四邊形解題技巧

1、四邊形解題技巧一、平行四邊形應(yīng)用舉例平行四邊形具有對(duì)邊平行且相等、對(duì)角相等、對(duì)角線互相平分等性質(zhì)，它們?cè)谟?jì)算、證明中都有廣泛的應(yīng)用，現(xiàn)舉例說(shuō)明.1求角的度數(shù)例1 如圖，qABCD中.AD=2AB點(diǎn)E、A B F在一條直線上，且 EA= AB= BF,求/ DOC例2 2007 河北如圖，假設(shè) qABCDWq EBCF關(guān)于BC所在直線對(duì)稱(chēng)，/ ABE=90，那么2求線段的長(zhǎng)例 3 如圖，在四邊形 ABCD中, AB= 6, BO 8,Z A =120°,/ B= 60°,/ BCD=Z 150°, 求AD的長(zhǎng).IHC例42006 河北如圖，在.一DABCD中線段BE

2、、EC的長(zhǎng)度分別為AD= 5, AB=3 AE平分/ BAD交BC邊于點(diǎn)E,那么D . 1 和 43.求周長(zhǎng)例 5 200 6 日照如圖，在二ABCD中，AE1BC 于 E, AF丄CD 于 F,/ EAF= 45°,且AE+AF=2 2，求二ABCD的周長(zhǎng).A .EC4求第三邊的取值范圍例62006 雙柏如圖，在.一ABCD中，對(duì)角線 AC和 BD相交于點(diǎn)0，如果AC=12 BD=1QAB=m那么m的取值范圍是5<m<6B . 2<m<22 C . I<m<ll D5 綜合計(jì)算題例7 如圖，qABCD的周長(zhǎng)為10J3 6邁,BC的長(zhǎng)為5J3 ,

3、AEL BC于E, AF丄DC垂足為DC延長(zhǎng)線上的點(diǎn) F, AE=3.求: (1) ZD的度數(shù)；(2)AF的長(zhǎng).6.探索題例8如圖，四邊形 ABCD是平行四邊形，/ BCD的平分線CF交邊AB于點(diǎn)F,/ ADC的平分 線DG交邊AB于點(diǎn)G,且DG與 CF交于點(diǎn)E.請(qǐng)你在條件的根底上再添加一個(gè)條件，使 得厶EFG為等腰直角三角形，并說(shuō)明理由.二、添作中位線，妙證幾何題三角形中位線定理： 三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半. 這是三角形的一條很重要的性質(zhì)， 它包含了位置與數(shù)量?jī)煞N關(guān)系.在題中，假設(shè)有線段的中點(diǎn)，可過(guò)中點(diǎn)作第三邊的平行線或取另一邊中點(diǎn)構(gòu)造中位線，運(yùn)用中位線定理，實(shí)現(xiàn)線段或角

4、的轉(zhuǎn)移，從而迅速找到解題突破口，往往會(huì)使得某些看似無(wú)法解決的幾何題化難為易，迎刃而解.例9 如圖，在 ABC中，AB<AC點(diǎn)D在AC上，且有 CD=AB E、F分別是 AD和BC的中點(diǎn), 連結(jié)EF并延長(zhǎng)與BA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) G求證：AE=AG例10 如圖，在四邊形 ABCD中, AC BD相交于點(diǎn) 0,且AC=BD E、F分別是 Ad BC的中 點(diǎn)，EF 分別交 Ac BD于 M N.求證：/ OMN/ONM.例11 如圖， ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點(diǎn)，BE的延長(zhǎng)線交 AC于點(diǎn)F,求證：AF 1 AC3例12 如圖， ABC的中線AD BE相交于點(diǎn)G,求證：S ab

5、g s四邊形cegd三、巧算與矩形有關(guān)的面積題解答這類(lèi)問(wèn)題可考慮用未知數(shù)表示某些線段，構(gòu)造方程來(lái)求解.例13如圖，矩形 ABCD勺面積為S, E是AB的四等分點(diǎn)，F(xiàn)是BC的三等分點(diǎn)，G是CD的 中點(diǎn)，那么 EFG的面積為.例14 如圖，矩形 ABCD中, E是BC上的點(diǎn)，F(xiàn)是CD上的點(diǎn)，且 s ABE s ADF S矩形 ABCD3S AEFS CEF等于A.2B.3C.4D.5四、折疊問(wèn)題近幾年一些省市的中考題中出現(xiàn)了很多有關(guān)矩形紙片折疊的問(wèn)題由于這類(lèi)問(wèn)題的實(shí)踐性強(qiáng)，需要同學(xué)們通過(guò)動(dòng)手操作去發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的方法.其規(guī)律為利用折疊前后線段、角的對(duì)應(yīng)相等關(guān)系，構(gòu)造直角三角形利用勾股定理來(lái)求解.以下

6、面例題加以說(shuō)明.例15 矩形紙片ABCD中. AD=4 cm, AB=10 cm,按如下圖的方式折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF,貝U DE=cm例16 將矩形ABCD沿 AE折疊，得到如下圖的圖形，/CED=60° 那么/ AED的大小C . 75D . 55A . 60°B例17如圖，矩形ABCD中，AB=3 BC=4如果將該矩形沿對(duì)角線 BD折疊，那么圖中陰影 局部的面積是多少？五、路在何方我們知道如果直線 mil n, A、B為直線n上的兩點(diǎn)，C P為直線m上的兩點(diǎn)如圖，容 易根據(jù)平行線之間的距離處處相等及同底等高的兩個(gè)三角形面積相等的知識(shí)，得到兩對(duì)面積相等的三角

7、形，即厶ABP面積相等；。卩人和厶CPB面積相等，還有一對(duì)面積相等的 三角形，你知道嗎？我們進(jìn)一步看：如果 A、B C為三個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)P在m上移動(dòng)，那么無(wú)論點(diǎn) P移動(dòng)到任何 位置，總有 ABP與厶ABC的面積相等，理由：因?yàn)槠叫芯€間的距離相等，所以無(wú)論點(diǎn)P在m上怎么移動(dòng)，總有 ABP與厶ABC的同底等高，因此，它們的面積總相等.C一一尸珊B例18如左圖，五邊形 ABCDE是張大爺十年前承包的一塊土地的示意圖，經(jīng)過(guò)多年開(kāi)墾荒 地，現(xiàn)已變成如右圖所示形狀，但承包土地與開(kāi)始荒地的分界小路圖中折線CDE還保存著, 為了便于通行，張大爺想過(guò)E點(diǎn)修一條直路，直路修好后，要保持直路左邊的土地面積與承 包時(shí)的一

8、樣多，請(qǐng)你用有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，按張大爺?shù)囊笤O(shè)計(jì)出修路方案不計(jì)分界小路與直 路的占地面積.1寫(xiě)出設(shè)計(jì)方案，并在圖中畫(huà)出相應(yīng)的圖形；2說(shuō)明方案設(shè)計(jì)理由.六、聚焦閱讀理解題閱讀綜合理解題主要考查同學(xué)們對(duì)“新事物“新知識(shí)的接受和理解能力，也考查同學(xué)們運(yùn)用所學(xué)知識(shí)來(lái)解決“新事物“新知識(shí)的能力解決這類(lèi)綜合問(wèn)題的關(guān)鍵是合理運(yùn)用所學(xué)知識(shí)來(lái)理解題目，從而做到正確解題。例19閱讀以下短文，然后解決以下問(wèn)題：如果一個(gè)三角形和一個(gè)矩形滿(mǎn)足條件：三角形的一邊與矩形的一邊重合，且三角形這邊所對(duì)的頂點(diǎn)在矩形這邊的對(duì)邊上，那么稱(chēng)這樣的矩形為三角形的“友好矩形，如圖所示，矩形ABEF即ABC的“友好矩形 顯然，當(dāng) ABC是鈍角三

9、角形時(shí)，其“友好矩形只 有一個(gè).(1) 依照以上表達(dá)，說(shuō)明什么是一個(gè)三角形的“友好平行四邊形；(2) 如圖，假設(shè)厶ABC為直角三角形， 且/C=90°,在圖中畫(huà)出 ABC的所有“友好矩 形，并比擬這些矩形面積的大小；(3) 如圖，假設(shè) ABC是銳角三角形，且 BC>AC>AB在圖中畫(huà)出 ABC的所有“友好 矩形，指出其中周長(zhǎng)最小的矩形并加以說(shuō)明./ '出圖： (/圖 臼/</圖七、“Face to Face 中點(diǎn)四邊形順次連結(jié)四邊形四條邊的中點(diǎn)所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形.這個(gè)中點(diǎn)四邊形有許多重要性質(zhì)，在中考試題中也屢見(jiàn)不鮮，中點(diǎn)四邊形的四個(gè)結(jié)論如下：1 任意四

10、邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形：如圖，四邊形 ABCD中, E、F、G H分別是 AB BC CD DA的中點(diǎn).求證：四 邊形EFGH是平行四邊形.2 對(duì)角線相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形：如圖，四邊形 ABCD中, E、F、G H分別是 AB BC CD DA的中點(diǎn)，AC=BD求 證：四邊形EFGH是菱形.3對(duì)角線垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形：如圖，四邊形 ABCD中, E、F、G H分別是 AB BC CD DA的中點(diǎn)，ACLBD求 證：四邊形EFGH是矩形.4對(duì)角線相等且垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是正方形因?yàn)樗倪呅蔚膬蓷l對(duì)角線垂直，所以這個(gè)四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形，又因?yàn)檫@個(gè)四邊形的.兩條

11、對(duì)角線相等，所以這個(gè)四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形.既是矩形又是菱形的圖形就是正方形.中點(diǎn)四邊形的這四個(gè)結(jié)論應(yīng)結(jié)合以下特例靈活掌握：菱形的中點(diǎn)四邊形為矩形， 矩形的中點(diǎn)四邊形為菱形，正方形的中點(diǎn)四邊形為正方形.例20順次連結(jié)等腰梯形四邊中點(diǎn)得到一個(gè)四邊形，再順次連結(jié)所得四邊形四邊中點(diǎn)得到的圖形是A.例210點(diǎn)，B.20 C等腰梯形 B 直角梯形C 菱形 D 矩形2007 牡丹江如圖，在等腰梯形ABCD中, AD/ BC AD=3且/ BOC=60，順次連結(jié)等腰梯形各邊中點(diǎn)所得四邊形的周長(zhǎng)是.16D.12BC=5()AC BD相交于八、“智力魔方七巧板是由正方形按如下圖的方法制作成的沿實(shí)線剪開(kāi) 五塊都

12、是等腰直角三角形，一塊正方形，一塊平行四邊形，七巧板是 學(xué)玩具，有很強(qiáng)的益智性與趣味性，深受人們的喜愛(ài)在近幾年的中考試題 中，就出現(xiàn)了一些與七巧板有關(guān)的拼圖和計(jì)算題，值得關(guān)注. 例22七巧板是我們祖先創(chuàng)造的一種智力玩具，它來(lái)源于勾股法如圖七巧板種數(shù)其中有，整幅七巧板是由正方形ABCD分割成七小塊其中：五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形組成.如圖，是由七巧板拼成的一個(gè)梯形，假設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為12 cm,那么梯形MNGH的周長(zhǎng)是cm.結(jié)果保存根號(hào)耳2例23用邊長(zhǎng)為1的正方形紙板制成一副七巧板如圖1，將它拼成“小天鵝圖案如圖2，其中陰影局部的面積為A. 8 B . 7 C . 1

13、 D .3 九、四邊形“聯(lián)姻直角坐標(biāo)系中考中常把四邊形與平面直角坐標(biāo)系結(jié)合起來(lái)考查，這類(lèi)題目有利于同學(xué)們把“數(shù)與“形聯(lián)系起來(lái)思考，提高同學(xué)們綜合運(yùn)用知識(shí)的能力.例24 一張矩形紙片 OABC平放在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，0為原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，OA=5 0C=4如圖，將紙片沿 CE對(duì)折，點(diǎn)B落在x軸上的點(diǎn)D處， 求點(diǎn)D的坐標(biāo).>廣JiKXh.EdD /4 jr例25如圖，四邊形 ABCD是平行四邊形，點(diǎn) A、B D的坐標(biāo)分別是(0, 0)、(5 , 0)和 (2 ,3).求：(1)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)對(duì)角線AC BD的交點(diǎn)E的坐標(biāo).432pT4 2 3 4 5 6

14、 X例26菱形ABCD的邊長(zhǎng)為5,/ BAD是銳角，把它放在平面直角坐標(biāo)系之中，并且使 AD邊在y軸上，點(diǎn)A在點(diǎn)D的下方，這時(shí)點(diǎn) C的坐標(biāo)為(4 , 10).(1)求出頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)畫(huà)出符合題意的圖形.例27 一個(gè)正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)0和A的坐標(biāo)分別是(0, 0)和(4 , O),請(qǐng)寫(xiě)出另外兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).十、“天塹變“通途梯形是不同于平行四邊形的一類(lèi)特殊四邊形， 解決梯形問(wèn)題的根本思路是通過(guò)添加輔助 線，對(duì)梯形進(jìn)行割補(bǔ)、拼接，使“天塹變“通途 ，從而轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形問(wèn)題， 使看似不可能的問(wèn)題得到解決，一般而言，梯形中常用的輔助線主要有以下幾種.1.平移一腰過(guò)梯形的一個(gè)頂點(diǎn)作一腰的平

15、行線，將梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形和三角形，從而利用平行四邊形的性質(zhì)，將分散的條件集中到三角形中去，使問(wèn)題順利得解例 28 如圖，梯形 ABCD中 AD/ BQ AD=2 cm, BC=7 cm, AB=4 cm,求 CD的取值范圍.規(guī)律總結(jié)：通過(guò)作腰的平行線， 構(gòu)造平行四邊形、三角形，從而把分散的條件集中到一 個(gè)三角形中去，從而為解題創(chuàng)造必要條件，這種方法很重要，需切實(shí)掌握.2延長(zhǎng)兩腰交于一點(diǎn)將梯形的兩腰延長(zhǎng)，使之交于一點(diǎn)，把梯形轉(zhuǎn)化為大、小兩個(gè)三角形，從而利用特殊三角形的有關(guān)性質(zhì)解決梯形問(wèn)題.例29 如圖，梯形 ABCD中, AD/ BQ ZB =/C,試說(shuō)明梯形 ABCD是等腰梯形.規(guī)律總結(jié)：延長(zhǎng)兩腰交于一點(diǎn)，可把梯形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題解決.3.平移一條對(duì)角線與另一底的延長(zhǎng)線相交，構(gòu)成平行ACL BD 且 AC=5 c