第1講.特殊的平行四邊形--滿分班

1、第1講特殊的平行四邊形菱形特殊的平行四邊形矩形正方形1菱形一、菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.二、菱形的性質(zhì) 菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì); 菱形的四條邊都相等; 菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角; 菱形是軸對稱圖形，它有 2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線.三、菱形的面積計算 利用平行四邊形的面積公式.1 菱形面積=2?a、b是兩條對角線的長度） 四、菱形的判定:+ 一組鄰邊相等=菱形）; 菱形定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（平行四邊形 四條邊都相等的四邊形是菱形.幾何語言： AB=BC=CD=DA 二四邊形ABCD是菱形;). 對角線互相垂直的

2、平行四邊形是菱形（或“對角線互相垂直平分的四邊形是菱形”幾何語言： AC丄BD，四邊形ABCD是平行四邊形二平行四邊形 ABCD是菱形【例題精選】1. （ 2019秋？南岸區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，四邊形 ABCD為菱形，點A, B的坐標(biāo)分別為（-2, 0）, （ 0, - 1）,點C, D分別在坐標(biāo)軸上，則菱形 ABCD的周長等于A c. 4/5D 20【分析】根據(jù)題意和勾股定理可得 AB長,再根據(jù)菱形的四條邊都相等，即可求出菱形的周長.【解答】解：點A, B的坐標(biāo)分別為（-2, 0),(0, 1), OA= 2, OB = 1,菱形ABCD的周長等于4AB =如號故選：C 【點評】

3、本題考查了菱形的性質(zhì)、 坐標(biāo)與圖形性質(zhì),解決本題的關(guān)鍵是掌握菱形的性質(zhì).AB，現(xiàn)要在該網(wǎng)格內(nèi)再確定格點CA 將線段AB平移得到線段CD ,使四邊形ABDC為正方形的有2種B 將線段AB平移得到線段CD ,使四邊形ABDC為菱形的（正方形除外）有C 將線段AB平移得到線段CD ,使四邊形ABDC為矩形的（正方形除外）有D 不存在以AB為對角線的四邊形ACBD是菱形2. （ 2020?吉州區(qū)一模）在如圖所示的網(wǎng)格中，已知線段和格點D，某數(shù)學(xué)探究小組在探究時發(fā)現(xiàn)以下結(jié)論，以下結(jié)論不正確的是（2種，正【分析】根據(jù)正方形和菱形的性質(zhì)判斷即可.【解答】解：A將線段AB平移得到線段CD，使四邊形ABDC為正

4、方形的有確，不符合題意;B、將線段AB平移得到線段 CD，使四邊形 ABDC為菱形的（正方形除外）有 3種，正確，不符合題意;C、將線段AB平移得到線段CD，不存在使四邊形ABDC為矩形的，錯誤，符合題意;正確，不符合題意;D、不存在以AB為對角線的四邊形 ACBD是菱形,【點評】此題考查菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)菱形、正方形的性質(zhì)畫出圖形解答.【隨堂練習(xí)】1. （ 2020春？錫山區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD 是菱形，AC= 8, DB = 6, DH 丄 AB 于 H ,CB .晉C. 12D. 24【解答】解：設(shè)AC與BD交于0,四邊形ABCD是菱形，AC= 8, DB = 6, AC丄 B

5、D, OA =AC= 4, OB =yBD = 3,/ S 菱形 ABCD = AC?BD = 24 , DH 丄 AB,24 DH = 24- DH =.5故選：B.2. （2020春？江夏區(qū)校級期中）周長為16的菱形ABCD中，有一個角為45,則菱形ABCD的面積為（A . 8f2B . 16D. 4/2【解答】解:如圖,16,AB= ad = 4,過點B作BE丄AD于點E,/ BEA = 90/ A= 45, BE = AB =,2菱形ABCD的面積為：AD?BE= 4 X 應(yīng) =&近.故選：A .3. （ 2020?和平區(qū)一模）如圖，菱形 ABCD的周長為16,/ C = 120, E

6、, F分別為AB,A. 2V2AD的中點，貝y EF的長為（）B . 2V3【解答】解：連接AC, BD交于點O,120 AB= BC，/ ABC = 60, AC 丄BD, ABC是等邊三角形,AB= BC = AC,菱形ABCD的周長為16,AB= AC = 4, OA= 2, B=d 止 b2-0a2=J42-2 2=胡， BD = 2OB = 4/3/ E、F分別是AB、AD的中點, EF = 2 BD = 2亦.2矩形一、矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形.二、矩形的性質(zhì) 平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有; 角：矩形的四個角都是直角; 邊：鄰邊垂直; 對角線：矩形的對角線相等;矩

7、形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點連線所在的直線；對稱中心是兩條對角線的交點.(3)由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角形的一個重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.三、矩形的判定:矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形;有三個角是直角的四邊形是矩形; 對角線相等的平行四邊形是矩形（或“對角線互相平分且相等的四邊形是矩形”【例題精選】1. （ 2020?道外區(qū)二模）如圖，矩形 ABCD中，點E在BC邊上，DF丄AE于F，若EF = CE【分析】根據(jù)四邊形ABCD是矩形,D. 3/2EF = CE, DF 丄 AE,證明 DFE DCE，即可得【解答】解

8、：連接到DF = DC ,進(jìn)而得出AE= AD，進(jìn)而利用勾股定理解答即可.四邊形ABCD是矩形, AD / BC, / BCD = 90/ ADE = / DEC ,/ DF 丄 AE,/ DFE = 90 FE = CE,/ DE = DE , Rt DFE 也 Rt DCE ( HL ), DF = DC，/ FED = / DEC ,/ FED = / ADE , AE= AD , BE= BC - EC = AE - EC,在Rt ABE中，設(shè) AE為X,由勾股定理可得： AB2+BE2 = AE2,即 32+ (X- 1) 2= X2,解得：X = 5,所以AE = 5, AF =

9、AE - EF = 5 - 1 = 4,【點評】 本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì).EF的長為（)DCB . 52. （ 2020?寧波模擬）如圖，在矩形 ABCD中，E, F分別是 AB, BC的中點，BD = 12,則C. 4【分析】AC= BD = 12,AC,連接AC,由矩形的性質(zhì)可得 AC = BD = 12,由三角形中位線定理可求 EF的解. E, F分別是AB, BC的中點, EF = AC= 6,故選：A.【點評】 本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵.3. （ 2020?蜀山區(qū)一模）如圖，在矩

10、形 ABCD中放置了一個直角三角形 EFG，/ EFG被AD平分，若/ CEF = 35，則/ EHF的度數(shù)為（DCB . 125C. 130D. 135【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到 AD / BC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到/ AFE =/ CEF = 35根據(jù)角平分線的定義得到/ GFH =/ CEF = 35,根據(jù)平角的定義即可得到結(jié)論.【解答】解：四邊形 ABCD是矩形, AD / BC,/ AFE = / CEF = 35,EFG被AD平分,GFH = / CEF = 35G= 90,GHF = 90- 35= 55EHF = 180 - 55 = 125故選：B.【點評】本題考查了矩形的性

11、質(zhì)，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和,正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵.【隨堂練習(xí)】1. （ 2020春？秦淮區(qū)期中）如圖，在矩形 ABCD中，AB= 4cm, AD = 12cm，點P在AD邊上以每秒1cm的速度從點A向點D運(yùn)動，點Q在BC邊上，以每秒4cm的速度從點C出發(fā)，在CB間往返運(yùn)動，兩個點同時出發(fā)，當(dāng)點P到達(dá)點D時停止（同時點Q也停止），在這段時間內(nèi)，線段 PQ平行于AB的次數(shù)是（)Q-JC. 4【解答】 解：當(dāng)AP = BQ時，AP/ BQ.四邊形ABQP為平行四邊形, QP/ AB.點P運(yùn)動的時間=12十1= 12秒,點Q運(yùn)動的路程=4X 12= 48cm.點Q可在BC間

12、往返4次.在這段時間內(nèi) PQ與AB有4次平行.故選：C.2. （2020?紅花崗區(qū)一模）矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點0 , AE丄BD于E,若0E :ED = 1 : 3 . AE = ，貝U BD =(.4/3【解答】解：四邊形 ABCD是矩形,0A= 0B = OD ,/ OE: ED = 1: 3, OE: 0D= 1 : 2, 0E = * 0B, AE丄 BD , AE垂直平分0B, AB= 0A,:. ABO是等邊三角形,AE=V,3OE =AE= 1, OB= 2OE = 2, BD = 2OB = 4;3. （2020春？云夢縣期中）如圖，矩形ABCD中，O為AC中點

13、，過點O的直線分別與 AB,CD 交于點 E, F，連結(jié) BF，交 AC 于點 M，連結(jié) DE , BO.若/ BOC = 60, FO = FC ,則下列結(jié)論: AE = CF; BF垂直平分線段 OC; EOB CMB ;其中正確結(jié)論的個數(shù)是（A . 1個 四邊形是BFDE菱形.C. 3個【解答】解：四邊形ABCD是矩形, CD / AB,/ FCO = / EAO,/ O是AC的中點, - OA= OC,在 FOC和 EOA中,ZKC0=ZEA0ZK0C=ZE0A FOCN EOA (ASA), AE= CF;故正確;矩形ABCD中，0為AC中點, 0B= 0C,/ C0B= 60 OB

14、C是等邊三角形, 0B= BC, F0 = FC, FB垂直平分線段 0C,故正確;由知：BF丄0C,/ BM0 = 90, E0B與 CMB不全等;故錯誤;/ 0BC = 60/ AB0= 30/ 0F = FC, BF = BF, 0B = BC,/ 0BM = / CBM = 30/ AB0=/ 0BF,由知 A0E C0F , 0E= 0F, 0B丄 EF,四邊形EBFD是菱形,故正確;3正方形一、正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.二、正方形的性質(zhì)正方形的四條邊都相等，四個角都是直角;正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角;

15、 正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì).同時，正方形又是軸對稱圖形, 兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形, 有四條對稱軸.三、正方形的判定方法: 先判定四邊形是矩形，再判定這個矩形有一組鄰邊相等;先判定四邊形是菱形，再判定這個菱形有一個角為直角.還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用1或2進(jìn)行判定.【例題精選】1. （2020春？江陰市期中）如圖，正方形ABCD和？AEFC,點B在EF邊上，若正方形 ABCD和? AEFC的面積分別是Si、S2的大小關(guān)系是（Si、S?的大小關(guān)系.C. Si 2,較短的那條對角線長為2,3. （ 2020春?西城區(qū)校級期中）在四邊形 AB

16、CD中，對角線AC, BD互相平分，若添加一個條件使得四邊形ABCD是菱形，則這個條件可以是（A . / ABC = 90B . AB = BCC. AB = CDD . AB / CD【解答】解：在四邊形 ABCD中，對角線AC, BD互相平分,四邊形ABCD是平行四邊形,當(dāng)/ ABC= 90時，平行四邊形 ABCD是矩形.當(dāng)AB = BC時,平行四邊形ABCD是菱形.當(dāng)AB = CD時,平行四邊形ABCD還是平行四邊形.當(dāng) AB / CD 時,平行四邊形ABCD還是平行四邊形.故選：B.4. （ 2020?靜安區(qū)二模）如圖,?ABCD的對角線AC、BD相交于點O,那么下列條件中,能判斷？A

17、BCD是菱形的為（）A . AO= COB . AO= BOC.Z AOB = / BOCD . / BAD = / ABC【解答】解：選項A，由平行四邊形的性質(zhì)可知，對角線互相平分，故A不符合題意;選項B，由？ABCD中AO = BO可推得AC = BD，可以證明?ABCD為矩形，但不能判定?ABCD為菱形，故B不符合題意;選項 C,當(dāng)/ AOB = / BOC 時，由于/ AOB+ / BOC= 180,故/ AOB = / BOC = 90,而對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故C符合題意;選項D,由平行四邊形的性質(zhì)可知，/BAD + / ABC = 180，故當(dāng)/ BAD = / AB

18、C 時,/ BAD = / ABC = 90,從而可判定？ABCD為矩形，故 D不符合題意.綜上，只有選項 C可以判定？ABCD是菱形.故選：C.5. （ 2020春？云夢縣期中）菱形的周長為52cm，它的一條對角線長為 10cm，則此菱形的面積為（）2A . 120cm22B . 130cm2C . 210cm2D. 260cm【解答】解：如圖所示:菱形ABCD的周長為52cm,AB= 13cm,AC= 5cm, OB = !BD,四邊形ABCD是菱形,AB= BC = CD = DA, AC丄 BD , OA =在Rt AOB中，根據(jù)勾股定理得： OB =寸應(yīng)哄-0八=1護(hù)-5?= 12（cm）,BD = 2OB = 24cm,菱形 ABCD 的面積=10X 24= 120 (cm2)6. （ 2020?寧波模擬）矩形 ABCD中，AB = 6, BC