCD的長為2,寬為1, AB、AD邊分別在x 軸、y軸的正半軸上，A點與坐標(biāo)原點重合（如圖 5所示）.將矩形折疊，使 A點落在線段DC 上.（I）若折痕所在直線的斜率為 k,試寫出折痕所在直線的方程；（n）求折痕的長的最大值2=1 ( a aO )與直線I : x + y =1相交于兩個不同3, (O4全國I)雙曲線C：冷-y2a的點A , B. (I)求雙曲線 C的離心率e的取值范圍；(II)設(shè)直線I與y軸的交點為 P,且5 PA =PB，求a的值。124, (05重慶)2X2已知橢圓 G的方程為+ y =1,雙曲線C2的左，右焦點分別為4Ci的左，右頂點，而C2

5、的左，右頂點分別是C1的左,右焦點。(I)求雙曲線C2的方程;(II)若直線I : y =kx +罷與橢圓G及雙曲線C2都恒有兩個不同的交點，且I與C2的兩個交點A和B滿足OA OB <6 (其中0為原點)，求k的取值范圍。2 2-y2=1X y25, ( 04廣東)設(shè)直線I與橢圓 一+二=1相交于A, B兩點，I又與雙曲線X2516相交于C，D兩點，C，D三等分線段AB。求直線I的方程。 三，簡明提示1,2 2(I)設(shè) G(x,y), A(X1, y1),B(X2,y2)，則消去為，2,%,丫2得 y=2x +-； 31II ) S饑B = OA OB =22J(x12 +y 12)(

6、x22 + y22) =2Jx14 +X24 +2 冷J2(x,x2)2 +2 =1 ,當(dāng) X|4 = %4 ，即=-X2 = -1時，等號成立。解：設(shè)點A落在DC上的點1(I ) AE的方程為：y = -一 xk2,E處，則折痕所在的直線是線段 AE的垂直平分線E點的縱坐標(biāo)恒為1，代入得E點橫坐標(biāo)為k ,由：0 < k < 2，得2 < k < 0折痕的方程為：y-yA+yE2寧”心+寧(其中一2 <k <02(II)若折痕所在直線與y軸的交點的縱坐標(biāo)大于1,則折痕與線段CD有交點 若折痕所在直線與直線 X = 2的交點的縱坐標(biāo)小于0，則折痕與線段 AB有

7、交點對于折痕上的點(x ,y )當(dāng) x=0 時，令 0<y<1，得：0<k2<1，又一2<k<0，所以1 <k <0 即:當(dāng)-1 <k <0時，折痕與線段 AD有交點當(dāng) x=2 時，令 0<y<1，得 3<(k+2)2 <5，又一2<k<0，所以一2 + J3<k<0 當(dāng)2蘭k蘭1時，折痕與線段 DC有父點 即：當(dāng)-2+J3<k<0時，折痕與BC的邊有交點當(dāng)-2<k<-2+J3時，折痕與線段 AB有交點 綜合、。記折痕的長度為f (k )(1)當(dāng)2+ J3<

8、k<0時，折痕的兩個端點分別在AD、BC上f(k)=X2 -捲卜J1+ k2 =2J1 + k2當(dāng) k = 2 + 巧時，f (k )有最大值 4J2-73 = 2(J6 J2)AB、 ad 上（2） 當(dāng)-1<k <2+J3時，折痕的兩個端點分別在f (k )=卜2 -Yi X J1 +孑=21+k2 jh + k2 -用2j（1；k）設(shè)t = k2，gQ J1；），則 g（t）=t2 + 3t十彳+（-2+J5）<t <（1）2）對 g（t）求導(dǎo)數(shù),2則：禺們丿乜-卜心皿一1）t2解 g'(t )3 0 ,得 t = 1 (舍去)或 t>-,而(2

9、 町3（< 因此：g（t）的最大值gmatt) = max *- + 曠)3 辰 打從而得到:fmax ( k )= max f ( 2 + 73), f(_1（3） 當(dāng)_2 <k < _1時，折痕的兩個端點分別在 AB、CD上fy2 - y1當(dāng)k =-1時，f （k淳最大值 罷綜合（1 ）、（2）、（3），得，當(dāng)k = 2 + J3時，f （k）有最大值2（J6-J5）。r 2區(qū) 2 =3，(I)由a2，得(1 a2)x2 +2a2x2a2 =0 ，有 0 <a < 且 a h1，Ix+y =1JE = J*十1，得 e的取 -值范圍為（w ,運）U （邁,S

10、；2(II)設(shè) A(Xi,yi)B(X2,y2), P(0,1),5 5PA = 12 pb，得(" W22 -1)，2a21-a2512 X2-2a2 一1 -a2 '17消去x2，得a =。134, （I）設(shè)所求的方程為2 X2 a= 3,b22=c2-a2=1，有牛-y2 = 1 ；3r 2+ y =1(II)由 4Ly x +72有兩個不同解得k24,r 2區(qū).由4 3 '有兩個不同解得Ly =lx +72-y2 =12且k <1，由OACB <6得3k2 <6，即 k2一或 k2 vl 由，得 k 的取值范圍是（一1,-J）U （-一，-丄

11、）U（，一）U（ p3,1）。 3k -1153V15322 31155,解：首先討論I不與X軸垂直時的情況，設(shè)直線 I的方程為y=kx+b，如圖所示，I與橢圓、雙曲線的交點為:y= kx + b2 2A(X1, y1), B(X2 ,y2),C(X3, y3), D(X4 ,y4)依題意有 AC =DB,AB =3CD，由 x2 y2得I + 丄=1.25 162 2 2(16+25k )x -2bkx + (25b -400) =0.(1).為+x2_ 50bk_ 216 + 25k由丿y/kX/b 得(1k2)x2 2bkx(b2 +1)=0.(2) lx -y =1若k = ±

12、;1，則與雙曲線最多只有一個交點，不合題意，故k H ±1X3+X4 二単1 -k2AC = DB = X3 X1 =X2 X4= X1 + X2 =X3 +X450bk 2bk , ,心 c二一2=2 二 bk =0二 k = 0或b =016 + 25k21 -k2(i)當(dāng) k =0時,由(1)得 X1,2 = ±5M6-b2,由得 X3,4 =±Jb2 +14由AB =3CD= xx3(x -x3), 即10 j16-b2 =6jb2 +1 =4故I的方程為y = 土1613b-16201(ii)當(dāng) b=0 時，由(1)得 X1 2，由(2)得 X3 4 =± .j16 + 25k2j1-k2616由AB =3CD= X2 -為=3(& X3)即= k = ± Jl6 + 25k2 Jl-k22540故1的方程為八±25x再討論1與X軸垂直的情況.設(shè)直線1的方程為X=c，分別代入橢圓和雙曲線方程可解得,y1,2