四川省樂山市2021年高考數(shù)學一模試卷(理科)(解析版)

1、省市2021年高考數(shù)學一模試卷理科一、選擇題：本大題共12個小題，每題5分，共60分.在每題給出的四個 選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的1 a, b R,其中i為虛數(shù)單位，那么a+b=A. 0 B. 1C. - 1 D. 22集合 A=x| x2+3x0，x，y滿足約束條件，z=x+2y的最小值為-2，那么a=A. B. C. 1D . 28 .?丘建算經(jīng)?中女子織布問題為：某女子善于織布，一天比一天織得快，且從 第2天開始，每天比前一天多織相同量的布，第一天織5尺布，一月按30天計)共織390尺布，那么從第2天起每天比前一天多織()尺布.A. B. C. D.9函數(shù)的圖象與x軸交點的橫

2、坐標構(gòu)成一個公差為的等差數(shù)列，要得到函數(shù)g(X) =ACOS3X的圖象，只需將f (x)的圖象()A.向左平移個單位B.向右平移個單位C.向左平移個單位D.向右平移個單位10. 函數(shù)f (x)=，那么y=f (x)的圖象大致為()A. B. C. D.11. 如下圖，用一邊長為的正方形硬紙，按各邊中點垂直折起四個小三角形，做成一個蛋巢，將體積為的雞蛋(視為球體)放入其中，蛋巢形狀保持不變，那么 雞蛋(球體)離蛋巢底面的最短距離為()A. B. C. D.12 .函數(shù)f (x)=，假設(shè)存在實數(shù)xi，x2，x3，X4，當X1V x20)對于區(qū)間1，3的任意兩個相異實數(shù)X1，X2,恒 有成立，那么實

3、數(shù)a的取值圍是.三、解答題(本大題共5小題，共70分.解容許寫出文字說明、證明過程或演算 步驟.)17. 2sin a ?tan a =且 0 a loga ( 1 - a)對任意的正整數(shù)恒成 立，數(shù)a的取值圍.21. f(x) =2ln(x+2)-( x+1) 2， g(x) =k(x+1).(I )求f (x)的單調(diào)區(qū)間；(U)當k=2時，求證：對于？ x- 1，f (x)v g (x)恒成立；(川)假設(shè)存在X0- 1，使得當x (- 1，X0)時，恒有f (x) g (x)成立， 試求 k 的取值圍.請考生在 22、23兩題中任選一題作答，如果多做，那么按所做的第一題記分.22. 直線I

4、的參數(shù)方程是(t是參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為 極軸建立極坐標系.曲線 C的極坐標方程為p =4co(弘).(1) 判斷直線I與曲線C的位置關(guān)系；(2) 過直線I上的點作曲線C的切線，求切線長的最小值.23函數(shù) f(x) =|2x-1|- |x+2|( 1 )求不等式 f ( x) 0 的解集；(2)假設(shè)存在xo R,使得f (xo) +2a2v4a,數(shù)a的取值圍.2021 年省市高考數(shù)學一模試卷(理科)參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共 12 個小題，每題 5 分，共 60 分.在每題給出的四個 選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的 .1 (a, b R),其中i為虛數(shù)單位

5、，那么a+b=()A. 0 B. 1 C. - 1 D. 2【考點】 復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算【分析】直接由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡, 再由復數(shù)相等的充要條件列出方 程組,求解即可得 a, b 的值,那么答案可求【解答】解：=,解得，那么 a+b=1應選： B2.集合 A=x| x2+3xb2,故B不正確.可得-ab= 2, a2=- 4 ,二-ab a2,故 C不正確.應選D.5. 一算法的程序框圖如下圖，假設(shè)輸出的，那么輸入的x可能為A. - 1 B. 1C. 1 或 5 D.- 1 或 1【考點】 選擇結(jié)構(gòu)；程序框圖【分析】 根據(jù)流程圖所示的順序，逐框分析程序中各變量、各語句的作用可知：

6、 該程序的作用是求分段函數(shù)的函數(shù)值利用輸出的值，求出輸入的x 的值即可【解答】 解：這是一個用條件分支結(jié)構(gòu)設(shè)計的算法，該程序框圖所表示的算法的作用是求分段函數(shù) y=的函數(shù)值，輸出的結(jié)果為，當xw2時，sin=，解得x=1+12k,或x=5+12k, k Z,即x=1,-7，- 11，當x2時，2x=，解得x=- 1 不合，舍去，那么輸入的x可能為1.應選 B6. 向量，向量，那么 ABC的形狀為A.等腰直角三角形B.等邊三角形C.直角非等腰三角形D.等腰非直角三角形【考點】 平面向量的坐標運算【分析】 由向量的坐標求得的坐標，可得，結(jié)合得答案【解答】解：，二=3， 1，又 ABC的形狀為等腰直

7、角三角形.應選 A7 a0， x， y 滿足約束條件， z=x+2y 的最小值為- 2，那么 a=A B C1D2【考點】 簡單線性規(guī)劃【分析】由約束條件作出可行域， 數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解， 聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解 的坐標，代入 ax- y- 2a=0 得答案【解答】解：由約束條件，作出可行域如圖，聯(lián)立，解得A (1 , -) , z=x+2y的最小值為-2, 由圖形可知A是目標函數(shù)的最優(yōu)解，A在ax - y- 2a=0上, 可得：a+- 2a=0解得a=.應選：B.V- /5JisL.2k/ -5 -4 -31 1-2/-4巧8?丘建算經(jīng)?中女子織布問題為：某女子善于織布，一天比一天織得快，且從

8、第2天開始，每天比前一天多織相同量的布，第一天織5尺布，一月(按30天計)共織390尺布，那么從第2天起每天比前一天多織()尺布.A. B. C. D.【考點】數(shù)列的應用.【分析】利用等差數(shù)列的求和公式即可得出.【解答】解：設(shè)此等差數(shù)列an的公差為d，那么 30x 5+d=390,解得d=,應選：D.9. 函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標構(gòu)成一個公差為的等差數(shù)列，要得到函數(shù)g(x) =ACOS3X的圖象，只需將f (x)的圖象()A.向左平移個單位B.向右平移個單位C.向左平移個單位D.向右平移個單位【考點】函數(shù)y=Asin(的圖象變換.【分析】函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標構(gòu)成一個公差為的等差數(shù)列

9、，可知周期T=，可得的值，根據(jù)三角函數(shù)的平移變換規(guī)律可得結(jié)論.【解答】 解：由題意，函數(shù)的圖象與 x 軸交點的橫坐標構(gòu)成一個公差為的等差數(shù) 列，可知周期 T=，那么：3 =那么 f( x)=Asin( 3x+)=Asin3( x+)要得到 g( x) =Acos3x，即 Acos3x=Asin( 3x+) =Asin3( x+)由題意：可得：f (X)向左平移可得g (X)應選 A10. 函數(shù)f (x)=，那么y=f (x)的圖象大致為()A. B. C. D.【考點】 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)的圖象.【分析】利用函數(shù)的定義域與函數(shù)的值域排除 B, D,通過函數(shù)的單調(diào)性排除C, 推出結(jié)果

10、即可.【解答】解：令g (x) =x- lnx-1，那么，由g (x)0,得x 1，即函數(shù)g (乂)在(1，+x)上單調(diào)遞增，由g (x)v 0得0vxv 1，即函數(shù)g (乂)在(0，1)上單調(diào)遞減，所以當x=1時，函數(shù)g (x)有最小值，g (x) min=g (0) =0，于是對任意的x( 0，1)U( 1, +x),有g(shù) (x) 0,故排除B、D，因函數(shù)g (幻在(0, 1)上單調(diào)遞減，那么函數(shù)f (刈在(0, 1)上遞增，故排 除 C，應選 A.11. 如下圖，用一邊長為的正方形硬紙，按各邊中點垂直折起四個小三角形，做成一個蛋巢，將體積為的雞蛋(視為球體)放入其中，蛋巢形狀保持不變，那

11、么 雞蛋(球體)離蛋巢底面的最短距離為()A B C D【考點】 球的體積和外表積【分析】由條件利用球的截面的性質(zhì)求得球心到截面圓的距離， 再求出垂直折起 的 4 個小直角三角形的高，再與球的半徑相加即得答案【解答】 解：由題意可得，蛋巢的底面是邊長為 1 的正方形，故經(jīng)過 4 個頂點截雞蛋所得的截面圓的直徑為 1，由于雞蛋的體積為n故雞蛋(球)的半徑為1,故球心到截面圓的距離為 =，而垂直折起的 4 個小直角三角形的高為，故雞蛋最低點與蛋巢底面的距離為，應選： D12 .函數(shù)f (X)二，假設(shè)存在實數(shù)X1 , X2 , X3, X4,當X1 V X2 X3V X4時滿足f(X1)=f (X2

12、)=f (X3)=f ( X4),那么 X1?X2?X3?X4 的取值圍是()A.(7，)B.(21，) C. 27，30)D.(27，)【考點】 函數(shù)的值.【分析】 畫出分段函數(shù)的圖象，求得( 3，1 )( 9，1 )，令 f( Xl) =f( X2) =f( X3) =f (X4)=a,作出直線y=a,通過圖象觀察，可得 a的圍，運用對數(shù)的運算性質(zhì) 和余弦函數(shù)的對稱性，可得 X1X2=1, X3+X4=12,再由二次函數(shù)在(3, 4.5)遞增， 即可得到所求圍.【解答】解：畫出函數(shù)f (x)的圖象，令 f( Xl) =f( X2) =f( X3) =f( X4) =a，作出直線 y=a，由

13、 x=3時，f (3) =- cos n =1 x=9 時，f (9) = - cos3 n =1由圖象可得，當0 a 1時，直線和曲線y=f (x)有四個交點.由圖象可得 0 X1 1 X2 3 X3 4.5， 7.5 X4 0)對于區(qū)間1,3的任意兩個相異實數(shù)xi, X2,恒 有成立，那么實數(shù)a的取值圍是(0,.【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值.【分析】問題等價于| 1+| V, (1),由xi, x2T時(1)變?yōu)閨 1+3a| v 9,由xi, 血-1時(1)變?yōu)閨1+a| v 1,得到關(guān)于a的不等式，解出即可.【解答】解：a0, f (x) =x+alnx,對區(qū)間1 , 3的任意

14、兩個相異的實數(shù)X1, x2,恒有| f (X1)- f (x2) | v | - | ,|X1 x2+a (lnx1- InX2)| v | ,兩邊都除以| X1 - X2| ,- |1+| V, (1)(InX)巳,1, , 1,X1,血時(1)變?yōu)?| 1+3a| v9,解得：-v av,X1, X21 時(1)變?yōu)?| 1+a| v 1,解得：-2v av 0,又 a 0, Ov av,故答案為( 0，)三、解答題(本大題共 5小題,共 70分.解容許寫出文字說明、證明過程或演算 步驟.)17. 2sin a ?tan a =且 Ov av n(1) 求a的值；(2) 求函數(shù)f (x)

15、=4sinxsin(x- a)在上的值域.【考點】 同角三角函數(shù)根本關(guān)系的運用；三角函數(shù)中的恒等變換應用.【分析】(1)利用同角三角函數(shù)的根本關(guān)系，求得 sin a的值，可得a的值. (2)利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式,再利用正弦函數(shù)的定義域和值域求 得函數(shù)f (x) =4sinxsin (x- a)在上的值域.【解答】解：(1) v 2sin a ?tan a,=3 Ov av n . 2sin2 a =3cos,a. 2 - 2coW a =3cos,a 2cos2a+3cosa- 2=O，解得 cos a =或 cos a 2 (舍)， a =( 2)v a= 函數(shù) f( x) =4

16、sinxsin( x-) =4sinx( sinxcos- cosxsin) =，* ? ? ?那么， f (x) - 1, 0.18. 如圖，在四棱錐 S- ABCD中，底面 ABCD是菱形，S從平面 ABCD M，N 分別為SA CD的中點.(I)證明：直線MN /平面SBC(U)證明：平面SBDL平面SAC【考點】 直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定.【分析】(I )取SB中點E,連接ME、CE,由三角形中位線定理、菱形性質(zhì)得 四邊形MECN是平行四邊形，由此能證明直線 MN /平面SBC(U)連接AC、BD,交于點O,由線面垂直得SAL BD,由菱形性質(zhì)得AC丄BD,由此能證明

17、平面SBD1平面SAC【解答】(I )證明：如圖，取SB中點E,連接ME、CE 因為M為SA的中點，所以 ME/ AB,且ME=, 因為N為菱形ABCD邊CD的中點，所以 CN/ AB, 且 CN=所以 ME/ CN， ME=CN，所以四邊形MECN是平行四邊形，所以MN / EC，又因為EC?平面SBC MN?平面SBC所以直線MN /平面SBC(U)證明：如圖，連接AC BD,交于點0，因為SA丄底面ABCD 所以SAI BD.因為四邊形ABCD是菱形，所以AC丄BD又SAG AC=A所以BD丄平面SAC又BD?平面SBD,所以平面SBDL平面SAC乙兩種y2=bx+cy 萬元,19. 某

18、企業(yè)擬用 10 萬元投資甲、乙兩種商品.各投入 x 萬元，甲、商品分別可獲得yi, y2萬元的利潤，利潤曲線，P2： y2=bx+c,如下圖(1) 求函數(shù)yi, y2的解析式；( 2)應怎樣分配投資資金，才能使投資獲得的利潤最大？【考點】 函數(shù)的最值及其幾何意義；函數(shù)解析式的求解及常用方法.【分析】(1)將(1, 1.25), (4, 2.5)代入曲線，解方程可得；由 P2：過原點，可得c=0,將(4, 1)代入，可得b,即可得到P2的方程；(2) 設(shè)甲投資x萬元，那么乙投資為(10-x)萬元，投資獲得的利潤為 那么=,令,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值求法,即可得到所求最大值.【解答】解: (1)由題

19、知(1, 1.25), (4, 2.5)在曲線P1 上,那么，解得，即又(4, 1)在曲線P2上，且c=0,那么1=4b, 那么，所以(2)設(shè)甲投資x萬元，那么乙投資為(10-x)萬元， 投資獲得的利潤為 y 萬元,那么 =,令， 那么當，即(萬元)時，利潤最大為萬元，此時 10-x=3.75 (萬元)， 答：當投資甲商品 6.25萬元，乙商品 3.75萬元時， 所獲得的利潤最大值為萬元20. 數(shù)列an的前n項和sn,點(n， sn) (n N*)在函數(shù)y=x2+x的圖象上(1) 求an的通項公式；(2) 設(shè)數(shù)列的前n項和為Tn，不等式Tn loga ( 1 - a)對任意的正整數(shù)恒成 立，數(shù)

20、a的取值圍.【考點】 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合.【分析】(1)，再寫一式，即可求an的通項公式；(2)由(1)知an=n，利用裂項法可求=(-)，從而可求得Tn一 (1 -) + (-) + (-) +(-)，由Tn+1 - Tn= 0，可判斷數(shù)列Tn單調(diào)遞增，從而可求得a 的取值圍.【解答】解：(1)V，A當-得 an=n 當， an=n；(2)由(1)知 an=n，那么=(-). Tn ( 1-) + (-) + (-) +(-)=(1+-) =-( +)Tn+1 Tn=0，數(shù)列Tn單調(diào)遞增，-( Tn) min=Tl=.要使不等式Tn loga (1 - a)對任意正整數(shù)n恒成立，只要l

21、oga (1 a)./ 1 - a0, Ov av 1. 1 - aa, 即卩 0vav.21 . f (x) =2In (x+2)-( x+1) 2, g (x) =k (x+1).(I )求f (x)的單調(diào)區(qū)間；(U)當k=2時，求證：對于？ x- 1, f (x)v g (x)恒成立；(川)假設(shè)存在xo- 1，使得當x (- 1, X0)時，恒有f (x) g (x)成立， 試求k的取值圍.【考點】禾I用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)恒成立問題.【分析】(I)求出定義域和導數(shù)f(x),令f(x) 0,解出增區(qū)間，令f(x) v 0,解出減區(qū)間；(U)令H (x) =f (x)- g (x),

22、利用導數(shù)判斷出H (x)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間， 得出H (x)的最大值，證明Hmax (x)v 0即可.【解答】解：(I) F &)二召-泮L(x-d，:tFm時 2當 f( x) 0 時，所以 x2+3x+1 v 0，解得-2v x,當f (x)v 0時，解得，所以f (x)單調(diào)增區(qū)間為，遞減區(qū)間是(，+x)；(U )當 k=2 時，g (x) =2 (x+1).令 H (x) =f (x)- g (x) =2In (x+2)-( x+1) 2- 2 (x+1).H (x)=,令 H (x) =0,即-2x2- 8x- 6=0,解得 x=- 1 或 x=- 3 (舍).當 x- 1 時，H (

23、x)v 0, H (x)在(-1, +x)上單調(diào)遞減. Hmax (x) =H (- 1 ) =0,對于？ x- 1, H (x)v 0,即 f (x)v g (x).(川)由(II)知，當k=2時，f (x)v g (x)恒成立，即對于“X 1, 2 In (x+2)-( x+1) 2 2 時，對于 “A- 1, x+1 0,此時 2(x+1) k (x+1). 2 In (x+2)-( x+1) 2 2 (x+1) k (x+1)，即f (x) g (x)恒成立，不存在滿足條件的xo；令 h(x) =f(x)- g(x) =2In(x+2)-( x+1) 2- k(x+1)，h (x)=，當 k2 時，令 t (x) =- 2x2-( k+6) x-( 2k+2)， 可知t (x)與h (x)符號相同，當 x(xo，+x)時，t (x) 0，h (x)h (- 1) =0,即 f (x)-