“基本不等式”中的母題及解題技巧

1、精品高二“基本不等式”中的母題及其解題技巧，各種題型都包括知識(shí)帕陛1-基本不等式V%妥基本不等式的使用條件，一正：即二所求最值的各項(xiàng)必須都是正值二定：必或口+辦為定值，即士含變量的各項(xiàng)的和或積必須是常數(shù);®三相等，當(dāng)且僅當(dāng)4=3時(shí)取等號(hào)，即：等號(hào)能否取得.在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件,若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.2-由公式廬+務(wù)、22和、筋W平可以引申出的常用結(jié)論2+旨2（口，b同號(hào)*十戶一2（gb異號(hào)）：（3）/、卜（口0'方Q）-LX*w£或?。〞?shū)口0-可，3.利用基本不等式求最大,最小值問(wèn)題如果工3¥0,且盯=尸（定值）,

2、那么當(dāng)無(wú)=）時(shí)y+j-有最小值感謝下載載為叵（筒圮曠嗨定和最小”）（2）如果工>0，且兀+,=S（定值）.那么當(dāng)工=：時(shí)，町有最大值竽，（簡(jiǎn)記”和定積最大）類型一、直接應(yīng)用類此類問(wèn)題較為基期，利用基本不等式求最值時(shí)應(yīng)注意：非零的各數(shù)（或式）均為正；和或積為定值等號(hào)能否成立,即,一正、二定、三相等這三個(gè)條件抹一不可.解答技巧一：直接應(yīng)用母題一】著Q。，且工+廠18,則可的最大值是-E解析】雷于j>0,初S1,邕Jl次號(hào)jt«»jn9技14剛副最先值RIE答案】S1【變式】1.已知/（工）=工+:-工0<0）,則五工）有（）A-最大值為03最小值為0C.最大值

3、為-4D.最小值為-4E解析后=（一#）+占-2<-2-2=-4.當(dāng)且僅L（一工”當(dāng)一工=，理工=一1時(shí)取等號(hào)，一上【答案】C2.已知0<工<L則工（3-3幻取得最大值時(shí)工的值為（）B.D.1T23【解析】'-10<x<l*六1一工>0,3工）=31（1工）<31-I2）:=1.當(dāng)工=1一工,即工=9寸職莘號(hào).【答案】B3.（2014-我都旁防）已知定義在（0.+8）上的函數(shù)«工1=3上，若.&j+b）h9，則式處）的最大值為-【解析】3口一'=9,二口+占=?懵0<l.*：危）=3而<3.【答案】34,已

4、知0F3ER,且裙=50,則匕+2川的最小值是.【解析】依題意浮%b同號(hào)：于是有十2B=團(tuán)+2加>2®p5Kj=2也而=2/T而=20,當(dāng)且僅當(dāng)團(tuán)=|2切=10時(shí)取等號(hào),因此|口十2加的爰小值走20.【答案】20類型二.配湊定值類（恒等變形類）|此類問(wèn)題一觸不能直接使用基本不等式，要從整體上把握運(yùn)用基本不等式，對(duì)不滿是使用基本不等式條件的可誦過(guò)“變粕”來(lái)轉(zhuǎn)投，常見(jiàn)的變形技巧有*拆項(xiàng)，湊項(xiàng)，湊系數(shù)等.不論條件怎么變形，都需要根據(jù)條件,棒和為定值時(shí)求積最大、湊積為定值求和最小.解答技巧二：折項(xiàng)j-4?+1母窿二】已知口，則圖敷了=;的最小值為L(zhǎng)1【解析】Jr>k二=r-l-4

5、242,旦生療雙等號(hào)，I答案】一之解答技巧三：湊項(xiàng)用題三】若則函數(shù)丁二工十-擊最小值為.【解新】廣（尸占Q2+”4；學(xué)且僅當(dāng)一睛雙旁吼【答案】4解答技巧四：湊系數(shù)【禺匪四】若k|，則函數(shù)尸鄧f）的最大值為，【解析】勺=*3工岸3幻毛矍二十:一打=*當(dāng)且優(yōu)當(dāng)工=/虻一釵等專.1答案】y【變式】1.函數(shù)y=二（工1）的最小值是（）A. 2b+2C. 25R. 2事2D. 2【解析】7工1、，工一1 。.工工+2 _爐一2工十七十2X1X1X22x4-l+2(x1)+3_f.Y1P+2i：v1l+3_3Js1r-1工-122A/Cx-l）f-l+2=2/3+2.當(dāng)£蟲(chóng)當(dāng)耳一1=-,即k=1

6、+SVV-1/上一1鐘，取等號(hào).【答案】A2.當(dāng)Q1時(shí)，不等式工+一恒成立，則實(shí)數(shù)0的最大值為L(zhǎng)1【解析】:工1,二工一1:0.又jcH-=工一1X-1當(dāng)且僅當(dāng)工二2時(shí)等號(hào)成立*則&W3,所以門(mén)的遺文做為立【答案】3口£+Q014濰坊模)已知亦=1,則=的最小值為a"b【解析】水+ M=(4b> + 2M g|日8上722vL當(dāng)日一：、艮僅當(dāng)仃一8=5時(shí)，職茅號(hào).【答案】工也4,已知心數(shù)凡叫=(1)若其外*的解集為工年-3,或工一2,求淤的值工(2)對(duì)任意工0-.*r)Kr恒成立，求t的取值范圍.【解】(1雙耳)方0"12工46Ko.由已知k|x3,

7、或工2是其解集，名h二一2工+必=0的兩根是一3*2.77國(guó)福與系我爵關(guān)系可知(-2)+(3)=。即上=一葭fCD(2)因?yàn)楣ざ酰?dāng)且僅當(dāng)工=加時(shí)取好+6工+色2a/6»x等號(hào).由乙知式K)4F對(duì)任意工0,宜成立.故1)營(yíng)0F的取值范圃是誓,+b)類型三，條件鬣值類利用基本不等式求最值的方法及注意點(diǎn)(1)知和求積的最值；求解此類問(wèn)題的關(guān)健,明確“和為定值，積有最大值”,但應(yīng)注意以F兩點(diǎn)；.具備條件一正數(shù).驗(yàn)證等號(hào)成立.（2）知根求和的最值；明確“積為定值，和有最小值”，直接應(yīng)用基本不等式求解.但要注意利用基本不等式求最值的條件.（3）構(gòu)造不等式求最值，在求解含有兩個(gè)變量的代數(shù)式的

8、最值問(wèn)題時(shí)，通常采用“變量替換”或燈常故1”的昔投，梅造不等式求解.技巧五二換衣（）（或整體代換）母題五已知。0,則1十場(chǎng)最小值為a0-'-11a-kA-34-A5"【鰥析】；5。.a+b=1.，i+:=14-=二+,+:？+2、/一屋=4.aL+%就小叵為九營(yíng)且工學(xué)口=占一七等號(hào)展壬.【答察】4【變式】1 .本例的條件不變，則（1+以1+。的最小值為.【解析】（什加十（H+嗯-明=（2"X?十%5十嚕+5+4=9,當(dāng)且僅萋0=匕=：時(shí)，取等號(hào).【答案】92 .本例的條件和結(jié)論互換即,已知白0,b0,1+;=4,則白+6的ab最小值為.【解析】由"卜4,樗

9、:玷=L二葉。=（表十球力昉彩瑤十套胃+2需片=】,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取學(xué)子，【答案】1713,若本例條件變?yōu)橐阎?,力0“+2b=3,貝6+；的最小值為【解析】由一十217得:十%=1.A-+1=|kf+v&'：二十:片言+冬33ab33qdj33b十華廿八原芋=?當(dāng)且權(quán)當(dāng)口=23=5時(shí)，取等號(hào).3a3j3b3a32答案|4本例的條件變?yōu)?已知曰0,50,仁0,且。+b+c=l,則上+aI十1的最小值為1 r 1 , 1 df + 6 + c 一"卜工十一二a b c abc【解析】:口0,。0,c0,且1十b十c=1r十色士£十型上=3十。"”十：3

10、十已十金十修十十bcaabbcc'ab、gc；色十53十2十2+2=9.當(dāng)且僅當(dāng)£!=&=,時(shí)，取等號(hào).【答案】95,若本例變?yōu)?已知各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列SQ滿足的=a+2主，若存在兩項(xiàng)口加生，使得向至=2小6,貝1上十堆最小值為.mn【解析】設(shè)公比為g(q>0),由白二=疑十2G=>。4=日汨十2”戶§：g2=00>0)=1=2.>/57=23小=G2府-1g2*-l=8雄=2xLyr=8=第十"-2=3 =掰+丹=5,畤+'=翡十扣'十'尸I'十?十為1(5+24)=1,當(dāng)且僅當(dāng)中=2陋=

11、學(xué)時(shí)等號(hào)或立.9- 5寄5.(20L2i#江)若正數(shù)兀p尸滿足#+3y=5種則3#+4y的最小值是B.【解析】j0,由工+3歹=5功得護(hù)+當(dāng)=1.，3'+勺=!<3工=5（當(dāng)且僅當(dāng)工=»時(shí)取等號(hào)）.【答案】c7,已知不等式（工）田白+，9對(duì)任意正實(shí)數(shù)工，,恒成立，則正實(shí)數(shù)。的最小值是（）【解析】（父十了）:十表=1十1十，十牛）1+£/+2標(biāo)，；當(dāng)1+a+2/a>9時(shí)不等式恒成立，款如十1>3,口）4.【答案】B技巧六*構(gòu)選一元二次不等式在運(yùn)用該方式解題時(shí)，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如"+#>2。b逆用就是品（儀,占

12、。）逆用就是己方j(luò)_iiL>>。）等.還要注意“添拆項(xiàng)”技巧和公式等號(hào)成立的條件TJ-.思考方式還能以保留“和g+力）”還是"瓶sm”來(lái)確定公式的運(yùn)用方【同題六】若正系致#，j茜足h+j+6=燈，則町的最小值是I解析】三CD：J>0+1上*48=%浮角）12冷-!8（當(dāng)且代.2X=j度,W/或五，器（V>12/a/63O.八3一八卜丁+,又""3口,，F(xiàn)F專，12,，xy的殘4、,更W1丸【答案IIS【變式】1 .已知工>0,y>0,、+2了+29=8,則k+2）的最小值是（）A.3B.4三=2j;x+2j+2.x)-=8.【解

13、析】依題意.借的=一（工+2?。┦?0耳加|二當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)出立./.(x+2y)2+4(x+2y)-3230,統(tǒng)樽、十:>4或關(guān)十4<一8（含去），二工十2y的最小值是4.【答案】B2*若正數(shù)工滿足天二+為：-1=0,則工+3的最小值是（）A-乎B.乎C.fD.歲【解析】對(duì)于元243盯一1=0可得¥=x）.，工+尸亨+*>2、y|=¥（當(dāng)艮僅當(dāng)亨=/，即工=幸時(shí)等號(hào)戢立）.【答案】B3.若實(shí)數(shù)算，y滿足產(chǎn)十產(chǎn)十卬一1,則工十p的最大值是解析】工工v2+xy=1a（x+y）2-ry=1a（x+y）*-1=xy<察得二【答案】¥類型四*基本不

14、等式的應(yīng)用1 .某公司租地建倉(cāng)庫(kù)，每月土地占用費(fèi)yi與倉(cāng)庫(kù)到車(chē)站的距離成反比.而每月庫(kù)存貨物的運(yùn)翦中與倉(cāng)庫(kù)到車(chē)站的距離成正比F如果在距車(chē)站10公里處建倉(cāng)癢，這兩項(xiàng)費(fèi)用口和心分別為2萬(wàn)元和8萬(wàn)元，那么要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉(cāng)庫(kù)應(yīng)建在離車(chē)站公里處.【解析】E支工為倉(cāng)庫(kù)與車(chē)站距離，由已知”=二，州=0.8第.費(fèi)用之和Jv20、y=yi +y2=0.S.v H>2JC12020CJ.8r-=8,當(dāng)£僅當(dāng)0.8r=即1=5時(shí)等號(hào)成立.【答案】52 .（創(chuàng)新場(chǎng)、規(guī)定記號(hào)"。"表示一種運(yùn)算,即日（35=4證+口十方g,占為正實(shí)數(shù)）,若lOk=3,則#的值為，此時(shí)函數(shù)逃耳

15、）=學(xué)的7艾最小值為.解析】1。*=掂十1十上=九即七十雙-2=0,，或=1婦尿=一a、 kGx yjx+x+l2（舍），后=L=1+3>1+2=，當(dāng)?便當(dāng)F?x=vxvx1時(shí)茅號(hào)成立.【答案】h33 .設(shè)由=（1，_2）,防=（住.-1）.Ot-=（b*0%：口>0,力>0,。為坐標(biāo)原點(diǎn)），若5,B,C三點(diǎn)共線，則的最小值是（）"D9A.+B-C.8D.9【解析】；力=晟一方=（0一LI）花=比一SS=（匕L2）.若4二一1)21 yb 1) = 0： ，2。+ 占=1,0項(xiàng)3 +幻=5+號(hào)+工5+2、BtU三點(diǎn)共愛(ài)，則有.菇又占0,占0,二二+1二ab也乂半=9,當(dāng)且僅當(dāng)ab（弛=辿石一彳即£=匕=；時(shí)等號(hào)成立.【2。十=1,【答案】D4.設(shè)正實(shí)數(shù)工nF，二滿足爐-3xy+4?。阂?=0,則當(dāng)日取得最大值時(shí),工-粉最大值為（）nrA.0B,1【解析】由已知將-=x一為一物*）”與、尸。處D.3y工41,當(dāng)且僅當(dāng)無(wú)=勺時(shí)取等號(hào)，把兀=2、收入（*）式，樣；=2f,所以,一LJ1=一仕L-HaLy工yy1U）【答案】b51已知x0,0,工+j+3=xy,且不等式（x+jA-&（工+10恒成立，則實(shí)數(shù)口的取值范圍是,1解析】要"便（上事力:一日（x+?'）+l。恒成五：則有（工+