江蘇省南通市啟東高二上期末數(shù)學(xué)試卷(有答案)

1、2017-2018 學(xué)年江蘇省南通市啟東高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、填空題：本大題共14 小題，每小題 5 分，共 70 分請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上1（5分）復(fù)數(shù)，其中 i 為虛數(shù)單位，則 z 的虛部是2（5分）命題 “? xR，x2 2 0”的否定是3（5分）執(zhí)行如圖所示的偽代碼，若輸出的y 值為 1，則輸入 x 的值為4（5分）已知一組數(shù)據(jù) 4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，則該組數(shù)據(jù)的方差是5（5分）拋物線 x2=4y 的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為6（5 分）某校高一年級(jí)有學(xué)生 400 人，高二年級(jí)有學(xué)生 360 人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從全校學(xué)生中抽出 56 人，其中從高一年級(jí)學(xué)生中

2、抽出 20 人，則從高二年級(jí)學(xué)生中抽取的人數(shù)為7（5 分）觀察下列各式9 1=8， 164=12，259=16，36 16=20 ，這些等式反映了自然數(shù)間的某種規(guī)律，設(shè)n 表示自然數(shù)，用關(guān)于 n 的等式表示為8（5 分）離心率為2 且與橢圓+ =1 有共同焦點(diǎn)的雙曲線方程是9（5 分）將一個(gè)質(zhì)地均勻的骰子（一種各個(gè)面上分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6 個(gè)點(diǎn)為正方體玩具）先后拋擲 2 次，則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和不小于9 的概率是（分）已知命題p：“? x 1，2 ，x2a0”；命題 q：“? xR，x2+2ax+2a=0”，若命10 5題“p q”是真命題，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是11（5 分）在平

3、面直角坐標(biāo)系xOy 中，直線 mxy3m2=0（mR）被圓（ x2）2+（y+1）2=4 截得的所有弦中弦長(zhǎng)的最小值為12（5 分）已知點(diǎn) A 的坐標(biāo)是（ 1， 1），F(xiàn)1 是橢圓3x2+4y212=0 的左焦點(diǎn)，點(diǎn)P 在橢圓上移動(dòng)，則 | PA|+ 2| PF1|的最小值13（5分）已知圓和兩點(diǎn)，（m 0），若圓C 上存在點(diǎn)P，使得 APB=60°，則實(shí)數(shù)m 的取值范圍是14（5 分）如圖，已知橢圓（a b 0）的左、右焦點(diǎn)為F1、 F2，P 是橢圓上一點(diǎn)，M在1 上，且滿足，PO F2M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)橢圓離心率e的取值范圍PF二、解答題：本大題共 6 小題，共計(jì)90 分請(qǐng)?jiān)诖痤}卡

4、指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟15（14分）已知 z 為復(fù)數(shù)， z+2i 和均為實(shí)數(shù)，其中 i 是虛數(shù)單位（1）求復(fù)數(shù) z 和| z| ；（2）若在第四象限，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍16（14分）已知命題 p：? xR，tx2+x+t 0（1）若 p 為真命題，求實(shí)數(shù) t 的取值范圍；（2）命題 q：? x 2，16 ，tlog2x+10，當(dāng) p q 為真命題且 pq 為假命題時(shí)，求實(shí)數(shù) t的取值范圍17（14分）已知橢圓 C 的方程為+=1（1）求 k 的取值范圍；（2）若橢圓 C 的離心率 e=，求 k 的值18（16 分）已知圓 O：x2+y2=4，兩個(gè)定點(diǎn) A（

5、 a， 2），B（m，1），其中 aR，m0P 為圓O 上任意一點(diǎn)，且（為常數(shù)）（1）求常數(shù) 的值；（2）過(guò)點(diǎn) E（a， t）作直線 l 與圓 C： x2 +y2=m 交于 M， N 兩點(diǎn)，若 M 點(diǎn)恰好是線段 NE 的中點(diǎn)，求實(shí)數(shù) t 的取值范圍19（16 分）（1）找出一個(gè)等比數(shù)列 an ，使得 1，4 為其中的三項(xiàng)，并指出分別是 an的第幾項(xiàng)；（2）證明：為無(wú)理數(shù)；（3）證明： 1， ， 4 不可能為同一等差數(shù)列中的三項(xiàng)20（16 分）已知橢圓 C：左焦點(diǎn) F，左頂點(diǎn) A，橢圓上一點(diǎn) B 滿足 BF x 軸，且點(diǎn)B 在 x 軸下方， BA 連線與左準(zhǔn)線 l 交于點(diǎn) P，過(guò)點(diǎn) P 任意引一

6、直線與橢圓交于C、D，連結(jié) AD、，滿足：= ，= BC交于點(diǎn) Q，若實(shí)數(shù) 1 212（1）求 1?2的值；（2）求證：點(diǎn) Q 在一定直線上 選修4-2：矩陣與變換（本小題滿分10 分）21（10分）已知矩陣M=，其中aR，若點(diǎn)P（1， 2）在矩陣M 的變換下得到點(diǎn)P（4，0）（1）求實(shí)數(shù)（2）求矩陣a 的值；M 的特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量 選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 （本小題滿分20 分）22已知直線的極坐標(biāo)方程為，圓M的參數(shù)方程為（其中 為參數(shù)）（）將直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（）求圓 M 上的點(diǎn)到直線的距離的最小值23（10 分）如圖，正方形ABCD的中心為 O，四邊形 OBE

7、F為矩形，平面 OBEF平面 ABCD，點(diǎn) G 為 AB 的中點(diǎn)， AB=BE=2（1）求證： EG平面 ADF；（2）求二面角 O EFC 的正弦值；（3）設(shè) H 為線段 AF 上的點(diǎn)，且 AH= HF，求直線 BH 和平面 CEF所成角的正弦值24（10 分）在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，直線 l： x=1，點(diǎn) T（ 3， 0），動(dòng)點(diǎn) P 滿足 PSl，垂足為 S，且 ? =0，設(shè)動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡為曲線 C（1）求曲線 C 的方程；（2）設(shè) Q 是曲線 C 上異于點(diǎn) P 的另一點(diǎn)，且直線PQ 過(guò)點(diǎn)（ 1，0），線段 PQ 的中點(diǎn)為 M，直線 l 與 x 軸的交點(diǎn)為 N求證：向量與共線參考答

8、案與試題解析一、填空題：本大題共14 小題，每小題5 分，共70 分請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上1（5 分）復(fù)數(shù)，其中i 為虛數(shù)單位，則z 的虛部是【解答】 解：復(fù)數(shù)=i，則 z 的虛部 =故答案為：2（5 分）命題 “? xR，x2 2 0”的否定是? x R， x220【解答】解：因?yàn)樘胤Q命題的否定是全稱命題，所以，命題“? xR，x220”的否定是： ? xR，x220故答案為： ? xR，x2 2 03（5 分）執(zhí)行如圖所示的偽代碼，若輸出的y 值為 1，則輸入 x 的值為1【解答】 解：由程序語(yǔ)句知：算法的功能是求f（x）=的值，當(dāng) x0 時(shí)， y=2x+1 =1，解得 x=1，不

9、合題意，舍去；當(dāng) x0 時(shí)， y=2x2=1，解得 x=±1，應(yīng)取 x= 1；綜上， x 的值為 1故答案為： 14（5 分）已知一組數(shù)據(jù)4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，則該組數(shù)據(jù)的方差是0.1【解答】 解：數(shù)據(jù) 4.8，4.9，5.2，5.5，5.6 的平均數(shù)為：=×（ 4.8+4.9+5.2+5.5+5.6）=5.2，該組數(shù)據(jù)的方差為：S2= × （ 4.8 5.2） 2+（4.95.2）2+（5.25.2）2 +（ 5.5 5.2） 2+（5.65.2）2 =0.1故答案為： 0.15（5 分）拋物線 x2=4y 的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2【解答】 解：

10、拋物線 x2=4y的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為：p=2故答案為： 26（5 分）某校高一年級(jí)有學(xué)生 400 人，高二年級(jí)有學(xué)生 360 人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從全校學(xué)生中抽出 56 人，其中從高一年級(jí)學(xué)生中抽出 20 人，則從高二年級(jí)學(xué)生中抽取的人數(shù)為18 【解答】 解：設(shè)從高二年級(jí)學(xué)生中抽出x 人，由題意得=，解得 x=18，故答案為： 187（5 分）觀察下列各式9 1=8， 164=12，259=16，36 16=20 ，這些等式反映了自然數(shù)間的某種規(guī)律， 設(shè) n 表示自然數(shù)，用關(guān)于 n 的等式表示為（n+2）2n2 （）（ N?） =4n+1 n【解答】 解：觀察下列各式9 1=3212=8

11、=4×（ 1+1），164=4222=12=4×（ 1+2），259=5232=16=4×（ 1+3），3616=62 42=20=4×（ 1+4）， ，分析等式兩邊數(shù)的變化規(guī)律，我們可以推斷（n+2）2n2=4（ n+1）（ n N?）故答案為：（n+2）2n2=4（ n+1）（n N?）8（5 分）離心率為 2 且與橢圓+=1 有共同焦點(diǎn)的雙曲線方程是=1【解答】 解：根據(jù)題意，橢圓+=1 的焦點(diǎn)為（± 4，0），又由雙曲線與橢圓有共同焦點(diǎn)，則雙曲線的焦點(diǎn)在x 軸上，且 c=4，設(shè)其方程為=1，又由雙曲線的離心率e=2，即 e= =2，則

12、a=2，b2=c2 a2 =164=12，則雙曲線的方程為：=1；故答案為：=19（5分）將一個(gè)質(zhì)地均勻的骰子（一種各個(gè)面上分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6個(gè)點(diǎn)為正方體玩具）先后拋擲2 次，則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和不小于9 的概率是【解答】 解：將一個(gè)質(zhì)地均勻的骰子（一種各個(gè)面上分別標(biāo)有體玩具）先后拋擲 2 次，1，2，3，4，5，6 個(gè)點(diǎn)為正方基本事件總數(shù) n=6×6=36，出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和不小于9 包含的基本事件有：（3，6），（6，3），（4，5），（5，4），（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共有 10 個(gè)，出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和不小于9 的概率

13、： p=故答案為：10（5 分）已知命題 p：“? x 1，2 ，x2a0”；命題 q：“? xR，x2+2ax+2a=0”，若命題“p q”是真命題，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 a 2，或 a=1 【解答】 解：若命題 p：“? x 1，2 ， x2a0”為真；則 1a0，解得： a 1，2若命題 q：“? x R， x +2ax+2a=0”為真，解得： a 2，或 a1，若命題 “pq”是真命題，則 a 2，或 a=1，故答案為： a 2，或 a=111（5 分）在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，直線 mxy3m2=0（mR）被圓（ x2）2+（y+1）2=4 截得的所有弦中弦長(zhǎng)的最小值為【解答】

14、 解：直線 mxy3m2=0 過(guò)定點(diǎn) I（3， 2），圓（ x2）2 +（ y+1） 2 的圓心坐標(biāo)（ ， ），半徑為r=2=4C 21如圖，|CI|=，直線mx y 3m 2=0 被圓（ x 2 ） 2+（ y+1） 2=4 截得的所有弦中弦長(zhǎng)的最小值為故答案為：12（5 分）已知點(diǎn) A 的坐標(biāo)是（ 1， 1），F(xiàn)1 是橢圓 3x2+4y212=0 的左焦點(diǎn)，點(diǎn) P 在橢圓上移動(dòng)，則 | PA|+ 2| PF1| 的最小值5【解答】 解：由橢圓 3x2+4y212=0 作出橢圓如圖，由 a2=4，b2=3，得 c2=1，c=1， = ，由橢圓的第二定義可得，橢圓上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離| PF1

15、| 與到左準(zhǔn)線的距離的比值為e= ， 2| PF1| 為橢圓上的點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離，過(guò) A 作 AB左準(zhǔn)線 l 與 B，交橢圓于 P，則 P 點(diǎn)為使 | PA|+ 2| PF1| 最小的點(diǎn)，最小值為A 到l 的距離，等于1+=1+4=5故答案為：513（5分）已知圓和兩點(diǎn)，（m 0），若圓C 上存在點(diǎn) P，使得 APB=60°，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是 m|【解答】 解：如圖，當(dāng) D（0，3m）時(shí)， ADB=60°，故滿足條件的點(diǎn) P 必在以 A、 B、 D 三點(diǎn)所確定的圓周上，該圓圓心為 M（0，m），要使圓 C 上存在點(diǎn) P，由兩圓必有交點(diǎn)，即| rMrC| | MC|

16、| rM+rC| ，如圖， | rMrC| 2| MC| 2| rM +rC| 2，（ 2m2）2（ 3）2+（m 5） 2（ 2m+2）2，由 m 0，解得 2故答案為： m| 14（5 分）如圖，已知橢圓（a b 0）的左、右焦點(diǎn)為F1、 F2，P 是橢圓上一點(diǎn)，M在PF1上，且滿足，PO F ， 為坐標(biāo)原點(diǎn)橢圓離心率e的取值范圍（，） 2M O1【解答】 解：設(shè) P（x0，y0），M （xM， yM），=（x0+c，y0 ）=（xM+c，yM）M （x0c，y0），=（x0c，y0），POF2M ，=（ x0，y0）（x0c） x0+y02=0即 x02+y02=2cx0，聯(lián)立方程得：，

17、消去 y0 得：c2x022a2cx0 +a2（ a2c2）=0，解得： x0=或 0，x = ax0 a， x0=（ 0，a），0a2acac 解得： e，綜上，橢圓離心率e 的取值范圍為（，1）故答案為：（，1）二、解答題：本大題共6 小題，共計(jì) 90 分請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟15（14 分）已知 z 為復(fù)數(shù)， z+2i 和均為實(shí)數(shù)，其中i 是虛數(shù)單位（1）求復(fù)數(shù) z 和| z| ；（2）若在第四象限，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍【解答】 解：（1）設(shè) z=a+bi（ a，b R），則 z+2i=a+（b+2） i，由 z+2i 為實(shí)數(shù)，得 b+2=0，

18、則 b= 2由=為實(shí)數(shù)，得，則 a=4，z=42i，則；（2）由=4+3m+（ m2 4） i 在第四象限，得，解得216（14 分）已知命題 p：? xR，tx +x+t 0（2）命題 q：? x 2，16 ，tlog2x+10，當(dāng) p q 為真命題且 pq 為假命題時(shí)，求實(shí)數(shù) t 的取值范圍【解答】 解：（1） ? x R， tx2+x+t 0， t 0 且 =14t20，解得p 為真命題時(shí)， （6 分）（2）? x 2， 16 ，tlog2 ，16，有解x+1 0? ? x 2又 x 2， 16 時(shí)， t 1 （8 分）pq 為真命題且 pq 為假命題時(shí)， p 真 q 假或 p 假 q

19、真，當(dāng) p 假 q 真，有解得；當(dāng) p 真 q 假，有解得 t 1；pq 為真命題且 pq 為假命題時(shí)， t 1 或 （14 分）17（14 分）已知橢圓 C 的方程為+=1（1）求 k 的取值范圍；（2）若橢圓 C 的離心率 e=，求 k 的值【解答】 解：（1）方程為+=1 表示橢圓，則，解得 k（ 1，5）（ 5， 9） （6 分）（未去 5 扣 2 分）（2）當(dāng) 9k k 1 時(shí)，依題意可知a=， b=，c=，=， k=2；當(dāng) 9 kk1 時(shí)，依題意可知b=， a=，c=，=， k=8； k 的值為 2 或 8（一種情況（ 4 分）共 8 分）18（16 分）已知圓 O：x2+y2=4

20、，兩個(gè)定點(diǎn) A（ a， 2），B（m，1），其中 aR，m0P 為圓O 上任意一點(diǎn)，且（為常數(shù)）（1）求常數(shù) 的值；（2）過(guò)點(diǎn) E（a， t）作直線 l 與圓 C： x2 +y2=m 交于 M， N 兩點(diǎn)，若 M 點(diǎn)恰好是線段 NE 的中點(diǎn)，求實(shí)數(shù) t 的取值范圍【解答】 解：（1）設(shè)點(diǎn) P（x，y），x2+y2=4，因?yàn)?+（ y2）2222 ，所以（ xa）（ xm ） +（y1）=222化簡(jiǎn)得 2ax+4ya 8=（2mx+2y m5），因?yàn)?P 為圓 O 上任意一點(diǎn)，所以，又 m 0， 0，解得，所以常數(shù) （ 8 分）（2）設(shè) M （x0，y0），M 是線段 NE 的中點(diǎn)， N（2x0

21、2，2y0t ），又 M， N 在圓 C 上，即關(guān)于 x， y 的方程組有解，化簡(jiǎn)得有解，即直線 n：8x+4ty t27=0 與圓 C：x2+y2=1 有交點(diǎn)，則，化簡(jiǎn)得： t 42t215 0，解得 （16 分）19（16 分）（1）找出一個(gè)等比數(shù)列 an ，使得 1，4 為其中的三項(xiàng)，并指出分別是 an的第幾項(xiàng)；（2）證明：為無(wú)理數(shù)；（3）證明： 1， 4 不可能為同一等差數(shù)列中的三項(xiàng)【解答】 解：（1）取一個(gè)等比數(shù)列 an ：首項(xiàng)為 1、公比為，則， 2分則令=4，解得 n=5，所以 a1=1， a5 =4 4分（2）證明：假設(shè)是有理數(shù)，則存在互質(zhì)整數(shù)h、k，使得， 5分則 h2=2k

22、2，所以 h 為偶數(shù)， 7分設(shè) h=2t，t 為整數(shù)，則 k2=2t2，所以 k 也為偶數(shù)，則 h、k 有公約數(shù) 2，這與 h、 k 互質(zhì)相矛盾， 9分所以假設(shè)不成立，所以是有理數(shù)10分（3）證明：假設(shè) 1， ， 4 是同一等差數(shù)列中的三項(xiàng)，且分別為第 n、 m、p 項(xiàng)且 n、m、p 互不相等， 11分設(shè)公差為 d，顯然 d0，則，消去 d 得， 13分由 n、m、 p 都為整數(shù)，所以為有理數(shù)，由（ 2）得 是無(wú)理數(shù)，所以等式不可能成立，15分所以假設(shè)不成立，即 1， 4 不可能為同一等差數(shù)列中的三項(xiàng)16分20（16 分）已知橢圓 C：左焦點(diǎn) F，左頂點(diǎn) A，橢圓上一點(diǎn) B 滿足 BF x 軸

23、，且點(diǎn)B 在 x 軸下方， BA 連線與左準(zhǔn)線 l 交于點(diǎn)BC交于點(diǎn) Q，若實(shí)數(shù) 1，2滿足： =1（1）求 ?的值；12（2）求證：點(diǎn) Q 在一定直線上P，過(guò)點(diǎn) P 任意引一直線與橢圓交于 C、D，連結(jié) AD、， =2 【解答】 解：（1）由橢圓 C：，得 a2，2，=16b =12，則 F（ 2， 0），由 BFx 軸，不妨設(shè) B（ 2， 3）， A（ 4， 0），直線 AB： y= （ x+4），又左準(zhǔn)線 l：x=8， P（ 8，6），又=1，得，由=2，得，得，又，由系數(shù)相等得，得；（2）證明：設(shè)點(diǎn) C（x1 ，y1），D（x2， y2）， Q（ x0，y0），由 =1 ，得（ x1+

24、2，y1+3）=1（x0x1， y0y1），得，代入橢圓方程：，得：，顯然 10，同理得：，又由（ 1），整理得： x0+y0 +2=0，即點(diǎn) Q 在定直線 xy+2=0 上 選修 4-2：矩陣與變換 （本小題滿分 10 分）21（10 分）已知矩陣 M=，其中 aR，若點(diǎn) P（1， 2）在矩陣 M 的變換下得到點(diǎn)P（4，0）（1）求實(shí)數(shù) a 的值；（2）求矩陣 M 的特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量【解答】 解：（1）由=， 22a= 4? a=3（2）由（1）知M=，則矩陣M的特征多項(xiàng)式為令 f （）=0，得矩陣 M 的特征值為 1 與 4當(dāng) =1 時(shí)，矩陣 M 的屬于特征值 1 的一個(gè)特征向量為

25、；當(dāng) =4時(shí)，矩陣 M 的屬于特征值 4 的一個(gè)特征向量為 選修 4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 （本小題滿分20 分）22已知直線的極坐標(biāo)方程為，圓 M 的參數(shù)方程為（其中 為參數(shù)）（）將直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（）求圓 M 上的點(diǎn)到直線的距離的最小值【解答】 解：（）以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x 軸正半軸建立直角坐標(biāo)系 （1 分）， sin+cos=1（ 2 分）該直線的直角坐標(biāo)方程為： x+y 1=0（ 3 分）（）圓 M 的普通方程為： x2+（y+2）2 （4分）=4圓心 M（0， 2）到直線 x+y 1=0 的距離（5 分）所以圓 M 上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為（7 分）23（10 分）如圖，正方形ABCD的中心為 O，四邊形 OBEF為矩形，平面 OBEF