高階微商與高階微分

1、§4 高階微商與高階微分 1高階微商物體運動規(guī)律瞬時速度 瞬時加速度 ，或 由此產(chǎn)生了高階導數(shù)的概念一般地，設(shè)在可導，則仍是上的函數(shù)若也在可導，則稱的微商為的二階微商(二階導數(shù))，記為或或類似地可定義的微商為的三階微商(三階導數(shù))，記為 或或定義的微商為的階微商(階導數(shù))，記為 或下面給出幾個常用的階導公式設(shè) (是正整數(shù))， 若，則 若，則 例1 例2 設(shè)，求解 ，。研究規(guī)律，得 ， ， 由此我們不難歸納出 對于，則 例3 設(shè)，求解 ；方程兩邊再對求導并注意是的函數(shù)，得 2()； ；若，則 由數(shù)學歸納法得 例4 高階微商的運算法則：若都是的函數(shù)1、 2、若，則 ，1，2 （萊布尼茲公

2、式） 這里，函數(shù)的零階導數(shù)理解為函數(shù)本身下面用數(shù)學歸納法證明事實上，時就是導數(shù)的乘積公式，設(shè)公式對成立，則 （令） 其中用等式 ， 由數(shù)學歸納法知公式對一切正整數(shù)成立。例4 設(shè)，求。解 由上面的規(guī)律易見，若 ，其中是正整數(shù)，則若，則 若，則 例6 設(shè)，求解 ， 故 注意，對用萊布尼茲公式當然可以，但顯然是自找麻煩2高階微分 函數(shù)的一階微分是 其中和是兩個獨立的變量，現(xiàn)在把一階微分視為的函數(shù)，如果它是可微的，則再求一次微分得 .上式稱為函數(shù)的二階微分，記為。把記為，即有 注意： 是自變量微分的平方，是函數(shù)的微分， 應(yīng)理解為的二階微分 類似地，可以定義的三階微分 一般地， 的階微分為 ，于是 這正是階導數(shù)符號的由來。應(yīng)搞清楚、和的差別階微分的運算法則設(shè)都是的函數(shù)，則 ， 一階微分具有形式不變性，即不論是對中間變量，還是對自變量，都有 ， 高階微分是否也具有形式不變性呢?當是自變量時， ，當是自變量時， 是否仍成立？請看下例：設(shè)，當是自變量時有 又若，則復合函數(shù)為，故 但 可見當是中間變量時，不再成立，它少了一項所以高階微分不再具有形式不變性 般地若，由一階微分形式不變性有 由于這時是中間變量，故和不再獨立，它們都是自變量的函數(shù)，在求二階微分時應(yīng)該用乘積的微分法則，即 與是自變量情形比較，它多了第二項，這就說明了高階微分不具有形式