第八章 曲線積分與曲面積分

1、第八章曲線積分與曲面積分本章是把定積分概念推廣到定義在曲線是的函數(shù)和定義曲面上的函數(shù)上去，就得到曲線積分和曲面積分。§1對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分問(wèn)題：設(shè)有一曲線形構(gòu)件占面上的一段曲線，設(shè)構(gòu)件的質(zhì)量分布函數(shù)為，設(shè)定義在上且在上連續(xù)，求構(gòu)件的質(zhì)量。定義：設(shè)為平面上的一條光滑的簡(jiǎn)單曲線弧，在上有界，在上任意插入一點(diǎn)列，把分成個(gè)小弧段的長(zhǎng)度為，又是上的任一點(diǎn)，作乘積，并求和，記，若存在，且極限值與的分法及在的取法無(wú)關(guān)，則稱極限值為在上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分，記為：，即。其中叫做被積函數(shù)，叫做積分曲線。對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的存在性：設(shè)在光滑曲線上連續(xù)，則一定存在。對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的性質(zhì)：1、2、3、設(shè)，則這里規(guī)定：

2、若是封閉曲線，則曲線積分記為有上述對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分，則上面的問(wèn)題就可以用對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分表示為對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法：在一定體積下化為定積分計(jì)算，首先要注意：1、定義在曲線上，2、是弧長(zhǎng)微分。定理：設(shè)在光滑曲線上連續(xù)，由參數(shù)方程給出，其中、在上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)且，則存在，且：。若方程為：，則。若方程為：，則例1、計(jì)算，其中：例2、計(jì)算，其中：從到的弧。例3、計(jì)算，其中：例4、計(jì)算，其中是以，為頂點(diǎn)的三角形的邊界。對(duì)空間曲線有著類似的定義和計(jì)算公式。若的方程由參數(shù)方程給出：則例5、計(jì)算，其中：例6、設(shè)：與的交線。求。例7、螺旋線方程為，在其上分布有密度為的質(zhì)量，求其對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。§2對(duì)

3、面積的曲面積分一、對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)問(wèn)題：設(shè)有一構(gòu)件占空間曲面，其質(zhì)量分布密度函數(shù)為，求構(gòu)件的質(zhì)量。處理問(wèn)題的思想方法類似于分布在平面區(qū)域的質(zhì)量問(wèn)題。定義：設(shè)為光滑曲面，函數(shù)在上有界，把任意地分成個(gè)小曲面，在每個(gè)小曲面上任取一點(diǎn)作乘積，并求和，記的直徑，若存在，且極限值與的分法及在上的取法無(wú)關(guān)，則稱極限值為在上對(duì)面積的曲面積分，記為：，即。其中叫做被積函數(shù)，叫做積分曲面，稱為面積元素。對(duì)面積的曲面積分的存在性：若為光滑曲面，在上連續(xù)，則一定存在。有了這個(gè)定義，分布在上的質(zhì)量為：當(dāng)時(shí)，的面積。當(dāng)為平面上的區(qū)域時(shí)，即是上的二重積分，性質(zhì)：對(duì)面積的曲面積分是二重積分的推廣，所以二重積分的性

4、質(zhì)都可推廣到對(duì)面積的曲面積分上去。特別是，則二、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法：在討論的計(jì)算法之前，注意到：1、是光滑或分片光滑，在上連續(xù)。2、是定義在上，即點(diǎn)應(yīng)在上變動(dòng)，應(yīng)滿足的方程。3、是曲面上的面積元素。設(shè)的方程為，在平面上的投影區(qū)域是有界閉區(qū)域，在上具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，于是，上的點(diǎn)為則存在，且：。即若的方程為，計(jì)算時(shí)，只要把換為，用的方程為代入，在的投影區(qū)域上計(jì)算二重積分。例1、計(jì)算，為平面位于第一卦限部分。例2、計(jì)算，為立體的邊界曲面。若光滑曲面的方程為(或)，在(或)平面上的投影區(qū)域?yàn)?或)這時(shí)對(duì)面積的曲面積分可化為：或。例3、計(jì)算，其中為界于與之間。例4、設(shè)一質(zhì)量沿曲面分布，其密度函數(shù)為

5、，試用對(duì)面積的曲面積分表示：1)總質(zhì)量，2)靜力矩，3)重心坐標(biāo)，4)關(guān)于坐標(biāo)軸、坐標(biāo)面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。§3對(duì)坐標(biāo)的曲線積分一、概念與性質(zhì)變力沿曲線作功問(wèn)題：設(shè)一質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)受到變力作用從A點(diǎn)沿光滑曲線移動(dòng)到B點(diǎn)，求變力所作的功。定義：設(shè)是平面上的一條光滑有向曲線弧，、在上有界，用上的點(diǎn)，把分成個(gè)小有向弧段，設(shè)，又是上的任一點(diǎn)，作乘積，并求和，記，若存在，且極限值與的分法及在的取法無(wú)關(guān)，則稱極限值為在上對(duì)坐標(biāo)的曲線積分，記為：，即。同理定義為在上對(duì)坐標(biāo)的曲線積分。、稱為被積函數(shù)，叫做積分曲線。上述定義可推廣到空間曲線的情形：，。應(yīng)用中常遇到，這時(shí)簡(jiǎn)記為對(duì)坐標(biāo)曲線積分的存在性：設(shè)有向曲線光

6、滑，、在上連續(xù)，則、一定存在。對(duì)坐標(biāo)曲線積分的性質(zhì)：二、對(duì)坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算法：定理：設(shè)、在光滑的有向曲線弧上有定義且連續(xù)，的參數(shù)方程為：。當(dāng)參數(shù)從單調(diào)變到時(shí)，動(dòng)點(diǎn)從的起點(diǎn)沿運(yùn)動(dòng)到的終點(diǎn)，、在為端點(diǎn)的區(qū)間上連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，則一定存在，且：注意：1、定義在上，同對(duì)弧長(zhǎng)的線積分類似，要用曲線方程代入。2、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分與曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)，故積分只能從起點(diǎn)的參數(shù)到終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)積分，不論參數(shù)的大小如何。3、若曲線弧的方程由或給出，只要把之看為參數(shù)方程就可以計(jì)算。例1、計(jì)算，其中為：1)沿曲線從到的一段弧。2)沿從經(jīng)到的折線段。例2、計(jì)算，其中為：從沿曲線到。例3、計(jì)算，其中為：1)拋物

7、線從到的一段弧。2)拋物線從到的一段弧。3)沿從經(jīng)到的折線段。對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法可直接推廣到空間曲線的情形.例4、計(jì)算，為：，t從0變到1的一段弧。例5、計(jì)算，為：()，的交線。解：，三、兩類積分之間的聯(lián)系設(shè)參數(shù)方程，起點(diǎn)和終點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為和，、在為端點(diǎn)的區(qū)間上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)且，且、在上連續(xù)，則：又有向曲線的切向量的方向余弦為：，于是從而有例1、把化為對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分，其中為沿拋物線從到的一段弧。解：，起點(diǎn)為，終點(diǎn)為，原式。§4格林公式一、格林公式1、 單連通區(qū)域：設(shè)為平面區(qū)域，若內(nèi)任一條閉曲線所圍的區(qū)域都屬于，則稱為單連通區(qū)域，否則為復(fù)連通區(qū)域。2、 區(qū)域邊界正向：設(shè)區(qū)域

8、的邊界曲線為，規(guī)定的正向?yàn)椋寒?dāng)人行走時(shí)，區(qū)域靠近邊界部分在其左側(cè)，則該方向?yàn)榈倪吔缜€的正向。3、 設(shè)閉區(qū)域由分段光滑的曲線圍成，函數(shù)、在上具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則：其中為邊界的正向。例1、計(jì)算，其中是以，為頂點(diǎn)的三角形的邊界正向。例2、計(jì)算，其中為不過(guò)原點(diǎn)的任一光滑的閉曲線的正向。例3、計(jì)算，為上半圓周從到。例4、計(jì)算，為以，為頂點(diǎn)的三角形。利用曲線積分可求閉曲線所圍區(qū)域的面積。例5、求由及所圍圖形的面積(第一象限部分)。二、平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件1、 曲線積分與路徑無(wú)關(guān)設(shè)為開(kāi)的單連通域，、在內(nèi)具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，、是內(nèi)的任意兩點(diǎn)， 、是內(nèi)從到的任兩條有向曲線，若恒有：則稱曲線積分在內(nèi)與

9、路徑無(wú)關(guān)。結(jié)論：曲線積分在內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)在內(nèi)沿任一條閉曲線積分為0。設(shè)為開(kāi)的單連通域，、在內(nèi)具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則沿內(nèi)任一條閉曲線積分為0的充要條件是例1、計(jì)算，其中為過(guò)，的圓弧。例2、計(jì)算，其中為沿從到。三、二元函數(shù)的全微分求積對(duì)式子：，若存在某個(gè)函數(shù)使即，則稱是某個(gè)函數(shù)的全微分。、要滿足什么條件時(shí)才是某個(gè)函數(shù)的全微分？定理：設(shè)為開(kāi)的單連通域，、在內(nèi)具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則在內(nèi)為某個(gè)函數(shù)的全微分的充要條件是在內(nèi)恒成立。由定理知：在內(nèi)為某個(gè)函數(shù)的全微分，與路徑無(wú)關(guān)，當(dāng)起點(diǎn)固定，是終點(diǎn)的函數(shù)，記為這時(shí)也稱是的一個(gè)原函數(shù)。求原函數(shù)的一個(gè)方法：例1、驗(yàn)證在平面上是某個(gè)函數(shù)的全微分并求其一個(gè)原函數(shù)。例

10、2、計(jì)算為開(kāi)的單連通域，、在內(nèi)具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則下列四個(gè)命題等價(jià)：1、在內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)。2、沿內(nèi)任一條閉曲線。3、在內(nèi)為某個(gè)函數(shù)的全微分。4、在內(nèi)恒成立。§5對(duì)坐標(biāo)的曲面積分一、概念與性質(zhì)1、 雙側(cè)曲面，有向曲面能區(qū)分出曲面的側(cè)的曲面叫做雙側(cè)曲面，通常遇到的曲面都是雙側(cè)曲面，例如由方程表示的曲面有上下側(cè)之分，由方程表示的曲面有前后側(cè)之分，由方程表示的曲面有左右側(cè)之分，封閉曲面有內(nèi)外側(cè)之分。一般地：在上任取一點(diǎn)，當(dāng)該點(diǎn)在上連續(xù)運(yùn)動(dòng)不經(jīng)過(guò)邊界而回到原來(lái)位置，其法向量也回到原來(lái)位置，這個(gè)曲面就叫雙側(cè)曲面。對(duì)坐標(biāo)的曲面積分需要對(duì)曲面規(guī)定方向，也叫做指定曲面的側(cè)，而指定曲面的側(cè)通常是規(guī)定曲

11、面上法向量的指向。如：所表示的曲面，如果取它的法向量指向朝上，即與軸正向夾角，這時(shí)就認(rèn)定曲面取上側(cè)，若的指向朝下，就認(rèn)定曲面取下側(cè)。這種規(guī)定了曲面上法向量指向，即選定曲面的側(cè)的曲面叫做有向曲面。2、 有向曲面的投影設(shè)為有向曲面，在上取一小塊有向曲面，把投影到平面得到一平面區(qū)域，其面積為，假定上各點(diǎn)處的法向量與軸正向夾角的余弦保持確定的符號(hào)，即都為正或都為負(fù)，則規(guī)定在平面上的投影為：在面上的投影實(shí)質(zhì)上就是在面上的投影區(qū)域的面積再附上一定的符號(hào)。類似可定義在、面上的投影。3、 設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)不可壓縮流體的速度場(chǎng)由表示，為場(chǎng)中的一塊有向曲面，函數(shù)都是是的連續(xù)函數(shù)，求單位時(shí)間內(nèi)流向指定一側(cè)的流量。因區(qū)域不

12、是平面區(qū)域而是曲面，流速不是常量，所以不能用初等方法，但是，上面引出各類積分概念一再使用過(guò)的方法可用來(lái)解決目前的問(wèn)題；分割：任取上的一小塊有向曲面，近似代替：，求和：，取極限4、對(duì)坐標(biāo)曲面積分的定義設(shè)為光滑的有向曲面，函數(shù)在上有界，把任意地分成個(gè)小曲面，在平面的投影為，在每個(gè)小曲面上任取一點(diǎn)作乘積，并求和，記的直徑，若存在，且極限值與的分法及在上的取法無(wú)關(guān)，則稱極限值為在上對(duì)坐標(biāo)的曲面積分，記為，即。其中稱為被積函數(shù)，稱為積分曲面。同理可定義。應(yīng)用上出現(xiàn)較多的是：的情形一般上式簡(jiǎn)記為若是封閉曲面，則在上對(duì)坐標(biāo)的曲面積分記為：對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的存在性：若光滑，函數(shù)、在上連續(xù)，則、在上對(duì)坐標(biāo)的曲面

13、積分都存在。5、 性質(zhì)：與對(duì)坐標(biāo)的曲線積分類似。1)若,則2)設(shè)的反側(cè)曲面記為，則：其他幾個(gè)積分類似。上述的性質(zhì)說(shuō)明：對(duì)坐標(biāo)的曲面積分不僅與被積函數(shù)有關(guān)，與積分曲面有關(guān)，還與曲面的方向有關(guān)。二、對(duì)坐標(biāo)曲面積分的計(jì)算：首先注意：1)被積函數(shù)定義在上，點(diǎn)在上變動(dòng)，要滿足的方程。2)是有向小曲面在面上的投影的象征，同理，是有向小曲面在坐標(biāo)面的投影元素，由正負(fù)之分。設(shè)：取上側(cè)，在面上的投影區(qū)域?yàn)樯?，在上有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，在上連續(xù)，則：若取下側(cè)，則同理：設(shè)：，在面上的投影區(qū)域?yàn)?，則：其中取前側(cè)取+，取后側(cè)取。設(shè)：，在面上的投影區(qū)域?yàn)?，則：其中取右側(cè)取+，取左側(cè)取。例1、計(jì)算，其中為球面，的外側(cè)。原式例2、

14、計(jì)算，其中是，及三坐標(biāo)面圍成的第一卦限立體曲面的外側(cè)。三、兩類曲面積分之間的聯(lián)系設(shè)的方程為，在平面上的投影區(qū)域?yàn)椋谏线B續(xù)，在上連續(xù)，則有：由于取上側(cè)，與軸正向夾角：，若取下側(cè)，則有：，而此時(shí)， 所以有：同理：從而得兩類曲面積分之間的聯(lián)系：其中：，是上任一點(diǎn)的法向量。例3、計(jì)算，為：在平面上方部分的上側(cè)。解：的方向余弦為：，原式。§6高斯公式、通量散度一、高斯公式格林公式揭示了平面區(qū)域上的二重積分與區(qū)域邊界正向曲線上對(duì)坐標(biāo)的曲線積分之間的關(guān)系，在空間區(qū)域上的三重積分與邊界上 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分之間有類似的關(guān)系。定理：設(shè)空間閉區(qū)域是由分片光滑的閉曲面圍成，函數(shù)、在上具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，

15、則有：其中為的邊界曲面的外側(cè)。例1、 計(jì)算，其中是，及三坐標(biāo)面圍成的第一卦限立體曲面的外側(cè)。例2、計(jì)算，其中為的內(nèi)側(cè)。例3、計(jì)算，其中為繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面的外側(cè)。例4、計(jì)算，其中為：，圍成的區(qū)域邊界的外側(cè)。應(yīng)用高斯公式計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲面積分有三點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：1、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分化為三重積分時(shí)，曲面取外側(cè)，省去直接計(jì)算時(shí)化為二重積分時(shí)確定符號(hào)的麻煩。2、一般比、簡(jiǎn)單，故積分也簡(jiǎn)單。3、三重積分計(jì)算方法比較靈活，可采用不同的坐標(biāo)系計(jì)算積分。應(yīng)用高斯公式計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲面積分有注意：1、是閉曲面。若不是閉曲面，可采用補(bǔ)上若干塊曲面后使之成為閉曲面，補(bǔ)上的曲面要與原曲面構(gòu)成外側(cè)或內(nèi)側(cè)。2、也可用高斯公式。二

16、、沿任意閉曲面積分為零的條件定理：設(shè)是空間二維單連通區(qū)域，、在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則曲面積分：在內(nèi)沿任一閉曲面的曲面積分為零或在內(nèi)與所取曲面無(wú)關(guān)而只取決于的邊界曲線的充要條件是：在內(nèi)恒成立。例5、計(jì)算，其中為曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面的外側(cè)。三、通量與散度高斯公式的物理意義：設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)不可壓縮的流體的速度場(chǎng)由確定，場(chǎng)中的有向光滑曲面上點(diǎn)的單位法向量，則在單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)指定一側(cè)的流體的總質(zhì)量（流量）為： 若是閉域的邊界的外側(cè)，則：公式左邊是流體在單位時(shí)間內(nèi)離開(kāi)區(qū)域的流體的總質(zhì)量，由于假定流體是不可壓縮三，因此在流體離開(kāi)的同時(shí)，內(nèi)部必須有產(chǎn)生流體的源頭產(chǎn)生同樣多流體補(bǔ)充，所以高斯公式的右端不是分

17、布在內(nèi)的源頭在單位時(shí)間內(nèi)所產(chǎn)生流體的總質(zhì)量。高斯公式兩邊同除以的體積左邊利用中值定理，令縮向一點(diǎn)，取極限得：左邊的表達(dá)式叫做在的散度，記為，即有散度高斯公式可改寫為：例、，求§7斯托克斯公式、環(huán)流與旋度一、Stokes公式：定理：設(shè)為分段光滑的空間有向閉曲線，是以為邊界曲線的分片光滑的有向曲面，的正向與的側(cè)符合右手法則，函數(shù)P、Q、R在包含在內(nèi)的一個(gè)空間區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有若是xOy面上 得到有向閉曲線，則上式就是格林公式。例1、計(jì)算，其中為，的交線從x軸正向看去為逆時(shí)針?lè)较?。?、計(jì)算，其中：()從x軸正向看去為逆時(shí)針?lè)较?。三、環(huán)流與旋度設(shè)，分別是曲面上的單位法向量及曲面

18、的邊界曲線上的單位切向量，則Stokes公式可化為：設(shè)，則上式可改寫為：上式表示與有關(guān)系：設(shè)，若存在向量使之在坐標(biāo)軸的投影分別為：，則稱為的旋度，記為即有了旋度，Stokes公式可改寫為：其中叫做向量場(chǎng)沿的環(huán)流。旋度的計(jì)算公式：例2、 設(shè)，求。曲線積分與曲面積分補(bǔ)充例題1、 計(jì)算，其中：，圍成的第一象限區(qū)域的邊界。 ()2、，是擺線: ,的一拱。，。3、，為與的交線。交線，4、，是雙紐線：一周。由對(duì)稱性，只要計(jì)算第一象限的積分。，5、計(jì)算，為半球面：。由對(duì)稱性知：，：，。6、計(jì)算，為被所割下的部分。在面的投影為：，。對(duì)坐標(biāo)的曲線積分1、，其中是擺線: ,按順時(shí)針?lè)较颉＝猓骸?、計(jì)算，為與，的交線沿正向。：，起點(diǎn)，終點(diǎn)，原式。3、計(jì)算，是從到的直線段。解：積分曲線，于是在上原式。4、，為，圍成區(qū)域邊