解三角形題中的邊與的轉(zhuǎn)化策略

1、“2sin2A (2sinB sinC)sin B (2sinC sin B)sinC ”，再化簡求 A 比較困難.而解三角形題中的邊與角的轉(zhuǎn)化策略舒云水解答一些解三角形的題目，常常需要運(yùn)用正弦定理、余弦定理及三角形內(nèi)角和定理等知識，將已知條件中的邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)關(guān)系式或 將角的三角函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系式， 下面談?wù)劷馊切晤}中的邊與角 轉(zhuǎn)化的常見策略.將角的正（余）弦關(guān)系式轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系式例1在/ ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知51sin A sinC -sin B , b 1, ac -.求 a,c 的值.44分析：運(yùn)用正弦定理將三個(gè)角的正弦關(guān)系si n

2、A三條邊的關(guān)系“ a c 5b”，聯(lián)立“ aCCacsinC -sinB ” 轉(zhuǎn)化為41 ”，解方程組即可求45解：由題設(shè)并利用正弦定理，得5a c a 1/，解得c 1，或1c ac 44點(diǎn)撥：運(yùn)用正弦定理將角關(guān)系sin Asi nC5 . 一 sin4in B ”轉(zhuǎn)化為邊關(guān)系CCa c-b ”是解本題的關(guān)鍵.4在 ABC中,c分別為內(nèi)角B、C的對邊，且2asin A(2 bc)sin B (2c b)sinC 求 A 的大小.分析:本題已知條件“ 2as in A (2 b c)si nB (2 cb）sinC”是一個(gè)邊角混合等式，對于這種等式，一般有兩種轉(zhuǎn)化思路可考慮：一是將邊轉(zhuǎn)化為角；

3、二 是將角轉(zhuǎn)化為邊.本題若將邊轉(zhuǎn)化為角，即將已知等式轉(zhuǎn)化為將角化成邊“ 2a2(2b c)b (2c b)c”，化簡得：a2 b2 c2 bc，再利用余弦定理很容易求出A -解：由已知，根據(jù)正弦定理得2a2(2b c)b (2c b)c，即 a2 b2 c2 bc .由余弦定理得：a2 b2 c2 2bccosA .1故 cosAA 120o 2點(diǎn)撥：運(yùn)用正弦定理，將已知的邊角混合關(guān)系式轉(zhuǎn)化為只含邊的關(guān)系式 是解決本題的切入點(diǎn)、突破口.二、將邊的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)關(guān)系式解答有關(guān)解三角形的問題，有時(shí)需要運(yùn)用正(余)弦定理，將已知條件中邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)關(guān)系式例3 設(shè) ABC的內(nèi)角A

4、、B、C所對的邊長分別為a、b、c，且acosB bcosA -c .求 的值 5tan B分析：根據(jù)本題要求的結(jié)論丑tan B“ acosB bcosA - c” 中的邊 a、b、5，本題應(yīng)將已知條件的邊角混合關(guān)系式c轉(zhuǎn)化為si nA、sin B、tan Atan B3-cos Asin B -sinC，再根據(jù)sinC sin(A B)，進(jìn)一步化簡即可求出解：根據(jù)acosB bcosA -c以及正弦定理，可得5 3 sinAcosB sin BcosA -sine -sin(A B), 533sin AcosB sin BcosA -sine-sin AcosB55十,28因此，有-si n

5、AcosB-cosAs in B,55tan A ,4 - tan B點(diǎn)撥：運(yùn)用正弦定理將已知的邊角混合關(guān)系式轉(zhuǎn)化為只含角的關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵.例4設(shè) ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，且acosB 3，bsin A 4 .求邊長a分析:本題是一道求邊長的題目，先將兩個(gè)已知等式“bsin A 4 ”禾口“ acosB3”整合，即將兩個(gè)等式左、右兩邊分別相除，再用正弦定理將-轉(zhuǎn)a,化簡求出tanB,再進(jìn)一步求出cosB、a .化為si nA解：將acosB 3、bsinA 4兩式相除，有4 bsin A3 acosB又通過acosBsin Bsi nA _ tan B , s

6、in AcosB3知：cosB 0,則 cosB 3 ,點(diǎn)撥：解本題有兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：1.將兩個(gè)已知條件等式整合，相除；2.運(yùn)用正弦定理將b轉(zhuǎn)化.a sin A前面分別談了將角轉(zhuǎn)化為邊與將邊轉(zhuǎn)化為角兩種思路.事實(shí)上，一些題目用兩種轉(zhuǎn)化方法都可以求解，有時(shí)還要綜合運(yùn)用上面兩種轉(zhuǎn)化方法，下面舉一例說明.例5在ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,已知cos A 2cos CcosB思路1：專，求栄的值.將邊轉(zhuǎn)化為角.運(yùn)用正弦定理將解法1：在ABC，由 COSA 2cosCcos A 2cosCcosBcosB2si nC si nAsin B2c a 轉(zhuǎn)化為 2sinC sin Absin

7、B3及正弦定理可得bsin AcosB ,即 cosAsin B 2cosCsinB 2sinCcosB貝J cosAsin B sinAcosB 2sinCcosB 2cosCsinB ,sin( A B) 2sin(C B)，而 ABC , 則 sinC 2sin A，即竺£2 .sin A思路2:將角轉(zhuǎn)化為邊.直接運(yùn)用余弦定理將 cosA、cosB、cosC轉(zhuǎn)化為邊，得到邊的關(guān)系式c即可求出的值.sin A解法2:在 ABC ,2a，再運(yùn)用正弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系,由 cosA 2cosC 2c a 可得 cosBbcosA 2bcosC2ccosB acosB .由余

8、弦定理可得2 2 .2a c b2c.2 2 2 2 .2 2 2 2 .2b c a a b c a c b2caa整理可得c 2a，由正弦定理可得啞E 2 . sin A a三、三角形三個(gè)內(nèi)角之間的轉(zhuǎn)化根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及已知條件，用已知角來表示待求角，也是解三角形問題中常用的轉(zhuǎn)化策略.例6在ABC中，A、B、C的對邊分別是c，已知3a cosA ccosB bcosC .(1)求cosA的值;若cosB cosC 2總，求sinC的值.3分析：題目所給已知條件關(guān)系式是邊、角混合式，(1)小題若運(yùn)用余弦定理化角為邊，求解較難.適宜運(yùn)用正弦定理化邊為角，得到關(guān)系式:3si nAcosA s

9、in C cosB si n BcosC si n(B C), 再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理sin (BC)將轉(zhuǎn)化為sin A,便可容易求出cosA . (1)小題已求出cosA , A為已知角,C為待求角，關(guān)鍵是要運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理將 B轉(zhuǎn)化為(A C),化簡I*cos( A C) cosC得cosC 72sin C = 73 , 再根據(jù)平方關(guān)系3sin 2 Ccos2 C 1 , 便可求出sinC .解：(1)由 3acosA ccosB bcosC及正弦定理得3sin AcosA sin A , 所以cosA -.3(2) si nA J1 cos2 A.3由cosB cosC誓得 cos( A C) cosC琴，展開易得cosC 72sinC=j3 .又sin2 c cos2C 1 ,所以(73 72sinC)2 sin2C 1 .化簡整理得(73sinc 72)2 0,J3sinC 42 0 ,sinC 毎3點(diǎn)撥：注意角之間的轉(zhuǎn)化，將sin(B C)轉(zhuǎn)化為sin A, cosB轉(zhuǎn)化為cos( A C)是成功解答本題的關(guān)鍵.c .若練習(xí)：1. ABC中，角A